吳木營 陳少文 劉敏霞 陳桂華 羅詩裕 邵明珠

（東莞理工學(xué)院電子工程學(xué)院 東莞 523808）

1944年，蘇聯(lián)物理學(xué)家Veksler(次年，McMillan)發(fā)現(xiàn)，高頻電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子具有保持相位穩(wěn)定的能力[1?3]。此后，加速器的能量上限實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的突破。值得注意的是，加速器的能量和束流強(qiáng)度不能兼得，這一矛盾激勵(lì)著研究人員對(duì)加速器技術(shù)和束流動(dòng)力學(xué)給予極大關(guān)注，先后產(chǎn)生了儲(chǔ)存環(huán)技術(shù)、超導(dǎo)技術(shù)和束流冷卻技術(shù)等。本文介紹高頻電壓調(diào)制和束流冷卻同時(shí)存在對(duì)同步運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響。

理想情況下粒子的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的，但由于高頻電壓調(diào)制(或擾動(dòng))——如高頻噪聲、電源波紋及機(jī)械振動(dòng)等因素——運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性將受影響[4]。在很多同步加速器中，都觀察到這一現(xiàn)象。比如在歐洲核子研究中心(CERN)的超級(jí)質(zhì)子同步加速器(SPS)上就曾發(fā)現(xiàn)過[4]，并在單頻假設(shè)和線性近似下進(jìn)行了研究。高頻電壓調(diào)制，也成功地應(yīng)用于高能粒子束的彎晶超慢引出，也應(yīng)用于超短束流引出以及強(qiáng)流集體不穩(wěn)定性的補(bǔ)償?shù)?。在環(huán)形加速器(同步加速器、儲(chǔ)存環(huán)等)的一個(gè)或幾個(gè)直線段上安裝冷卻器，可實(shí)現(xiàn)束流冷卻。由于束流冷卻，離子的 Betatron振蕩和同步振蕩將逐漸衰減。研究人員曾分別考慮過電壓調(diào)制和冷卻效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[4?7]。本文將對(duì)這兩種效應(yīng)進(jìn)行綜合考慮。先在經(jīng)典力學(xué)框架內(nèi)分析冷卻環(huán)的高頻(RF)電壓調(diào)制和冷卻效應(yīng)，把粒子的同步運(yùn)動(dòng)方程化為具有阻尼項(xiàng)和參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)的擺方程；在小振幅近似下，把擺方程化為具有參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)的廣義Duffing方程。然后，用Melnikov方法分析周期軌道的分叉性質(zhì)和異宿軌道的 Smale馬蹄的混沌行為，并討論系統(tǒng)的臨界條件。結(jié)果表明，系統(tǒng)的穩(wěn)定性與其參數(shù)有關(guān)，只需適當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)就可提高同步運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。

1 運(yùn)動(dòng)方程

在理想情況下，如選擇相位f和 P = ?(h|η|νs)δ作為相空間正則坐標(biāo)，時(shí)間t為獨(dú)立變數(shù)，對(duì)于同步加速器，粒子縱向運(yùn)動(dòng)方程可表示為[5]：

其中，ω0是粒子回旋頻率，ωs是同步粒子振蕩頻率，νs=ωs/ω0=(h|η|eV/2π是|cosfs|=1時(shí)的無量綱同步振蕩“頻率”，fs是同步相位，η是相移因子(對(duì)于η<0的加速器，00的加速器，π/2< fs<π)?？紤]到 RF 電壓調(diào)制和束流冷卻衰減(或輻射損失)，并引入θ=ω0t作獨(dú)立變數(shù)；不失一般性，考慮fs=0的穩(wěn)態(tài)情形。當(dāng)fs=0時(shí)，正則方程(1)可化為[4,5]：

其中，bsin(νmθ+χ0)是射頻電壓調(diào)制，b=ΔV/V 是電壓調(diào)制振幅，νm=ωm/ω0是無量綱的電壓調(diào)制頻率(ωm是電壓調(diào)制頻率，角標(biāo)m表示調(diào)制)，χ0是調(diào)制電壓初相位；而2αP/ω0是冷卻項(xiàng)，α為描述冷卻效應(yīng)或輻射衰減的衰減系數(shù)。對(duì)于η<0的加速器，正則方程(2)可化為：

東莞市科技計(jì)劃項(xiàng)目(200910814032)資助

其中μ0=2α/ω0。式(3)是一個(gè)帶有阻尼項(xiàng)和參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)的擺方程。

