胡樹杰

HU Shu-jie

（沈陽理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，沈陽 110168）

0 引言

物體的邊緣無論是對人類的視覺系統(tǒng)還是對數(shù)字圖像處理技術(shù)都具有非常重要的意義，它是圖像的基本特征。一般有三種亞像素邊緣定位方法：分別是擬合法，插值法和矩法[1～3]。對于擬合法，是根據(jù)已給出的邊緣模型，通過擬合圖像的灰度范圍得到亞像素邊緣位置[4～6]。該法準(zhǔn)確性高，但缺點是比較耗時。插值法是依據(jù)實際圖像的灰度分布，通過插值圖像數(shù)據(jù)完成了亞像素邊緣定位，該方法優(yōu)點是節(jié)省時間，但對噪聲比較敏感[7,8]。由于矩是積分算子并對噪聲不敏感，因此矩法成為了一種被廣泛應(yīng)用的方法。

Zernike矩和Zernike多項式被廣泛應(yīng)用于圖像處理應(yīng)用中。Zernike矩是以Zernike多項式為核函數(shù)的矩，Zernike多項式構(gòu)成了一個完備的正交集。Zernike多項式的正交性使得Zernike矩互相獨立，Zernike矩的幅值對旋轉(zhuǎn)是不變的。因此Zernike矩使它在特征表達式和低的噪聲敏感度等方面具有較大的優(yōu)越性，并且不用考慮形狀的較小變化。另外由于基是正交的，它們有較小的信息冗余[9～11]。

但在高階矩中，盡管它們的整體性能優(yōu)越，仍然具有較高的計算成本和數(shù)值不穩(wěn)定性。為了降低計算成本，Chong等人開發(fā)出一種命名為q-recursive的新方法[12]，另一種有效的方法是Prata法[13]。在本文中，重新分析了Prata遞歸法，提出來一個改進的Prata算法。通過分析，改進的Prata算法在每次遞歸中算術(shù)運算最少，因此在所有方法中改進的Prata法速度最快。

1 ZMs遞歸方法的計算

1.1 Zernike矩

在單位圓中圖像函數(shù)f(x,y)被定義在p和q的二維坐標(biāo)系中

這里f(x,y)是大小為N×N離散區(qū)域中的圖像函數(shù)，復(fù)雜的Zernike多項式為

1.2 q-recursive法

在計算帶有多個變量的多項式時q-recursive法是一種最快的算法，重復(fù)的次數(shù)不依賴于多項式的階次。方法如下：

這里

另一個指數(shù)q在式(6)的括號中以表明它是頻繁變化的系數(shù)。該方法具有明顯的優(yōu)勢，當(dāng)給定一個特定的階次p和重復(fù)系數(shù)q時，這對低階多項式是不需要的，并不適用于其他三個方法。圖1描繪了改進的方法。

圖1 q-recursive算法的流程

1.3 Prata法

Prata算法用低階多項式Rp-1,q-1(r)和Rp-2,q(r)導(dǎo)出一個高階多項式Rpq(r)。當(dāng)q=0,p≠q 時，用式（3）導(dǎo)出Rpq(r)；當(dāng)p=q 時，關(guān)系式。下面給出具體的算法：

用式（3）計算

2 改進的Prata算法

有了Rpq=Rp,-q，就可以避免求多項式 ，而直接使用徑向多項式Rp,0(r),p=2,4,...,pmax?，F(xiàn)介紹改進的Prata法，如下式：

3 實驗結(jié)果與分析

在此我們測試了所提出方法的性能。圖2（a）作為原始圖像，我們對比了q-recursive和Prata法的部分圖像的亞像素邊緣位置。結(jié)果如圖2所示。表1列出了Prata法，q-recursive法和改進的Prata法執(zhí)行時間，所有矩達到最大階次時CPU流逝的時間。

圖2 亞像素邊緣的結(jié)果

實驗結(jié)果表明所提出的方法在準(zhǔn)確率上明顯優(yōu)于其他兩種方法。這意味著所提出的方法中的邊緣參數(shù)更準(zhǔn)確。此外，還可以看出Prata法在執(zhí)行時間上是最快的，因此改進的方法在速度上的改善是非常有意義的。同時可以清楚的看到改進的Prata法的階次由降低為

表1 不同算法的時間對比

4 結(jié)論

本文提出了一種基于Zernike正交矩的亞像素邊緣檢測法，該方法采用了對ZMs計算的快速遞歸法，并修改了Prata遞歸法，降低了時間復(fù)雜度，由到。從實驗結(jié)果看，所提出的方法更快更準(zhǔn)確，我們用所提出的方法進行亞像素邊緣定位可以得到比較滿意的結(jié)果。此外，對計算目標(biāo)的幾何參數(shù)和使用邊緣點的情況，如校準(zhǔn)、匹配等，該新方法都是非常有效的。

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