李冬鵬， 王明美， 宋 影， 孫茹茹

（合肥師范學(xué)院電子信息工程學(xué)院，安徽 合肥230061）

1 引言

物理學(xué)是研究物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)、基本運(yùn)動(dòng)形式、相互作用和轉(zhuǎn)化規(guī)律的學(xué)科，是其他自然科學(xué)和工程技術(shù)的基礎(chǔ)。以物理學(xué)為主要內(nèi)容的大學(xué)物理課程，是高等學(xué)校理工科學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生普通反映該門課程比較抽象，很多概念難以理解，空間圖形難以建立。MATLAB以矩陣作為數(shù)據(jù)操作的基本單位，提供了十分豐富的數(shù)值計(jì)算函數(shù)、符號(hào)計(jì)算功能和功能強(qiáng)大的繪圖功能，借助MATLAB模擬和實(shí)現(xiàn)結(jié)果的可視化，把抽象概念變?yōu)榍逦弥庇^的數(shù)據(jù)和圖象形象的描述物理圖形和圖象，有助于學(xué)生對(duì)這門課程的學(xué)習(xí)。

本文應(yīng)用MATLAB對(duì)于李薩如圖形、麥克斯韋速率分布、電偶極子的電勢(shì)和電場(chǎng)、楊氏雙縫干涉等實(shí)例進(jìn)行了分析，給出了模擬圖形。

2 李薩如圖形

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)在X軸和Y軸上作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，形成的圖形就是李薩如圖形。應(yīng)用圖形函數(shù)plot［2］，模擬出李薩如圖形。plot是繪制二維圖形的最基本函數(shù)，它是針對(duì)向量或矩陣的列來(lái)繪制曲線的，使用plot函數(shù)之前，必須首先定義好曲線上每一點(diǎn)的x及y坐標(biāo)，基本格式是plot（x，y）。

2.1 題設(shè)和分析

已知質(zhì)點(diǎn)在平面上同時(shí)參與x，y方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：

x＝3sin（5π·t＋π／4）

y＝2sin（5π·t＋π／6）

繪制出質(zhì)點(diǎn)在平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡［1］。

分析題設(shè)，可知兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅比為2∶3，頻率比為3∶2

2.2 示例程序

clear %清除變量

xm＝2； %橫坐標(biāo)范圍

ym＝3； %橫坐標(biāo)范圍

t＝0：0.01：20； %設(shè)置時(shí)間范圍和步長(zhǎng)

a1＝2；a2＝3； %設(shè)置振幅

wx＝3＊pi；wy＝2＊pi； %設(shè)置相位，頻率比3∶2

phi1＝0；phi2＝0； %設(shè)置初相位

x＝a1＊cos（wx＊t＋phi1）； %橫坐標(biāo)表達(dá)式

y＝a2＊sin（wy＊t＋phi2）； %縱坐標(biāo)表達(dá)式

plot（x，y）； %繪制圖形

axis equal tight %使坐標(biāo)刻度相等

title（＇李薩如圖形（＼itv1：v2＝3：2）”fontsize＇16）%顯示標(biāo)題

xlabel（＇＼itx＇，＇fontsize＇，12） %顯示橫坐標(biāo)

ylabel（＇＼ity＇，＇fontsize＇，12） %顯示縱坐標(biāo)

圖1 李薩如圖形示例

3 麥克斯韋速率分布圖示

麥克斯韋速率分布曲線是根據(jù)麥克斯韋速率分布函數(shù)在一定條件下的曲線圖示。應(yīng)用圖形函數(shù)plot模擬麥克斯韋速率分布曲線。

3.1 示例原理

麥克斯韋經(jīng)過(guò)理論研究，指出在平衡狀態(tài)中氣體分子速率分布函數(shù)的具體形式是f（v）＝4π，其中的f（v）叫做麥克斯韋速率分布函數(shù)，表示速率分布函數(shù)的曲線叫做麥克斯韋速率分布曲線。［1］