將 sinf做 Taylor展開：sinf =f ?f3/6 +··，在小振幅近似下，式(3)可化為

式(5)的等價(jià)系統(tǒng)由式(6)給出

2 無擾動(dòng)系統(tǒng)的相平面特征

當(dāng)ε=0時(shí)，式(6)化為

系統(tǒng)的Hamilton量為

在相平面上系統(tǒng)有三個(gè)奇點(diǎn)，一個(gè)中心型奇點(diǎn)(0,0)，兩個(gè)鞍點(diǎn)型奇點(diǎn)(1,0)和(?1,0)。當(dāng)h=1/4時(shí)，存在兩條連結(jié)鞍點(diǎn)型奇點(diǎn)(±1,0)的異宿軌道(分支軌道)；當(dāng)01/4)，相軌道是開放的，當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，坐標(biāo)ξ也趨于無窮，描寫了同步粒子的不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)行為。

兩條異宿軌道由下可得

而周期軌道可以表示為

相應(yīng)的周期

其中，sn、cn、dn為雅可比橢圓函數(shù)；0

由于高頻電壓調(diào)制和冷卻效應(yīng)的影響，式(5)表征的系統(tǒng)存在較典型的混沌行為與分叉性質(zhì)。

圖1 系統(tǒng)的有效勢(shì)(a)和相平面特征(b)Fig.1 Effective potential of the system (a) and its phase planar properties (b).

3 周期軌道的次諧分叉

3.1 周期軌道的Melnikov函數(shù)

對(duì)任一給定的一對(duì)互質(zhì)正整數(shù)(m,n)，存在唯一的 k，滿足 Tk=4(1+k2)1/2K(k)=2πm/ωn，構(gòu)造周期軌道的Melnikov函數(shù)，并完成積分，可得

其中

K'(k)=K(k')，E(k)為第二類完全橢圓積分。由式(15)，系統(tǒng)存在偶階次諧分叉。當(dāng)參數(shù)f、m滿足條件

3.2 次諧分叉的物理意義

當(dāng)b/a<(b/a)c時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之則系統(tǒng)不穩(wěn)定。由式(17)可見：

(1) 如果系統(tǒng)不存在高頻電壓調(diào)制(b=0)，條件b/a<(b/a)c始終滿足，系統(tǒng)不出現(xiàn)次諧分叉，狀態(tài)是數(shù)學(xué)穩(wěn)定的。

(2) 電壓調(diào)制振幅b越小，條件b/a<(b/a)c越易滿足，系統(tǒng)越穩(wěn)定。當(dāng)滿足條件

系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。當(dāng)bbc時(shí)，系統(tǒng)存在次諧分叉。

(3) 衰減系數(shù)a越大，式(27)越易滿足，系統(tǒng)越穩(wěn)定。當(dāng)滿足條件

系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。當(dāng)a>ac系統(tǒng)是穩(wěn)定的，當(dāng)a

4 結(jié)語

本文同時(shí)考慮了電壓調(diào)制和束流冷卻對(duì)同步運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響，在經(jīng)典力學(xué)框架內(nèi)和小振幅近似下，把同步運(yùn)動(dòng)方程化為參數(shù)激勵(lì)的Duffing方程，用 Melnikov方法對(duì)周期軌道的分叉性質(zhì)和異宿軌道的Smale馬蹄混沌行為進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，在無RF電壓調(diào)制和冷卻存在時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，是經(jīng)典束流動(dòng)力學(xué)的結(jié)果；經(jīng)進(jìn)一步揭示，即使RF電壓調(diào)制存在，只要冷卻足夠強(qiáng)，系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。即對(duì)于強(qiáng)冷卻系統(tǒng)，即使RF電壓調(diào)制存在，同步運(yùn)動(dòng)也可能是穩(wěn)定的。此結(jié)果是在考慮高頻電壓調(diào)制和束流冷卻同時(shí)存在時(shí)導(dǎo)出的。如果考慮到影響同步運(yùn)動(dòng)的其他因素，結(jié)果將做適當(dāng)修正。

1 Veksler V I. Compt Rend Acad Sci USSR, 1944, 43: 329

2 Veksler V I. Compt Rend Acad Sci USSR, 1944, 44: 365

3 McMillan E M. Phys Rev, 1945, 68: 143

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8 劉曾榮. 混沌的微擾判據(jù)[M]. 上海: 上海科技教育出版社, 1994 LIU Zengrong. Perturbation Criteria for Chaos[M].Shanghai: Shanghai Scientific and Technological Education, 1994

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10 羅詩裕, 邵明珠, 羅曉華. 正弦平方勢(shì)與應(yīng)變超晶格位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)[J]. 中國科學(xué)(物理學(xué)，力學(xué)和天文學(xué)), 2010,40(2): 207 LUO Shiyu, SHAO Mingzhu, LUO Xiaohua. The sine-squared potential and dislocation dynamics for strained superlattice[J]. Sci Chin(Physics, Mechanics &Astronomy), 2010, 40(2): 207