姜虹

（西安工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，陜西 西安 710032）

主成分分析的圖像壓縮與重構(gòu)

姜虹

（西安工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，陜西 西安 710032）

針對(duì)圖像占用空間大，特征表示時(shí)維數(shù)較高等的缺點(diǎn)，系統(tǒng)介紹了主成分分析（PCA）的基本原理。提出了利用PCA進(jìn)行圖像數(shù)據(jù)壓縮與重建的基本模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用PCA能有效的減少數(shù)據(jù)的維數(shù)，進(jìn)行特征提取，實(shí)現(xiàn)圖像壓縮，同時(shí)并根據(jù)實(shí)際需要重建圖像。

圖像壓縮；PCA；圖像重建；特征提取

目前數(shù)字圖像的數(shù)據(jù)量呈爆炸型增長(zhǎng)，占用大量的存儲(chǔ)和傳輸?shù)荣Y源，主要是由于圖像數(shù)據(jù)中的相鄰像素的相關(guān)性高，圖像數(shù)據(jù)表示中存在著大量的冗余；與此同時(shí)在圖像的特征表示的過(guò)程中，維數(shù)很高，使人難以理解數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，使得存儲(chǔ)、傳輸、處理變得更加困難，在處理、計(jì)算過(guò)程中必須分配很大的存儲(chǔ)空間以及消耗大量的計(jì)算時(shí)間，高維數(shù)據(jù)處理成了問(wèn)題的瓶頸。壓縮后的圖像傳輸?shù)侥康牡睾?，要?jīng)過(guò)解壓縮恢復(fù)到原圖像才可以使用，因此有必要對(duì)壓縮的圖像和數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。目前壓縮算法有很多，比如JPEG[1-2]，JPEG2000[3-4]，基于小波的相關(guān)壓縮方法[5-7]。

文中采用的主成分分析（PCA）方法能夠除去圖像數(shù)據(jù)的相關(guān)性，將圖像信息濃縮到幾個(gè)主要成分的特征圖像中，有效地實(shí)現(xiàn)了圖像的壓縮；同時(shí)可以根據(jù)主成分多少恢復(fù)不同的數(shù)據(jù)圖像，滿(mǎn)足不同層次對(duì)圖像壓縮與重建的需要。

1 PCA的基本原理

主成分分析（Principal Components Analysis，PCA）是用幾個(gè)較少的綜合指標(biāo)來(lái)代替原來(lái)較多的指標(biāo)，而這些較少的綜合指標(biāo)既能盡多地反映原來(lái)較多指標(biāo)的有用信息，且相互之間又是無(wú)關(guān)的。PCA的中心目的是將數(shù)據(jù)空間降維以排除眾多信息共存時(shí)互相重疊的冗余信息，是將原變量進(jìn)行坐標(biāo)變換，使少數(shù)幾個(gè)新變量是原有諸變量的線(xiàn)性組合。同時(shí)，這些新變量要能有效地表示原變量表達(dá)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)而不丟失或盡量少丟失信息，且新變量互不相關(guān)。通過(guò)PCA處理的圖像信息往往能夠保留住更多的數(shù)據(jù)的最重要方面。

主成分分析的基本原理是選擇樣本點(diǎn)分布方差大的坐標(biāo)軸進(jìn)行投影，使維數(shù)降低而信息量損失最小。給定數(shù)據(jù)矩陣Xm×n（通常m>n），它由一些中心化的樣本數(shù)據(jù){xi}mi=1構(gòu)成，其 中xi∈Rn且 ：

原圖像數(shù)據(jù)A如果沒(méi)有經(jīng)過(guò)中心化，即式（1）不成立，則應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)A進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。即對(duì)每一個(gè)指標(biāo)分量作標(biāo)準(zhǔn)化處理，即：

其中樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

得到X=（xij）m×n。

PCA通過(guò)式（2）將輸入數(shù)據(jù)矢量xi變換為新的矢量

其中：U是一個(gè)n×n正交矩陣，它的第i列Ui是樣本協(xié)方差矩陣的第i個(gè)本征矢量。

換句話(huà)說(shuō)，PCA求解如下的本征問(wèn)題：

其中λ是C的一個(gè)本征值，ui是相應(yīng)的本征矢量。當(dāng)僅利用前面的P個(gè)本征矢量時(shí) （對(duì)應(yīng)本征值按降序排列），PCA變換可以表示為：