3.2 示例程序

用Matlab模擬氫分子在溫度分別為73K、273K和1273K時(shí)的速率分布曲線的程序如下：

m0＝3.35e－27； %設(shè)置氫分子的質(zhì)量

T1＝73； %設(shè)置溫度

T2＝273； %設(shè)置溫度

T3＝1273； %設(shè)置溫度

k＝1.38e－23； %玻爾茲曼常量取值

v＝0：100：5000； %設(shè)置溫度范圍和步長(zhǎng)

f1＝4＊pi＊（v.＾2）.＊（m0／（2＊pi＊k＊T1））＾1.5.＊exp（－m0＊（v.＾2）／（2＊k＊T1））；

f2＝4＊pi＊（v.＾2）.＊（m0／（2＊pi＊k＊T2））＾1.5.＊exp（－m0＊（v.＾2）／（2＊k＊T2））；

f3＝4＊pi＊（v.＾2）.＊（m0／（2＊pi＊k＊T3））＾1.5.＊exp（－m0＊（v.＾2）／（2＊k＊T3））；%分布函數(shù)表達(dá)式

plot（v，f1，v，f2，v，f3）；hold on； %繪圖

title（＇麥克斯韋速率分布曲線示例”fontsize＇16）%顯示標(biāo)題

text（1200，1e－3，＇｛T73K｝”fontsize＇，12）； %文本注釋，位置，內(nèi)容，字體

text（2300，0.5e－3，＇｛T73K｝”fontsize＇，12）；

text（4500，0.3e－3，＇｛T73K｝”fontsize＇，12）；

xlabel（＇＼itv／（m／s）＇，＇fontsize＇，16） %顯示橫坐標(biāo)

ylabel（＇＼itf（v）＇，＇fontsize＇，16） %顯示縱坐標(biāo)

所得圖形如圖2所示。

圖2 不同溫度下的氫分子的速率分布曲線

4 電偶極子的電場(chǎng)和等勢(shì)面圖示

這是電磁學(xué)的一個(gè)典型圖示。由函數(shù)contour先畫出等勢(shì)線，再由流線函數(shù)gradient模擬畫出電場(chǎng)線。contour是等值線圖函數(shù)，基本格式是contour（Z）根據(jù)矩陣Z畫出等高線。gradient是求梯度函數(shù)，基本格式是gradient（f）用數(shù)值方法求函數(shù)f的梯度。

4.1 題設(shè)和分析

由電學(xué)知，電偶極子為帶等量異號(hào)的兩個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)。設(shè)兩個(gè)電荷間的距離為為正電荷，q2為負(fù)電荷，且｜q2｜／q1＝1電偶極子的電勢(shì)為

電場(chǎng)強(qiáng)度可以根據(jù)電勢(shì)梯度計(jì)算

4.2 示例程序

電偶極子的電場(chǎng)線和等勢(shì)線的畫法（等量異號(hào)點(diǎn)電荷對(duì)q2∶q1＝1）程序如下：

clear %清除變量

q＝1； %電量比

xm＝2.5； %橫坐標(biāo)范圍

ym＝2； %橫坐標(biāo)范圍

x＝linspace（－xm，xm）； %橫坐標(biāo)向量

y＝linspace（－ym，ym）； %縱坐標(biāo)向量

［X，Y］＝meshgrid（x，y）； %設(shè)置坐標(biāo)網(wǎng)點(diǎn)

r1＝sqrt（（X＋1）.＾2＋Y.＾2）； %第一個(gè)正電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離

r2＝sqrt（（X－1）.＾2＋Y.＾2）； %第二個(gè)正電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離

U＝1.／r1q.／r2； %計(jì)算電勢(shì)

u＝－4：0.5：4； %等勢(shì)線的電勢(shì)向量

figure %創(chuàng)建圖形窗口

contour（X，Y，U，u＇－－＇）；hold on； %畫等勢(shì)線

hold on %保持圖像

plot（－1，0，＇o＇，＇MarkerSize＇，12） %畫正電荷

plot（1，0，＇o＇，＇MarkerSize＇，12） %畫負(fù)電荷

［Ex，Ey］＝gradient（－U，x（2）x（1），y（2）y（1））； %用電勢(shì)梯度求場(chǎng)強(qiáng)的兩個(gè)分量

dth1＝20； %第II、III象限電場(chǎng)線角度間隔

th1＝（dth1：dth1：180－dth1）＊pi／180； %電場(chǎng)線的起始角度

r0＝0.1； %電場(chǎng)線起點(diǎn)半徑

x1＝r0＊cos（th1）－1； %電場(chǎng)線的起點(diǎn)橫坐標(biāo)

y1＝r0＊sin（th1）； %電場(chǎng)線的起點(diǎn)縱坐標(biāo)

streamline（X，Y，Ex，Ey，x1，y1） %畫第II象限電場(chǎng)線

streamline（X，－Y，Ex，－Ey，x1，－y1） %畫第III象限電場(chǎng)線

dth2＝dth1／q； %第I、IV象限電場(chǎng)線角度間隔

th2＝（180－dth2：－dth2：dth2）＊pi／180； %電場(chǎng)線的起始角度

x2＝r0＊cos（th2）＋1； %電場(chǎng)線的起點(diǎn)橫坐標(biāo)

