馬海，楊錦舟，肖紅兵，劉慶龍，王延江

（1.中國石化勝利石油管理局鉆井工藝研究院，山東 東營(yíng) 257017；2.中國石油大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266555）

0 引 言

當(dāng)一個(gè)變量呈現(xiàn)為空間分布時(shí)，稱之為區(qū)域化變量[1]。從地質(zhì)學(xué)的觀點(diǎn)來看，區(qū)域化變量可以反映地質(zhì)變量的局部性、連續(xù)性、異向性、可遷性等特征。測(cè)井曲線符合區(qū)域化變量的特征，其插值重構(gòu)方法研究已成為國內(nèi)外研究的熱點(diǎn)之一[2－3]。常用的測(cè)井曲線插值方法有三角剖分法[4]、距離加權(quán)反比法[5]、徑向基函數(shù)法[6]、多項(xiàng)式趨勢(shì)面法[7]、分形[8]、克里金插值[9]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]、支持向量機(jī)[11]等，其中以克里金插值方法為代表的地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法和以支持向量機(jī)為代表的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論方法應(yīng)用最為廣泛?？死锝鸩逯邓惴ㄖ械淖儺惡瘮?shù)能夠很好地表征空間變量相關(guān)結(jié)構(gòu)性，但平滑效應(yīng)往往掩蓋了非均質(zhì)性。支持向量機(jī)具有較強(qiáng)的非線性自學(xué)習(xí)能力和泛化能力，克服了傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)方法容易陷入局部最小的缺點(diǎn)，但其難以反映空間結(jié)構(gòu)。綜合考慮2種方法，將支持向量機(jī)與變異函數(shù)相融合，同時(shí)利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)支持向量機(jī)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，這樣既可以體現(xiàn)空間變量的屬相相關(guān)性又能夠反映其空間相關(guān)性。

1 支持向量機(jī)算法

支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）是一種新的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，它的基礎(chǔ)是Vapnik的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論[12－13]。自從 Vapnik等人引入支持向量機(jī)理論以來，SVM在模式識(shí)別方面得到了廣泛的應(yīng)用[14－16]，近年來也被開始用于回歸估 計(jì)[17－18]。傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法采用經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則，在訓(xùn)練中力求最小化樣本誤差，不可避免地出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，模型的泛化能力受到了限制。支持向量機(jī)是在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上形成的，采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則，從而提高了學(xué)習(xí)機(jī)器的泛化能力；SVM的求解最后轉(zhuǎn)化成二次規(guī)劃問題的求解，因此，SVM的解是全局最優(yōu)的[12]。

對(duì)于支持向量機(jī)函數(shù)擬合，考慮用非線性擬合函數(shù)f（x）＝w·φ（x）＋b擬合數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，n，xi∈Rn，yi∈R）的問題。假設(shè)所有訓(xùn)練數(shù)據(jù)在ε精度下無誤差地用非線性函數(shù)擬合，即

解決復(fù)雜非線性問題的徑向基（RBF）核函數(shù)[12－13]為

式中，γ為寬度系數(shù)。

2 變異函數(shù)基本理論

2.1 實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)

變異函數(shù)是地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中描述區(qū)域化變量空間結(jié)構(gòu)性和隨機(jī)性的基本工具[19－20]。在相距為h的2個(gè)空間點(diǎn)x和x＋h的參數(shù)值Z（x）和Z（x＋h）之間的方差，稱為變異函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，h為滯后距，即xi和xi＋h的2個(gè)點(diǎn)之間的距離；Z（xi）、Z（xi＋h）分別為xi和xi＋h的2個(gè)點(diǎn)的實(shí)測(cè)值；N（h）為距離為h的數(shù)據(jù)對(duì)的數(shù)目；γ（h）為實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)值。

2.2 理論變異函數(shù)擬合

根據(jù)計(jì)算的實(shí)驗(yàn)變異函數(shù)，選擇合適的模型進(jìn)行擬合，求得理論變異函數(shù)。常用的模型為球狀模型[20－21]，其形式為

式中，c0為塊金效應(yīng)值；c為基臺(tái)值；a為變程。

常用的擬合方法主要有最小二乘法、多項(xiàng)式加權(quán)擬合法、線性規(guī)劃擬合法等。理論變異函數(shù)的擬合實(shí)際上是一種求解最優(yōu)無偏估計(jì)的優(yōu)化過程，通過選擇合適的擬合方法可以求解出球狀模型中的參數(shù)c0、c、a。

3 融合變異函數(shù)支持向量機(jī)插值方法

3.1 目標(biāo)函數(shù)的選取

支持向量機(jī)插值就是利用支持向量機(jī)算法自動(dòng)求取輸入和輸出之間的權(quán)系數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)未知點(diǎn)的插值。對(duì)于空間變量插值問題，將空間點(diǎn)的坐標(biāo)值作為網(wǎng)絡(luò)輸入，將空間變量的屬性值作為網(wǎng)絡(luò)輸出。利用支持向量機(jī)進(jìn)行插值的目的就是要通過支持向量機(jī)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練獲取網(wǎng)絡(luò)輸入與網(wǎng)絡(luò)輸出的非線性映射關(guān)系，進(jìn)而將網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行推廣。在訓(xùn)練過程中既要達(dá)到網(wǎng)絡(luò)輸出值與期望輸出值誤差最小，同時(shí)又要受到空間相關(guān)性的約束，即

