王俊波，王金元，趙曦濱，顧明，陳明，焦媛

（1. 南京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210016；2. 西安電子科技大學(xué) 綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論及關(guān)鍵技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；3. 東南大學(xué) 移動(dòng)通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096；4. 清華大學(xué) 信息系統(tǒng)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084）

1 引言

未來無線通信系統(tǒng)將提供非常高的數(shù)據(jù)傳輸速率和大量的無線接入服務(wù)，這將使稀缺的頻譜資源和多樣化的用戶需求之間的矛盾愈顯突出。而近年來，基于傳統(tǒng)蜂窩小區(qū)的通信體制出現(xiàn)了系統(tǒng)干擾增加、規(guī)劃復(fù)雜、切換頻繁等問題，已無法適應(yīng)未來無線通信的發(fā)展要求。最近，分布式天線系統(tǒng)引起了人們的廣泛關(guān)注。分布式天線系統(tǒng)是不同于傳統(tǒng)蜂窩系統(tǒng)的一種嶄新的無線通信系統(tǒng)，它將若干天線分布式放置在小區(qū)的不同地理位置上，每個(gè)天線通過同軸電纜或光纖分別與小區(qū)的中央處理器相連。各分布式天線只負(fù)責(zé)發(fā)送或接收信號(hào)等簡單的操作，所有復(fù)雜的信號(hào)處理功能都在中央處理器完成。研究表明，該系統(tǒng)不僅能提高接收信噪比，降低發(fā)送功率，提供更大的分集增益，而且還減少了小區(qū)之間的切換次數(shù)[1～3]。毋庸置疑，分布式天線系統(tǒng)將極大地改善系統(tǒng)性能，將會(huì)成為未來無線通信極具發(fā)展前景的方向之一。

容量是反映無線通信系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)，并對(duì)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、天線布局等問題的研究具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。到目前為止，已經(jīng)有一些學(xué)者對(duì)分布式天線系統(tǒng)的容量性能進(jìn)行了初步的研究。文獻(xiàn)[4]分別研究了分布式天線系統(tǒng)上行鏈路和下行鏈路的信道容量問題，但是信道模型中的路徑損耗假定為一常數(shù)（0dB）。一般而言，移動(dòng)臺(tái)到各分布式天線的距離是不同的，并且不同地理位置的地形地貌也不盡相同，因此路徑損耗也是有差別的，不能忽略路徑損耗對(duì)系統(tǒng)性能的影響。而文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]同樣對(duì)分布式天線系統(tǒng)的系統(tǒng)容量問題進(jìn)行了分析，但是信道模型沒有考慮陰影衰落的影響。由于分布式天線在地理位置上相距較遠(yuǎn)，因此假設(shè)所有分布式天線具有相同的陰影衰落是不合理的，所推導(dǎo)的容量表達(dá)式缺乏一般性。文獻(xiàn)[7]研究了陰影 Nakagami復(fù)合信道中分布式天線系統(tǒng)的下行各態(tài)歷經(jīng)容量，并推導(dǎo)出了各態(tài)歷經(jīng)容量的近似理論表達(dá)式。此外，通過采用天線協(xié)作機(jī)制，文獻(xiàn)[8]分析了分布式 MIMO系統(tǒng)的中斷容量，得到了中斷容量的理論表達(dá)式。需要注意的是，文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]所得到的各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量表達(dá)式只能計(jì)算移動(dòng)臺(tái)處于小區(qū)中某一具體位置時(shí)的容量，還無法反映移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)的分布對(duì)整個(gè)系統(tǒng)性能的影響。理論上，各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量還與移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)的分布有關(guān)[9]。到目前為止，還未見到相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)分布式天線系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量問題進(jìn)行完整的分析，因此有必要對(duì)其做進(jìn)一步研究。

在文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]的研究基礎(chǔ)之上，本文在選擇分集傳輸策略條件下，進(jìn)一步對(duì)分布式天線系統(tǒng)中的下行各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量問題進(jìn)行研究。為了反映實(shí)際無線傳播環(huán)境的復(fù)雜性，文章首先建立了包含路徑損耗、陰影衰落和瑞利（Rayleigh）衰落的分布式天線系統(tǒng)復(fù)合信道模型；接著，分析出各條鏈路中接收信噪比均服從伽馬-對(duì)數(shù)正態(tài)（gamma-lognormal）分布，并得到其概率密度函數(shù)表達(dá)式。然后，考慮移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)的分布因素，對(duì)分布式天線采用選擇分集策略，分析并推導(dǎo)了各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量的近似解析表達(dá)式。