其中S稱(chēng)為主分量，最大特征值λ對(duì)應(yīng)的最大特征向量μ就是第一個(gè)主成分，這個(gè)特征向量就是數(shù)據(jù)有最大方差分布的方向。第二主成分也就是第二大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，數(shù)據(jù)點(diǎn)沿著這個(gè)方向方差有第二大變化，且這個(gè)特征向量與第一個(gè)是正交的。

PCA變換矩陣U是按特征值λ大小排列的相應(yīng)特征向量u組成的變換核矩陣，由于能量主要集中于特征值λ大的系數(shù)中，如果只用特征值較大的前 k（k<（n×n））個(gè)主分量來(lái)近似表示S，即丟掉對(duì)應(yīng)于特征值λ較小的系數(shù)，則對(duì)圖像質(zhì)量不會(huì)有大的影響。即用前k個(gè)最大的特征值對(duì)應(yīng)的k個(gè)特征向量構(gòu)成新的變換矩陣Uk做一新的變換。

可由k維向量Sk（稱(chēng)為主分量）代替原來(lái)的n×n維向量S。式（8）就稱(chēng)為圖像的主分量表示。這就是標(biāo)準(zhǔn)的PCA，這種標(biāo)準(zhǔn)化方法有效地減少了數(shù)據(jù)量綱對(duì)數(shù)據(jù)提取的影響，它廣泛應(yīng)用于圖像特征選擇和表示、圖像數(shù)據(jù)壓縮等方面。

2 主成分分析的圖像重建

主成分分析中主分量Sk相對(duì)于S其維數(shù)減少了n×n-k維，作反變換得到原圖像A的降維重建值A(chǔ)：

上式表明，如果k=n×n（即所有的特征向量都用于變換），則誤差為零。而如果選用k個(gè)具有最大特征值得特征向量組成變換矩陣Uk，則從圖像的降維重建和均方差誤差降至最小來(lái)說(shuō)，PCA變換是最佳的。

主成分變換的運(yùn)算是求輸入矢量構(gòu)成的協(xié)方差矩陣的特征值與特征矢量。將所獲得的n個(gè)指標(biāo)（每一指標(biāo)有m個(gè)樣品）的一批數(shù)據(jù)表示成m×n維數(shù)據(jù)矩陣：

對(duì)矩陣A作標(biāo)準(zhǔn)化處理，即對(duì)每一個(gè)指標(biāo)分量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，利用公式（2），從而得到矩陣 X=（xij）m×n。

運(yùn)用Jacobi迭代方法計(jì)算R的特征值λ1，…，λn，即對(duì)應(yīng)的特征向量v1，…，vn，特征值按降序排序（通過(guò)選擇排序）得≥…≥并對(duì)特征向量進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整得，…，。通過(guò)施密特正交化方法單位正交化特征向量，得到α1，…，αn。計(jì)算特征值的累積貢獻(xiàn)率 B1，…，Bn，根據(jù)給定的提取效率 p，如果 Bt≥p，則提取t個(gè)主成分α1，…，αt。計(jì)算已標(biāo)準(zhǔn)化的樣本數(shù)據(jù)X在提取出的特征向量上的投影 Y=X·α，其中 α=（α1，…，αt）。 所得的Y即為進(jìn)行特征提取后的數(shù)據(jù)也就是數(shù)據(jù)降維后的數(shù)據(jù)。

由式（12）可得重建圖像X，反變換公式如下：

由式（10）計(jì)算樣本矩陣的相關(guān)系數(shù)矩陣：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

PCA并非針對(duì)單一樣本，對(duì)于一副圖像而言，可以將圖像分割成很多塊（image patches），將這些小圖像塊作為樣本，并且假設(shè)這些樣本有著共同的成分。將一副圖像分割成許多小圖，并假設(shè)這些圖有著相關(guān)性，且這些假設(shè)在大部分情況下都成立，圖3使用圖flower.jpg圖，大小為576×576。分割成12×12的塊，共有576個(gè)樣本，經(jīng)PCA運(yùn)算后，取前48個(gè)主分量畫(huà)出其特征分布圖，如圖1所示；并由得出的主成分特征矩陣求出不同特征數(shù)下特征累計(jì)貢獻(xiàn)率的變化趨勢(shì)圖，如圖2所示；由此看出，伴隨著特征數(shù)的增加其累積貢獻(xiàn)率也隨著增加，當(dāng)特征數(shù)增加到一定數(shù)量后，特征數(shù)量的增加對(duì)累計(jì)貢獻(xiàn)率和圖像重建效果的影響不是很大。