式中，n為樣本點(diǎn)數(shù)目；yi為第i個(gè)樣本點(diǎn)的期望輸出值；oi為第i個(gè)樣本點(diǎn)的實(shí)際輸出值；m為用來計(jì)算變異函數(shù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)的最大滯后數(shù)；γ（hk）為由樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)得到的變異函數(shù)值；γ′（hk）為由網(wǎng)絡(luò)輸出數(shù)據(jù)得到的變異函數(shù)值；hk為第k組數(shù)據(jù)對(duì)對(duì)應(yīng)的間隔距離；ε為允許的誤差限。

采用拉格朗日乘子法求解這個(gè)線性不等式約束問題，則式（8）可以表示為

其中，α為拉格朗日乘子。

3.2 參數(shù)優(yōu)化

支持向量機(jī)模型的復(fù)雜度、泛化能力取決于C、γ這2個(gè)參數(shù)，特別是它們之間的相互影響關(guān)系[12]。其中，懲罰系數(shù)C反映了算法對(duì)超出ε管道的樣本數(shù)據(jù)的懲罰程度，其值影響模型的復(fù)雜性和穩(wěn)定性。C過小，對(duì)超出ε管道的樣本數(shù)據(jù)懲罰就小，訓(xùn)練誤差變大；C過大，學(xué)習(xí)精度相應(yīng)提高，但模型的泛化能力變差。另外，C值影響到對(duì)樣本中離群點(diǎn)的處理，選取合適的C就能在一定程度上抗干擾，從而保證模型的穩(wěn)定性。RBF核的寬度系數(shù)γ反映了支持向量之間的相關(guān)程度。γ很小，支持向量間的聯(lián)系比較松弛，學(xué)習(xí)機(jī)器相對(duì)復(fù)雜，推廣能力得不到保證；γ太大，支持向量間的影響過強(qiáng)，模型難以達(dá)到足夠的精度。

支持向量機(jī)模型要事先確定懲罰系數(shù)C及RBF核的寬度系數(shù)γ。對(duì)于這2個(gè)參數(shù)的選擇方法，多是建立在經(jīng)驗(yàn)和試湊的基礎(chǔ)之上。對(duì)此，本文采用PSO優(yōu)化算法[22]計(jì)算，將支持向量機(jī)參數(shù)C和γ作為粒子的位置向量，在每一次迭代中，粒子通過跟蹤個(gè)體極值點(diǎn)和全局極值點(diǎn)，不斷更新自己的速度和位置，直到找到空間中的最優(yōu)解。

4 算法驗(yàn)證

4.1 實(shí)例1

該例為一組由測(cè)井獲得的地溫場(chǎng)數(shù)據(jù)[23]。方形區(qū)域被等間隔成9×9個(gè)單元，共100個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，原始數(shù)據(jù)等值線圖見圖1?？梢钥闯?，在上、下邊界線處等值曲線形狀很不一樣，在下部形狀為圓滑的凸面，而上部由于值的突變形成了直線。

圖1 原始數(shù)據(jù)等值線圖

從100個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)中隨機(jī)抽取25個(gè)點(diǎn)組成4個(gè)數(shù)據(jù)排列樣本，分別用距離加權(quán)反比法、徑向基函數(shù)法、克里金法、支持向量機(jī)法和改進(jìn)支持向量機(jī)法根據(jù)不同的數(shù)據(jù)排列對(duì)100個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行插值恢復(fù)。圖2給出了各種方法插值重構(gòu)結(jié)果；表1為各種方法插值效果比較。

由圖2可以看出，改進(jìn)的支持向量機(jī)方法無論采樣的空間數(shù)據(jù)點(diǎn)如何排列都能夠較好并且較穩(wěn)定地恢復(fù)空間變量分布。通過分析表1可知，改進(jìn)的支持向量機(jī)方法在平均絕對(duì)誤差、平均相對(duì)誤差、均方根誤差、相關(guān)系數(shù)和方差各個(gè)指標(biāo)都是最好的，而這些指標(biāo)能夠從不同的角度表征空間變量的插值效果。由此可見，本文提出的方法在空間變量的插值精度和穩(wěn)定性上具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)。

圖2 各種方法插值重構(gòu)結(jié)果

表1 各種方法插值效果比較

4.2 實(shí)例2

選用我國北方某煤礦某煤層鉆孔點(diǎn)上的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為例。選取該煤層64個(gè)鉆孔數(shù)據(jù)，包括鉆孔號(hào)、鉆孔坐標(biāo)、煤層厚度數(shù)據(jù)。鉆孔位置分布見圖3。