2 系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)如圖 1所示的單小區(qū)分布式天線系統(tǒng)。假設(shè)小區(qū)是一個(gè)半徑為R的圓形小區(qū)，小區(qū)的基站位于小區(qū)中心，記為DA0；各分布式天線任意地?cái)[放在小區(qū)內(nèi)的不同位置，記為 DAi考慮到系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的限制，假設(shè)每個(gè)移動(dòng)臺(tái)（MS）只有一根天線，并且移動(dòng)臺(tái)按一定的概率密度分布在小區(qū)范圍內(nèi)。不失一般性地，移動(dòng)臺(tái)和 DAi的位置分別用極坐標(biāo) （ρ, θ ）和表示，其中，ρ和θ為移動(dòng)臺(tái)相對(duì)于小區(qū)中心的距離和方位角，而Di和θi為DAi相對(duì)于小區(qū)中心的距離和方位角。

圖1 分布式天線系統(tǒng)

不失一般性，本文考慮分布式天線系統(tǒng)的下行傳輸。對(duì)于下行傳輸，所有的分布式天線均以同頻廣播的方式發(fā)送相同的信號(hào)，移動(dòng)臺(tái)負(fù)責(zé)接收信號(hào)。數(shù)學(xué)上，（ρ, θ ）處移動(dòng)臺(tái)接收到來自DAi的下行信號(hào)可以表示為

其中， yi表示（ρ, θ ）處移動(dòng)臺(tái)從DAi接收的信號(hào)，E為分布式天線的下行傳輸功率， hi表示 DAi和（ρ, θ ）處移動(dòng)臺(tái)之間的信道增益，而z表示夾雜在信號(hào)中的噪聲。在本文中假設(shè)噪聲是均值為 0，方差為 N0的復(fù)高斯隨機(jī)變量。

參照文獻(xiàn)[10]，本文考慮由路徑損耗、陰影衰落和小尺度衰落構(gòu)成的復(fù)合信道。數(shù)學(xué)上，式(1)中的信道增益 hi可以表示為

其中， gi,Pi（ρ, θ ） 和 Si分別表示小尺度衰落，路徑損耗和陰影衰落。本文假設(shè)這3種衰落彼此之間相互獨(dú)立。不失一般性，假設(shè)小尺度衰落 gi的包絡(luò)服從 Rayleigh分布，則gi2服從指數(shù)（exponential）分布[11]，若gi2的均值為 1，則其概率密度函數(shù)可表示為

式(2)中的路徑損耗 Pi（ρ, θ ） 是關(guān)于移動(dòng)臺(tái)位置（ρ, θ ）的函數(shù)，可以描述為[12]

其中，βi為路徑損耗指數(shù)，d0為參考距離，di（ρ,θ）為DAi和（ρ, θ ）處移動(dòng)臺(tái)之間的距離，可以表示為此外，式(2)中的陰影衰落 Si服從對(duì)數(shù)正態(tài)（lognormal）分布，假設(shè)其均值為0 dB，因此其概率密度函數(shù)為[12]，σi（單位dB）為10lgSi的標(biāo)準(zhǔn)差。

由式(1)和式(2)知，（ρ, θ ）處移動(dòng)臺(tái)從DAi接收信號(hào)時(shí)，接收信噪比為

其中，Ωi= EPi（ ρ, θ ）Si/ N0。由于 Si服從lognormal分布，則Ωi也服從lognormal分布，其概率密度函數(shù)可表示為

相應(yīng)地，γi的概率密度函數(shù)可由式(7)和式(8)得到

由式(9)可知，γi服從gamma-lognormal分布。

假設(shè)發(fā)射端已知DAi和（ρ, θ ）處移動(dòng)臺(tái)之間的信道狀態(tài)信息，并且采用選擇分集傳輸策略，也就是只選擇能使移動(dòng)臺(tái)接收信噪比最大的一個(gè)分布式天線傳輸信息，則接收信噪比可表達(dá)為

3 各態(tài)歷經(jīng)容量分析

在本節(jié)中，將對(duì)分布式天線系統(tǒng)下行傳輸?shù)母鲬B(tài)歷經(jīng)容量進(jìn)行分析。為了便于下文的理論分析，首先將式(9)中服從gamma-lognormal分布的γi近似為服從 lognormal分布；然后，基于選擇分集傳輸策略，推導(dǎo)了給定移動(dòng)臺(tái)位置時(shí)的容量表達(dá)式；最后，考慮到移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)的分布情況，進(jìn)一步推導(dǎo)出了分布式天線系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)容量近似解析表達(dá)式。

