林桂鵬，熊慶國

（武漢科技大學(xué) 湖北 武漢 430081）

隨著多速率濾波器組的發(fā)展，隨機(jī)信號的自回歸模型、語音信號處理和圖像壓縮等領(lǐng)域中，對濾波器的要求也越來越高，我們不僅僅要求濾波器組是完全重構(gòu)的，尤其對線性相位特性也有著嚴(yán)格要求。完全重構(gòu)是一個非常有用的屬性，因?yàn)樗峁┝艘环N無損信號代表并且它顯著簡化了誤差分析[4]。濾波器組的線性相位特性，以使信號經(jīng)過處理之后不產(chǎn)生相位失真，尤其是在圖像處理等對相位變化敏感的場合。所以線性相位完全重構(gòu)濾波器組（LPPRFB）在空中預(yù)警，電子對抗，超寬帶雷達(dá)，軟件無線電等軍用領(lǐng)域也具有廣闊的應(yīng)用前景。因此，線性相位完全重構(gòu)濾波器組的設(shè)計非常有意義。

格型濾波器組提供了一種結(jié)構(gòu)化的設(shè)計方法，可以很方便的將線性相位條件加入到這一結(jié)構(gòu)中，設(shè)計出具有線性相位的完全重構(gòu)濾波器組。Lattice結(jié)構(gòu)和離散系統(tǒng)的直接實(shí)現(xiàn)形式相比，其最大的優(yōu)點(diǎn)就是對濾波器系數(shù)的量化不敏感。濾波器組的完全重構(gòu)性可由格形結(jié)構(gòu)保證，即使格形結(jié)構(gòu)中的系數(shù)量化也能保證濾波器組的完全重構(gòu)性[1-4]。

1 格型濾波器組

將具有一個共同輸入信號或一個具有共同輸出信號的一組濾波器稱為濾波器組。格型濾波器的理論基礎(chǔ)是多速率。具有線性相位和完全重構(gòu)特性的多速率濾波器組，稱之為線性相位完全重構(gòu)濾波器組 （Linear Phase Perfect Reconstruction Filter Banks）。數(shù)字濾波器是將輸入的數(shù)字信號通過一定的運(yùn)算關(guān)系變?yōu)樗枰妮敵鰯?shù)字信號，根據(jù)數(shù)字濾波器沖激響應(yīng)函數(shù)的時域特性，可將數(shù)字濾波器分為無限長沖激響應(yīng)（IIR）濾波器和有限長沖激響應(yīng)（FIR）濾波器。FIR濾波器的突出特點(diǎn)：1）系統(tǒng)總是穩(wěn)定的；2）易于實(shí)現(xiàn)線形相位；3）可以具有任意的幅度特性性[5-6]。

一個標(biāo)準(zhǔn)的Lattice結(jié)構(gòu)的基本單元如圖1所示。將圖1的基本單元級聯(lián)起來，得到一種實(shí)現(xiàn)任意長有限沖激響應(yīng)傳輸函數(shù)的級聯(lián)Lattice濾波器結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖1 FIR系統(tǒng)Lattice結(jié)構(gòu)的基本單元Fig.1 Lattice basic unit of the FIR system

全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)由M個基本格型組成，每個基本格型有上、下兩個輸入端和輸出端。輸入x（n）同時加到第一級的上、下兩個輸入端，輸出y（n）取自最后一級的上輸出端。由于該電路只有延時，沒有反饋，所以是FIR濾波器。其中，α1，α2，…αN-1，為反射系數(shù)。

圖2 FIR系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)Fig.2 Lattice structure of the FIR system

濾波器組是多個數(shù)字濾波器的集合，有共同的輸入或者共同的輸出，如果濾波器組的輸出x＾[n]是輸入x[n]的一個純粹的時間延遲效果，如，x＾[n]=x[n-L]，L∈Z，那么該濾波器就具有完全重構(gòu)特性。這也是完全重構(gòu)最直觀最普遍的的定義[4]。如果濾波器組系統(tǒng)的抽樣響應(yīng)滿足 h（n）=±h（N-1-n），則濾波器具有線性相位特性[1]。

圖3所示為最大限度銳減的通道濾波器組的分析濾波器組 Hi（z），綜合濾波器組 Fi（z）以及上采樣和下采樣操作。 輸入信號 x[n]是通過 M 個濾波器 Hi（z）過濾，每一個 Hi（z）只處理自己的頻率波段。圖4所示為M通道濾波器組的多相結(jié)構(gòu)，其中E（z）和R（z）是Ⅱ型多相位分解矩陣，表示如下：

其中，e（z）=[1 z-1… z-（M-1）]，如果 E（z）是可逆的，綜合濾波器多相矩陣R（z）就可以由分析濾波器多相矩陣E（z）的逆得到，則濾波器就可以達(dá)到完全重建，得到的濾波器組被稱為完全重建濾波器組（PRFB）。 如果滿足，E（z-1）TE（z）=I，R（z）=ET（z-1）那么這種濾波器組屬于一種特殊的線性相位完全重構(gòu)濾波器組，稱之為仿酉濾波器組（PUFB）。