煤層并非一個(gè)均質(zhì)體，而是一個(gè)時(shí)空連續(xù)的變異體，具有高度的空間異質(zhì)性。煤層厚度能夠反映地質(zhì)變量的結(jié)構(gòu)和隨機(jī)性特征，該變量呈現(xiàn)空間分布，是一種區(qū)域化空間變量。由于鉆孔位置分布不規(guī)則，通過空間插值算法得到煤層厚度數(shù)據(jù)的空間等值線圖[見圖3（a）]。從64個(gè)數(shù)據(jù)中抽取其中50個(gè)數(shù)據(jù)作為已知樣本，利用改進(jìn)的支持向量機(jī)方法對(duì)其他14個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行空間插值重構(gòu)，結(jié)果見圖3（b）。

圖3 煤層厚度等值線圖

利用改進(jìn)的支持向量機(jī)方法進(jìn)行插值重構(gòu)，平均絕對(duì)誤差為0.1392，平均相對(duì)誤差為0.0993，均方根誤差為0.3100，相關(guān)系數(shù)為0.9083，方差為0.1328。通過以上數(shù)據(jù)及圖3可以看出，該方法插值效果較好，具有較強(qiáng)的屬相相關(guān)性和空間相關(guān)性。

5 應(yīng)用實(shí)例

選取新疆油田準(zhǔn)噶爾盆地中央隆起馬橋凸起莫西莊背斜構(gòu)造的莊字號(hào)區(qū)塊的莊2井、莊3井、莊4井、莊5井、莊101井、莊102井、莊103井、莊104井、莊105井、莊106井和莊107井的測(cè)井聲波時(shí)差數(shù)據(jù)，結(jié)合區(qū)塊地質(zhì)構(gòu)造信息對(duì)莊1井西山窯組層位的聲波時(shí)差數(shù)據(jù)進(jìn)行插值重構(gòu)。為了對(duì)插值重構(gòu)結(jié)果進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)中分別采用了距離加權(quán)反比法、徑向基函數(shù)法、克里金法、支持向量機(jī)法和改進(jìn)支持向量機(jī)法。圖4給出了利用各種方法對(duì)莊1井測(cè)井聲波時(shí)差重構(gòu)的結(jié)果比較圖。采用改進(jìn)的支持向量機(jī)算法的莊1井測(cè)井聲波時(shí)差重構(gòu)結(jié)果見圖5示。圖6給出了莊字號(hào)井4149～4159m井段聲波時(shí)差測(cè)井曲線圖。

圖4 莊1井測(cè)井聲波時(shí)差重構(gòu)結(jié)果

從圖5可以看出，采用改進(jìn)的支持向量機(jī)算法對(duì)莊1井測(cè)井聲波時(shí)差曲線進(jìn)行插值重構(gòu)，插值重構(gòu)曲線在總體上與實(shí)際的測(cè)井聲波時(shí)差曲線符合較好，但同時(shí)也看到在一些井段出現(xiàn)了一定的差距，主要表現(xiàn)在4109～4116m、4149～4159m及4288～4300m井段。圖6以4149～4159m井段為例進(jìn)行說明，由于莊1井在此井段的聲波測(cè)井時(shí)差值明顯高于其鄰井在此井段的聲波測(cè)井時(shí)差值，因此在進(jìn)行插值重構(gòu)時(shí)很難擬合實(shí)際情況；同樣，在該井段其他的插值重構(gòu)方法也存在類似的問題。為了解決這個(gè)問題，還需要綜合考慮區(qū)塊的地質(zhì)概況及地層分層情況以及其他一些區(qū)塊信息，有效地將專家知識(shí)以適當(dāng)?shù)姆绞郊尤氲讲逯抵貥?gòu)中，以約束重構(gòu)的不確定性。表2比較了各種方法的聲波測(cè)井時(shí)差重構(gòu)結(jié)果。

表2 聲波測(cè)井時(shí)差重構(gòu)效果比較

通過對(duì)表2分析，可以看出由于改進(jìn)的支持向量機(jī)方法融合了空間變量的相關(guān)信息，在插值效果上優(yōu)于傳統(tǒng)的空間插值方法，誤差和方差相對(duì)較小，可以滿足插值重構(gòu)的精度要求，實(shí)現(xiàn)聲波測(cè)井時(shí)差的有效重構(gòu)。

6 結(jié) 論

（1）將變異函數(shù)融入支持向量機(jī)方法，提出了一種新的空間變量插值方法，該方法既可以體現(xiàn)空間變量的屬性相關(guān)性，又能反映其空間相關(guān)性。

（2）通過對(duì)測(cè)井的地溫場(chǎng)數(shù)據(jù)、煤層厚度數(shù)據(jù)以及測(cè)井聲波時(shí)差曲線的插值重構(gòu)結(jié)果可以看出，改進(jìn)的支持向量機(jī)算法相對(duì)其他插值重構(gòu)算法具有較高的插值精度和較好的相似度，能夠很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)空間區(qū)域變量的插值重構(gòu)。

（3）通過該方法可以利用區(qū)塊已鉆井的地質(zhì)特征參數(shù)對(duì)待鉆井的鉆井地質(zhì)特征參數(shù)進(jìn)行鉆前空間插值，為鉆井模擬提供依據(jù)。

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