圖1 前48個(gè)主分量的分布圖Fig.1 The distribution of the prior 48 principal components

圖2 特征累計(jì)貢獻(xiàn)率圖Fig.2 The cumulative contribution rate chart of these features

根據(jù)運(yùn)算特出的主分量，分別取前k個(gè)不同的主分量得到不同的重建圖像，如圖3所示。

圖3 不同主成分條件下圖像的重建Fig.3 Image reconstruction of different principal components

4 結(jié) 論

PCA能有效地減少數(shù)據(jù)的維數(shù)，并能使提取成分與原始數(shù)據(jù)的誤差達(dá)到均方最小，可用于用于數(shù)據(jù)的壓縮和模式識(shí)別的特征提取。特別是隨著多媒體圖像數(shù)據(jù)信息技術(shù)的發(fā)展，豐富的圖像媒體蘊(yùn)藏著大量的信息，為了有效地存儲(chǔ)和傳輸這些圖像數(shù)據(jù)，圖像壓縮技術(shù)越來(lái)越受到重視。文中提出的基于PCA的圖像壓縮與重建，經(jīng)試驗(yàn)結(jié)果表明，實(shí)現(xiàn)方法簡(jiǎn)單，能有效地實(shí)現(xiàn)圖像的壓縮；同時(shí)可以根據(jù)主成分多少恢復(fù)不同的數(shù)據(jù)圖像，滿(mǎn)足不同層次對(duì)圖像壓縮與重建的需要。

[1]張?jiān)獋?，劉彥?基于JPEG標(biāo)準(zhǔn)的靜態(tài)圖像壓縮算法研究[J].電子設(shè)計(jì)工程，2010，18（2）：78-80.

ZHANG Yuan-wei，LIU Yan-long.Research of static image compression algorithm based on JPEG standard[J].Electronic Design Engineering，2010，18（2）：78-80.

[2]鄭崴，苗青林.圖像壓縮技術(shù)JPEG的分析[J].河南科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，38（3）：123-126.

ZHENG Wei，MIAO Qing-lin.Analysis of JPEG of image compression technology[J].Journal of Henan Institute of Science and Technology，2010，38（3）：123-126.

[3]吳濤，畢篤彥.JPEG2000圖像壓縮算法研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2007，24（9）：155-156.

WU Tao，BI Du-yan.Study of wavelet based JPEG2000 image compression algorithm[J].Computer Applications and Software，2007，24（9）：155-156.

[4]Christopoulos C，Skodr as A，Ebrahimi T.The JPEG2000 still image coding system:an over view[J].IEEE Transactions on Consumer Electronics，2000，46（4）:1103-1127.

[5]尚曉清，宋國(guó)鄉(xiāng)，徐發(fā)國(guó).基于小波變換的簡(jiǎn)單變長(zhǎng)編碼圖像壓縮方法 [J].西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，29（1）：96-99.

SHANG Xiao-qing，SONG Guo-xiang，XU Fa-guo.A new SVLC scheme for image compressing based on wavelet transform[J].Journal of Xidian University，2002，29（1）：96-99.

[6]Eslami R，Radha H.Wavelet-based contourlet transform and its application to image coding[C]//Proceeding of IEEE International Conference on Image Processing，Singapore:IEEE，2004:3189-3192.

[7]Eslami R，Radha H.New image transform using hybrid wavelets and directional filter banks:analysis and design[C]//Proceeding of IEEE Inter national Conference on Image Processing.[s.l.]:IEEE，2005:733-736.

Image compression and reconstruction of PCA

JIANG Hong
（School of Computer Science and Engineering，Xi’an Technological University，Xi’an710032，China）

Point to the weakness of space-consuming and higher dimension when featuring the images of the traditional method， the article introduced the basic principles of principal component analysis （PCA）， established a basic model of a image data compression in use of PCA.Experimental results show that PCA can effectively reduce the data dimension，

implement feature extraction，realize the image compression，and reconstruct image to meet the actual needs.

image compression； Principal Components Analysis； image reconstruction； feature extraction

TP391.41

A

1674－6236（2012）05-0126-03

2011-12-29稿件編號(hào)：201112158

西安工業(yè)大學(xué)校長(zhǎng)基金（XGYXJJ0529）

姜 虹（1977—），女，陜西西安人，碩士，講師。研究方向：軟件工程、智能信息處理。