3.1 概率密度函數(shù) f γ i ( r )的近似表達(dá)

從式(9)可以看出，γi的概率密度函數(shù)是一個(gè)復(fù)雜的積分函數(shù)，很難通過數(shù)值積分方法求出其解析表達(dá)式。參照文獻(xiàn)[14]，式(9)中的gamma-lognormal分布可以近似為lognormal分布

其中， μ?i（ρ, θ ） 是所近似的lognormal分布的均值，可以表示為

而式(11)中的 σ?i2代表近似lognormal分布的方差，可以表示為

3.2 給定移動(dòng)臺(tái)位置時(shí)的各態(tài)歷經(jīng)容量分析

由于各分布式天線在地理位置上分開放置且相距較遠(yuǎn)，可以認(rèn)為式(10)中各信噪比γi彼此之間相互獨(dú)立。因此，接收信噪比γ的累積分布函數(shù)（CDF）可以表示為

因此，（ρ, θ ）處移動(dòng)臺(tái)的下行各態(tài)歷經(jīng)容量可以表示為

其中， tn, Hn分別為 Np階Hermite多項(xiàng)式的基點(diǎn)和權(quán)值。式(17)的具體推導(dǎo)過程見附錄B。

3.3 各態(tài)歷經(jīng)容量分析

到目前為止，式(17)推導(dǎo)出了下行各態(tài)歷經(jīng)容量的近似表達(dá)式，但該表達(dá)式是關(guān)于移動(dòng)臺(tái)位置的函數(shù)，即給定一個(gè)移動(dòng)臺(tái)位置，可以得到一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)容量?？梢娫撊萘窟€無法評(píng)估移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)的不同位置對(duì)系統(tǒng)性能的影響。理論上，各態(tài)歷經(jīng)容量還與移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)的分布有關(guān)。下面考慮小區(qū)內(nèi)移動(dòng)臺(tái)的分布特點(diǎn)，令 δ （ρ, θ ） 為極坐標(biāo)下移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)分布的概率密度函數(shù)，則各態(tài)歷經(jīng)容量可以描述為

由于移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)的分布是任意的，函數(shù)一般比較復(fù)雜，因此式(18)通常沒有閉式解。在本文中，進(jìn)一步利用二維復(fù)化Simpson積分公式[16]，將系統(tǒng)下行的各態(tài)歷經(jīng)容量近似表達(dá)為

4 中斷容量分析

在本節(jié)中，將對(duì)分布式天線系統(tǒng)下行傳輸?shù)闹袛嗳萘窟M(jìn)行分析。首先在系統(tǒng)選擇分集傳輸策略下，分析給定移動(dòng)臺(tái)位置時(shí)的中斷容量近似表達(dá)式；然后，考慮到移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)的分布情況，進(jìn)一步推導(dǎo)出了分布式天線系統(tǒng)的中斷容量近似解析表達(dá)式。

4.1 給定移動(dòng)臺(tái)位置時(shí)的中斷容量分析

中斷容量是指信道瞬時(shí)容量小于某一給定目標(biāo)容量 Cth時(shí)的中斷概率[8]。同樣假設(shè)式(10)中各信噪比彼此之間相互獨(dú)立。因此，在給定移動(dòng)臺(tái)位置時(shí)系統(tǒng)的中斷容量可以表示為

利用式(9)和 Gauss-Hermite積分公式[15]，Pr｛ γi≤ 2Cth-1｝ 可以近似為

其中，式(22)的詳細(xì)推導(dǎo)過程見附錄 C。然后，將式(22)代入式(21)，可以得到給定移動(dòng)臺(tái)位置時(shí)的中斷容量為

其中， tn, Hn分別為 Np階Hermite多項(xiàng)式的基點(diǎn)和權(quán)值。

4.2 中斷容量分析

與各態(tài)歷經(jīng)容量類似，中斷容量同樣與移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)的分布有關(guān)?？紤]到小區(qū)內(nèi)移動(dòng)臺(tái)的分布，則中斷容量可以表示為

