白玉梅

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 通遼 028043）

0 引言

構(gòu)造微分系統(tǒng)的守恒律是數(shù)學(xué)物理研究的重要課題.守恒律反映物理量不隨時(shí)間而改變的現(xiàn)象，在研究微分系統(tǒng)，尤其是可積系統(tǒng)和孤立子理論中發(fā)揮重要作用[1］.如利用守恒律獲得微分系統(tǒng)的精確解、分析解的各種特性和構(gòu)造Hamilton系統(tǒng)等.一般情況下，如果一個(gè)微分系統(tǒng)有孤立子解，則其存在無(wú)窮多個(gè)守恒律，擁有無(wú)窮多個(gè)守恒律的非線性微分系統(tǒng)可積；然而，沒(méi)有無(wú)窮多個(gè)守恒律的微分系統(tǒng)仍可能可積，如Burgers方程.除此之外，守恒律被廣泛應(yīng)用于一些數(shù)值方法的發(fā)展上，如有限元法和非連續(xù)Galerkin方法.由此可見(jiàn)，尋找物理背景明確的非線性系統(tǒng)的守恒律十分必要.

以（1＋1）維非線性彈性波動(dòng)方程、Brusselator方程組和（2＋1）維廣義CBS方程作為研究對(duì)象，以符號(hào)計(jì)算軟件Maple為工具，采用第一同倫公式法，分別構(gòu)造這3個(gè)方程（組）的守恒律.

1 守恒律構(gòu)造方法

構(gòu)造微分系統(tǒng)守恒律的方法包括直接法[4］、標(biāo)量公式法、第一同倫公式法[2-3］、第二同倫公式法、利用對(duì)稱(chēng)和共軛方程（組）法[5-7］、Lax對(duì)方法、跡恒等式法和B?cklund變換法[8］等，文中采用第一同倫公式法.

設(shè)自變量x＝（x1，x2，…，xn），因變量u＝（u1，u2，…，um）.

步驟1 計(jì)算系統(tǒng)相應(yīng)的n維歐拉算子

步驟2 計(jì)算n維拓?fù)渌阕?/p>

步驟3 由步驟2所得結(jié)果，得到通量進(jìn)而通過(guò)全導(dǎo)數(shù)算子作用，得到形如的微分系統(tǒng)的守恒律.

2 構(gòu)造非線性偏微分方程的守恒律

2.1 彈性波動(dòng)方程

非線性彈性波動(dòng)方程為

式中：γ為任意常數(shù).文獻(xiàn)[9］應(yīng)用Lie對(duì)稱(chēng)法，在不同對(duì)稱(chēng)的恒等條件下，變換方程（1）為常微分方程，進(jìn)而獲得若干不變解.

首先，假設(shè)其特征

得到關(guān)于特征Λ1的化簡(jiǎn)后的確定方程組，即

經(jīng)計(jì)算，有特征

式中：c1，c2，c3為參數(shù).

選取參數(shù)并利用第一同倫公式計(jì)算通量，得出3種情形：

情形1 c1＝1，c2＝c3＝0，特征Λ1＝ux，通量

情形2 c2＝1，c1＝c3＝0，特征Λ1＝1，通量

情形3 c3＝1，c1＝c2＝0，特征Λ1＝t，通量

可得方程（1）的守恒律，即

2.2 Brusselator方程組

Brusselator方程組為

式中：c，d為擴(kuò)散系數(shù)；a，b為其他反應(yīng)物的固定濃度；λ為衡量容器大小的參數(shù).首先計(jì)算方程組（2）的特征，設(shè)a，b，c，d，λ均不為0，且c-d≠0，令

求解化簡(jiǎn)的確定方程組，得

選取參數(shù)，并利用第一同倫公式計(jì)算通量，得出2種情形：

情形1 當(dāng)c1＝1，c2＝0時(shí)，特征

通量

情形2 當(dāng)c2＝1，c1＝0時(shí)，特征

通量

可得方程組（2）的守恒律，即

2.3 廣義CBS方程

廣義CBS方程為

式中：α，β，δ為任意常數(shù)，α≠1，β≠0，δ≠0.

Zhang Huan Ping等通過(guò)Painlevé檢驗(yàn)，得到方程（3）可積的條件，給出無(wú)窮多對(duì)稱(chēng)并對(duì)其進(jìn)行對(duì)稱(chēng)約化[10］.設(shè)特征

計(jì)算關(guān)于Λ4的確定方程組

式中：α，β，δ，c1為任意常數(shù)，α≠0，δ≠β；f（t），g（t）為可微的任意函數(shù).

選取參數(shù)并利用第一同倫公式計(jì)算通量，得出3種情形：

情形1 設(shè)c1＝1，f（t）＝0，g（t）＝0時(shí)，特征 Λ4＝ux通量

情形2 設(shè)c1＝0，f（t）為任意函數(shù)，g（t）＝0時(shí)，特征

通量

情形3 設(shè)c1＝0，f（t）＝0，g（t）為任意函數(shù)時(shí)，特征 Λ4＝g（t）通量

可得方程（3）的守恒律，即

3 結(jié)束語(yǔ)

將第一同倫公式法應(yīng)用到物理背景明確的（1＋1）維非線性彈性波動(dòng)方程、Brusselator方程組和（2＋1）維廣義CBS方程守恒律的構(gòu)造中，在求得結(jié)果的同時(shí)，進(jìn)一步說(shuō)明該方法的有效性.該方法還可以用于獲得其他非線性偏微分方程的守恒律.

[1]Olver P J.Applications of Lie groups to differential equations[M］.New York：Springer-Verlag，1993.

[2]Cheviakov A F.Computation of fluxes of conservation laws[J］.Journal of Engineering Mathematics，2010，66：153-173.

[3]Wolf T.A comparison of four approaches to the calculation of conservation laws[J］.Europ.J.Appl.Math，2002，13（2）：129-152.

[4]Mei Jian qin，Zhang Jing jing，Zhang Hong qing.Direct algorithms for constructing high-order conservation laws of nonlinear partial differential equations[J］.Journal of Dalian University of Technology，2011，51（2）：304-308.

[5]許斌，劉希強(qiáng)，劉玉堂.耦合 KdV方程組的對(duì)稱(chēng)，精確解和守恒律[J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，33（1）：118-123.

[6]王婷婷，劉希強(qiáng)，于金倩.Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada方程的對(duì)稱(chēng)、精確解和守恒律[J］.量子電子學(xué)報(bào)，2011，28（4）：385-390.

[7]許斌，劉希強(qiáng).Landau-Lifshitz方程的群不變解和守恒律[J］.量子電子學(xué)報(bào)，2011，40（5）：575-579.

[8]張大軍，寧同科.可積系統(tǒng)的守恒律[J］.上海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，12（1）：19-30.

[9]Tahir Mustafa M，Khalid Masood.Symmetry solutions of a nonlinear elastic wave equation with third-order anharmonic corrections[J］.Applied Mathematics and Mechanics：English Edition，2009，30（8）：1017-1026.

[10]Zhang Huanping，Chen Yong，Li Biao.Infinitely many symmetries and symmetry reduction of（2＋1）-dimensional generalized Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff equation[J］.Acta Phys.Sin.，2009，58（11）：7393-7396.