薛利敏

(渭南師范學院數(shù)學與信息科學學院，陜西渭南714000)

雙曲函數(shù)是通過指數(shù)函數(shù)y=ex和y=e－x來定義的［1－2］.雙曲正弦：sinh x，雙曲余弦：cosh x與定義三角函數(shù)中的正切、余切、正割和余割相同，我們定義雙曲正切：tanh x，雙曲余切：coth x，雙曲正割：sech x和雙曲余割反雙曲正弦：y=arcsinh x=ln(x，反雙曲余弦：y=arccosh x=ln(x，反雙曲正切：y=arctanh x=

雙曲函數(shù)與三角函數(shù)有許多相類似的性質(zhì)、恒等式、微分和積分公式［3－4］：

雙曲函數(shù)有許多應(yīng)用.懸鏈線是由雙曲函數(shù)定義的.在求不定積分時，有雙曲函數(shù)代換法［5］.用雙曲函數(shù)可以求解微分方程［5－7］.在物理學等眾多領(lǐng)域可找到豐富的實際應(yīng)用［8］.

有關(guān)雙曲函數(shù)的不定積分問題，現(xiàn)行教材和資料介紹討論得很少，下面我們就探討有關(guān)雙曲函數(shù)有理式的不定積分問題.

1 雙曲函數(shù)有理式的積分

所謂雙曲函數(shù)有理式是指由雙曲函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù).由于各種雙曲函數(shù)都可用雙曲正弦sinh x和雙曲余弦cosh x的有理式表示，因此，雙曲函數(shù)有理式也就是sinh x和cosh x的有理式，記作R(sinh x，cosh x)，其中R(u，v)表示u和v兩個變量的有理式.

1.1 間接積分法

定理 雙曲函數(shù)有理式R(sinh x，cosh x)的原函數(shù)都是初等函數(shù).

故雙曲函數(shù)有理式的原函數(shù)都是初等函數(shù).

證法2 設(shè)ex=t，(指數(shù)代換).因為

顯然，解法2的指數(shù)代換比解法1的萬能代換麻煩.

從解題過程我們得知，解法1的萬能代換比解法2的指數(shù)代換麻煩.

1.2 直接積分法

例3 求不定積分∫sinh2xdx.

2 結(jié)論

其實，雙曲函數(shù)與三角函數(shù)有許多相似之處，因此，有關(guān)雙曲函數(shù)有理式的積分問題可以借鑒三角函數(shù)有理式的積分方法來解決.

［1］同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學：上冊［M］.第6版.北京：高等教育出版社，2007.17－20.

［2］辛小龍.高等數(shù)學［M］.西安：西北大學出版社，2009.12－13.

［3］陳蘭.圓函數(shù)與雙曲函數(shù)［J］.青海民族師專學報，1999，(1)：56 －59.

［4］薛利敏.高等數(shù)學［M］.北京：教育科學出版社，2011.47.

［5］連坡.巧用換元積分法一題九解［J］.高等數(shù)學研究，2011，(6)：11 －12.

［6］劉繼合.雙曲函數(shù)與微分方程求解［J］.淄博學院學報(自然科學與工程版)，2001，(3)：11－14.

［7］葉健芬，蔡桂平，虞鳳英.利用雙曲函數(shù)法研究非線性方程的行波解［J］.溫州師范學院學報(自然科學版)，2006，(2)：1－4.

［8］翁建平，沈世耀.雙曲函數(shù)在物理學領(lǐng)域中的應(yīng)用［J］.樂山師范學院學報，2004，(5)：30－33.