其中，δ （ρ, θ ）為小區(qū)內(nèi)移動(dòng)臺(tái)分布的概率密度函數(shù)。

然后，進(jìn)一步利用二維復(fù)化Simpson積分公式[16]，將系統(tǒng)下行中斷容量近似表達(dá)為

其中，各參數(shù)的取值與式(19)中類似，此處不再贅述。

5 數(shù)值結(jié)果

本節(jié)將通過蒙特卡羅（Monte Carlo）仿真，給出路徑損耗指數(shù)、分布式天線數(shù)目、移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)的分布等因素對(duì)容量性能的影響，并驗(yàn)證系統(tǒng)下行傳輸?shù)母鲬B(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量理論表達(dá)式的準(zhǔn)確性。不失一般性地，考慮一個(gè)半徑為R的圓形小區(qū)作為測試系統(tǒng)。在這個(gè)系統(tǒng)中，基站位于小區(qū)中心，其余分布式天線均勻分布在半徑為 R 2的圓上，相鄰天線節(jié)點(diǎn)間的角度為2πN。此外，為描述移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)分布的非均勻性，把小區(qū)劃分為如圖2所示2部分，位于小區(qū)中心且半徑為Rh的圓形區(qū)域?yàn)閰^(qū)域1，記為Ψ1；小區(qū)中除區(qū)域1的其他部分為區(qū)域2，記為Ψ2。不失一般性地，移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)分布的概率密度函數(shù) δ （ρ, θ ）可以假設(shè)為

其中， Sh為區(qū)域1的面積，S為整個(gè)小區(qū)的面積。λ∈ ［ 0,1］表示移動(dòng)臺(tái)分布在區(qū)域1中的概率。不難發(fā)現(xiàn)，λ取值不同，對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)也不同，也即移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)的分布情況不同。當(dāng) λ =ShS時(shí)，移動(dòng)臺(tái)在整個(gè)小區(qū)內(nèi)服從均勻分布；當(dāng)λ＞ ShS 時(shí)，區(qū)域1為熱點(diǎn)區(qū)域，大多數(shù)移動(dòng)臺(tái)分布在區(qū)域1；當(dāng) λ ＜ ShS 時(shí)，區(qū)域2為熱點(diǎn)區(qū)域，移動(dòng)臺(tái)則主要分布于區(qū)域2。特別地，當(dāng)λ=0時(shí)，移動(dòng)臺(tái)全部分布在區(qū)域2；而當(dāng)λ=1時(shí)，移動(dòng)臺(tái)則全部分布在區(qū)域1。需要強(qiáng)調(diào)的是，只要 λ ≠ ShS ，移動(dòng)臺(tái)在整個(gè)小區(qū)內(nèi)就是非均勻分布。為了觀察移動(dòng)臺(tái)非均勻分布對(duì)系統(tǒng)性能的影響，不失一般性地，下文的仿真中取λ=0.4作為非均勻分布場景。系統(tǒng)的主要參數(shù)如表1所示。

表1 主要參數(shù)

圖3 移動(dòng)臺(tái)均勻分布時(shí)，不同路徑損耗指數(shù)對(duì)各態(tài)歷經(jīng)容量性能的影響

圖4 移動(dòng)臺(tái)非均勻分布時(shí)，不同路徑損耗指數(shù)對(duì)各態(tài)歷經(jīng)容量性能的影響

圖 5和圖 6則分別給出了當(dāng)移動(dòng)臺(tái)均勻分布（λ=ShS ）和非均勻分布（λ=0.4）時(shí)，不同分布式天線數(shù)目對(duì)中斷容量性能的影響。從2圖中可以看出，隨著發(fā)送信噪比（E N0）的增加，接收信噪比也將隨之增加，滿足容量約束的移動(dòng)臺(tái)數(shù)量也越來越多，進(jìn)而使得中斷容量逐漸降低。從2圖中還可看出，分布式天線數(shù)目越多，所得到的中斷容量越小。這是因?yàn)榉植际教炀€數(shù)目越多，系統(tǒng)的分集度越高，可以使接收端獲得更高的信噪比增益；另一方面，移動(dòng)臺(tái)接入系統(tǒng)的平均距離也隨著分布式天線數(shù)目的增加而減小，使得信道增益中的路徑損耗變小，進(jìn)而使接收信噪比變大，最終使得中斷容量隨分布式天線數(shù)目的增加而逐漸降低。

圖5 移動(dòng)臺(tái)均勻分布時(shí)，不同分布式天線數(shù)目對(duì)中斷容量性能的影響

圖6 移動(dòng)臺(tái)非均勻分布時(shí)，不同分布式天線數(shù)目對(duì)中斷容量性能的影響

需要強(qiáng)調(diào)的是，圖3～圖6中，移動(dòng)臺(tái)在小區(qū)內(nèi)不論是均勻分布還是非均勻分布，各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量的仿真值與理論值之間的誤差均十分小以至于可以忽略不計(jì)，因此本文提出的分布式天線系統(tǒng)中的系統(tǒng)下行各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量表達(dá)式具有很好的準(zhǔn)確性，可廣泛用于評(píng)估各種場景下的分布式天線系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量性能。