圖3 M通道濾波器組的一般結(jié)構(gòu)Fig.3 Regular structure of M-channel FB

圖4 M通道濾波器組的多相結(jié)構(gòu)Fig.4 Polyphase structure of M-channel FB

文中以仿酉濾波器組為例，設(shè)計其格型結(jié)構(gòu)。有線性相位的且滿足PUFB性能的高階濾波器組，其Lattice結(jié)構(gòu)如圖5所示。

圖5中，矩陣：

圖5 線性相位完全重構(gòu)FB分析濾波器組Lattice結(jié)構(gòu)一般形式Fig.5 General form of linear phase perfect reconstruction FB analysis filter Lattice structure

由（5）式可以看出，Lattice 系數(shù) αi+1就是 Hi+1（z）最高項(xiàng)的系數(shù)，即

因?yàn)?HN-1（z）就是濾波器組中的低通濾波器 H0（z），若 H0（z）已知，那么由（8）式和（9）式可求出所有的 Lattice 系數(shù)，即α1，α2，…αN-1。

2 格型濾波器組算法實(shí)現(xiàn)

（4）式說明，H0（z）和 H1（z）都具有線性相位，其中 H0（z）的系數(shù)偶對稱，H1（z）的系數(shù)奇對稱。

假設(shè)圖5中的第i-1級是功率互補(bǔ)的，那么對第i+1級，有

由此又可以推導(dǎo)出：

從上面的推導(dǎo)也可以看出，系數(shù)αi的改變并不影響每一級的功率互補(bǔ)性質(zhì)，也不影響系統(tǒng)的功率互補(bǔ)性質(zhì)，因此αi的量化不會改變系統(tǒng)的功率互補(bǔ)性質(zhì)，這是Lattice結(jié)構(gòu)的一個突出有點(diǎn)。

由（5）（6）式，有

兩通道仿酉系統(tǒng)分析濾波器組的Lattice設(shè)計，如給出一組滿足要求的 h0（n），h0（n）=｛0.267 8 ，0.471 9，0.375 2，0.021 0，-0.177 9，-0.051 3，0.106 9， 0.047 2，-0.072 3，-0.038 9，0.052 4，0.031 1，-0.039 8，-0.024 3，0.031 1，0.018 7，-0.024 7，-0.015 4，0.021 5，0.016 3，-0.037 0，0.021 0｝， 令長度 N=22，ωp=0.45π，現(xiàn)在利用式子（8）和（9）求出其 Lattice 系數(shù) αi，i=1，2，…，11如表 1 所示。

表1 計算得到lattice系數(shù)Tab.1 The lattice coefficient

得到lattice系數(shù)，即可得到lattice結(jié)構(gòu)，所求格型結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 兩通道仿酉系統(tǒng)分析濾波器組（N=22）的格型結(jié)構(gòu)Fig.6 The lattice structure of the two-channel paraunitary systems analysis filter banks （N=22）

3 格型濾波器組電路仿真實(shí)現(xiàn)

DSP Builder是Altera公司推出的一個數(shù)字信號處理的系統(tǒng)級開發(fā)工具，是DSP系統(tǒng)體系解決方案的一項(xiàng)開創(chuàng)性解決方案。

它在QuaItusⅡFPGA設(shè)計環(huán)境中集成了MathWork的Matlab和Simulink及DSP開發(fā)軟件，利用DSP Builder設(shè)計軟件產(chǎn)生設(shè)計文件（.mdl），通過SignalCompile將之轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的硬件描述語言（.vhd），以及用來控制綜合和編譯的tcl腳本。然后利用QuartusⅡ 工具進(jìn)行了分析、綜合、編譯適配，最后下載到FPGA器件中。

圖7 仿真模塊圖Fig.7 Block diagram of simulation

圖8 仿真結(jié)果圖Fig.8 Simulation results

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

圖9 濾波器組的頻譜分析Fig.9 Spectrum analysis of the filter banks

5 結(jié)束語

Lattice結(jié)構(gòu)其最大的優(yōu)點(diǎn)就是對濾波器系數(shù)的量化不敏感。濾波器組的精確重構(gòu)性可由格形結(jié)構(gòu)保證，即使格形結(jié)構(gòu)中的系數(shù)量化也能保證濾波器組完全重構(gòu)性。由于這種濾波器組滿足功率互補(bǔ)的關(guān)系，因而只需極小化各分析濾波器的阻帶，就可獲得具有良好特性的濾波器組。這一設(shè)計方法簡化了濾波器組的優(yōu)化設(shè)計，而且極大地推動了多速率濾波器組理論和應(yīng)用的發(fā)展。

DSP Builder作為設(shè)計工具能加快進(jìn)度。當(dāng)然，在實(shí)際應(yīng)用中，受精度、速度和器件選擇方面的影響，可以對其進(jìn)一步的優(yōu)化。DSP Builder設(shè)計將系統(tǒng)描述和硬件實(shí)現(xiàn)有機(jī)地融為一體。充分顯示了現(xiàn)代電子設(shè)計自動化開發(fā)的特點(diǎn)與優(yōu)勢。

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