劉淑華

(長春理工大學(xué) 光電信息學(xué)院，長春 130021)

兩種不同抽樣方式下樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差的比較

劉淑華

(長春理工大學(xué) 光電信息學(xué)院，長春 130021)

給出了在有放回抽樣時，樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差的計算結(jié)果;同時通過引理的證明給出了在無放回抽樣方式下，樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差的結(jié)果。從而說明了在抽樣方式不同的情況下，樣本均值的數(shù)學(xué)期望相同，但方差卻是不同的，但是，當(dāng)樣本容量n很大時，則兩者的差別是不大的;當(dāng)n趨于無窮大時，這兩者就沒有區(qū)別了。

總體;樣本;樣本均值;樣本方差

在數(shù)理統(tǒng)計中，我們經(jīng)常要用到從總體中抽取的樣本構(gòu)成的統(tǒng)計量的分布。當(dāng)總體服從正態(tài)分布時，樣本均值和樣本方差的分布都是確定的，由樣本均值和樣本方差構(gòu)成的某些統(tǒng)計量服從的分布也比較容易計算。一般情況下，統(tǒng)計量的分布不是很容易計算，但統(tǒng)計量的數(shù)字特征相對來說計算還是比較容易的，同時這些統(tǒng)計量的數(shù)字特征的計算又是非常必要的。特別是樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差的計算。一般來說，從總體中抽樣的方式不同，會影響到樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差，為了在一種特殊的抽樣方式之下也能求出樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差，我們先來證明一個引理。

1 引理

口袋中有N張卡片，上面分別寫有數(shù)字Y1，Y2，…，YN，不放回的從中抽出n張，則其和的數(shù)學(xué)期望和方差分別為

以ηn表示n張卡片上的數(shù)字之和，以Xi，i=1，2，…，n表示第i次抽到的卡片上的數(shù)字，則ηn=X1+X2+…+Xn

所以ηn的數(shù)學(xué)期望為

由協(xié)方差的對稱性和Xi之間的對稱性可知

在(2)式中，令n=N，這時ηN=X1+X2+…+XN是一個常數(shù)，從而D(ηN)=0，代入到(2)中，可得

將上述結(jié)果代入到(2)式中，可得

2 樣本的抽取方式為有放回的情況

樣本的抽取方式為有放回的情況下，獲得的樣本為簡單隨機樣本，即從總體中抽出的樣本為相互獨立并且與總體同分布。不妨設(shè)總體的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，并且E(X)=μ，D(X)=σ2。從總體中抽出容量為n的樣本為樣本均值，由于X1，X2，…，Xn相互獨立，并且與總體同分布，從而，樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差分別為

3 樣本的抽取方式為無放回的情況

當(dāng)抽樣方式為無放回的情況時，下一次抽樣是受前一次抽樣的結(jié)果的影響的。此時，設(shè)總體中包含N個個體，從總體中抽取容量為n的樣本X1，X2，…，Xn，

則此時X1，X2，…，Xn，不滿足相互獨立性，但與總體同分布，所以仍然有E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，從而

將上述結(jié)果代入(7)式，則有

即有

4 結(jié)論

通過將(5)與(7)的比較，我們看到，當(dāng)抽樣方式為無放回的時候，樣本均值的期望不變，但方差發(fā)生了變化，與有放回抽樣相比，多了一個倍數(shù)當(dāng)n與N相差不大時，(5)與(7)的差別是很大的;當(dāng)N遠遠大于n時，(5)與(7)的結(jié)果基本相近;當(dāng)N趨于無窮大時，(5)與(7)的結(jié)果就沒區(qū)別了。

［1］ 李賢平.概率論基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，1987.

［2］ 同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計簡明教程［M］.北京：高等教育出版社，2003.

責(zé)任編輯：程艷艷

Comparison of Mathematical Expectation and Variance of Sample Mean by Means of Two Different Sampling Methods

LIU Shu-hua
(College of Optical and Electronical Information，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022，China)

This paper gives the calculation results of mathematical expectation and variance of sample mean in sampling scheme with replacement，at the same time，it presents the results of mathematical expectation and variance of sample mean in sampling scheme without replacement by using lemmas.So we can prove that the mathematical expectation of sample mean is same while the variance is different in different patterns of sampling.But when the sample size n is very large，the difference is slim and when the sample size n tends to infinite，the difference is little.

overall;sample;sample mean;sample variance

O212.2

A

1009-3907(2012)08-0983-03

2012-06-18

劉淑華(1971-)，女，內(nèi)蒙古哲里術(shù)盟人，講師，碩士，主要從事概率論與數(shù)據(jù)統(tǒng)計方面的研究，