6 結(jié)束語

本文研究了基于選擇分集傳輸策略的分布式天線系統(tǒng)下行傳輸?shù)娜萘繂栴}。在所建立的復(fù)合信道模型下，分析并推導(dǎo)了各態(tài)歷經(jīng)容量和中斷容量近似解析表達(dá)式。數(shù)值結(jié)果表明，用本文所推導(dǎo)的2個(gè)近似解析表達(dá)式計(jì)算所得到的理論值與計(jì)算機(jī)仿真值均非常吻合，因此它們具有極好的準(zhǔn)確性，可廣泛用于各種場景下容量性能的評(píng)估，為下一步分布式天線系統(tǒng)的小區(qū)規(guī)劃、天線布局等問題的研究奠定了基礎(chǔ)。

附錄A

其中， Fγi(r )為γi的CDF。此外，由式(11)知，F(xiàn)γi( r)可以表達(dá)為

其中，erfc()?表示互補(bǔ)誤差函數(shù)。把式(29)代入式(27)即得式(14)。

附錄B

由文獻(xiàn)[15]中式(25.4.46)知，Gauss-Hermite積分公式為

因此，式(31)即為式(17)。

附錄C

利用式(9)，并交換積分次序，可將 P r{γi＜2Cth-1}化簡為

因此，式(33)即為式(22)。

[1] 唐蘇文, 陳明. 分布式天線系統(tǒng)的功率有效性分析[J]. 通信技術(shù),2009, 42(3): 30-32.TANG S W, CHEN M. Power efficiency in distributed antenna systems[J]. Communications Technology, 2009, 42(3): 30-32.

[2] YOU X, WANG D, SHENG B, et al. Cooperative distributed antenna systems for mobile communications[J]. IEEE Wireless Communications, 2010, 17(3): 35-43.

[3] FENG W, XU X, ZHOU S, et al. Sum rate characterization of distrib-uted antenna systems with circular antenna layout[A]. IEEE 69th Vehicular Technology Conference[C]. Barcelona, Spain, 2009.

[4] ROH W, PAULRAJ A. MIMO channel capacity for the distributed antenna systems[A]. IEEE 56th Vehicular Technology Conference[C].Vancouver, Canada, 2002. 706-709.

[5] DAI L, ZHOU S, YAO Y. Capacity analysis in CDMA distributed antenna systems[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications,2006, 4(6): 2613-2620.

[6] ZHUANG H, DAI L, XIAO L, et al. Spectral efficiency of distributed antenna system with random antenna layout[J]. IEE Electronics Letters,2003, 39(6): 495-496.

[7] CHEN H, CHEN M. Capacity of the distributed antenna systems over shadowed fading channels[A]. IEEE 69th Vehicular Technology Conference[C]. Barcelona, Spain, 2009.

[8] CHEN H, WANG J, CHEN M. Spectral efficiency of the distributed MIMO system with antenna cooperation[A]. IEEE 71st Vehicular Technology Conference[C]. 2010.

[9] QIAN X, CHEN M, WANG X, et al. Antenna location design for distributed antenna systems with selective transmission[A]. International Conference on Wireless Communication and Signal Processing[C]. Nanjing, China, 2009.

[10] 李漢強(qiáng), 郭偉, 劉輝. 分布式天線系統(tǒng)MIMO信道容量分析[J]. 通信學(xué)報(bào), 2005, 26(8): 134-138.LI H Q, GUO W, LIU H. Analysis of MIMO channel capacity for distributed antenna system[J]. Journal on Communications, 2005, 26(8):134-138.

[11] MCDONOUGH R, WHALEN A. Detection of Signals in Noise (2nd edn)[M]. California: Academic Press, 1995.

[12] GOLDSMITH A. Wireless Communication[M]. New York: Cambridge University Press, 2005.

[13] PAPOULIS A. Probability, Random Variables and Statistic Processes(3rd edn)[M]. NewYork: McGraw-Hill Companies. Inc, 1991.

[14] STUBER G. Principles of Mobile Communication (2nd edn)[M].Boston: Kluwer Academic Publishers, 1996.

[15] ABRAMOWITZ M, STEGUN I. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (9th edn)[M].New York: Dover Publications, 1970.

[16] BURDEN R, FAITES J. Numerical Analysis Fourth Edition[M].Boston: PWS KENT Publishing Company, 1989.