y2＝r0＊sin（th2）； %電場(chǎng)線的起點(diǎn)縱坐標(biāo)

streamline（X，Y，Ex，Ey，x2，y2） %畫第I象限電場(chǎng)線

streamline（X，－Y，Ex，Ey，x2，－y2） %畫第IV象限電場(chǎng)線

axis equal tight %使坐標(biāo)刻度相等

title（＇電偶極子的電場(chǎng)線和等勢(shì)線＇，＇fontsize＇，16） %顯示標(biāo)題

xlabel（＇＼itx／a（電勢(shì)單位：kq／a＝1）（電荷比q2／q1＝1）＇，＇fontsize＇，12） %顯示橫坐標(biāo)ylabel（＇＼ity／a＇，＇fontsize＇，12） %顯示縱坐標(biāo)

運(yùn)行程序，結(jié)果為圖3。

圖3 電偶極子的電場(chǎng)線和等勢(shì)線

5 雙縫干涉圖示

在光學(xué)中，應(yīng)用MATLAB對(duì)于干涉和衍射的相對(duì)光強(qiáng)分布和單色光的模擬圖樣是最為常用的，以下是雙縫干涉的示例。使用plot函數(shù)畫出相對(duì)光強(qiáng)分布，使用colormap函數(shù)［2］畫出灰度色圖。colormap函數(shù)是顏色控制函數(shù)用于顏色查看表，格式是colormap（m），其中m代表色圖矩陣。

5.1 題設(shè)和分析

設(shè)雙縫間距為d＝4×10－5m，雙縫在θ方向的干涉光的光強(qiáng)為

5.2 示例程序

clear %清除變量

lamda＝5e－7； %設(shè)定波長(zhǎng)

d＝4e－5； %設(shè)定雙縫間距

a＝－0.014＊pi：0.00001：0.014＊pi； %設(shè)定干涉角a的范圍和步長(zhǎng)

b＝4e－5＊pi＊sin（a）／lamda； %將干涉角a換算成b，b＝πdsina／λ

I0＝1； %設(shè)定光強(qiáng)初值

I＝I0＊（sin（2＊b）.／sin（b））.＾2； %計(jì)算相對(duì)光強(qiáng)I／I0，I＝I0＊（sin2b／sinb）2

subplot（2，1，2）；plot（sin（a），I／4，＇b＇）； %在2行1列畫出相對(duì)光強(qiáng)分布圖

hold on； %保持圖像

xlabel（＇sin（a）＇）； %顯示橫坐標(biāo)

ylabel（＇雙縫干涉相對(duì)光強(qiáng)＼it I／I0＇）； %顯示縱坐標(biāo)

axis（［－0.037 0.047 0 1］）； %設(shè)置坐標(biāo)刻度

subplot（2，1，1）；plot（sin（a），I，＇b＇）； %在2行1列畫出相對(duì)光強(qiáng)分布圖

g＝zeros（256，3）； %放大圖像數(shù)據(jù)以覆蓋當(dāng)前色圖的整個(gè)范圍，并顯示圖片for i＝0：255

g（i＋1，：）＝（255－i）／255；

end

imagesc（I） %將輸入變量I顯示為圖像

colormap（g）； %用g矩陣映射當(dāng)前圖形的色圖

subplot（2，1，1）；axis off %清除變量，

title（＇雙縫干涉模擬圖示＇，＇fontsize＇，16） %顯示標(biāo)題

圖4 雙縫干涉模擬圖示

通過(guò)MATLAB數(shù)值計(jì)算和圖形模擬，能夠把抽象復(fù)雜的物理概念和公式以更加直觀的圖形圖像的形式呈現(xiàn)出來(lái)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)物理的興趣，提高大學(xué)物理的教學(xué)質(zhì)量。

［1］程守洙，江之永.普通物理學(xué)（第六版）［M］.北京，高等教育出版社，2006（12）：（上冊(cè)）37；182；（下冊(cè)）37－39；132.

［2］劉為國(guó).MATLAB程序設(shè)計(jì)教程［M］.北京：中國(guó)水利水電出版社，2005（3）：99；125；296.

［3］柳承茂.MATLAB入門與應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，1999（10）：51.

［4］馬文淦.計(jì)算物理學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2005（5）：46.

［5］施妙根，顧麗珍.科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1999（8）：424.