夏 晶

(大慶師范學院)

0 引言

通過群的階來給出群的一些性質已有許多結果.例如著名的Feit-Thompson定理:奇數(shù)階群必可解和Burnside定理:設p、q是素數(shù)，a、b是正整數(shù)，則paqb階群必可解等等.以及在文獻［1］中還給出了象有限p-群(p是素數(shù))是冪零群階是2n，n是奇數(shù)的群是可解群，p2(p是素數(shù))階，群必為交換群等重要結果.該文給出了若群的階|G|=p1p2…pn，則G是超可解群;以及群G的階|G|=60p1…pn，若G是極小單群，則G≌A5，這里p1，p2，…，pn是互不相同的大于5素數(shù).

1 主要概念和引理

定義 極小非可解群即每個真子群為可解的單群，稱之為極小單群.

引理1［1］設p是群G的階的最小素因子，P∈Sylp(G)，P循環(huán)，則G有正規(guī)p-補.

引理2［1］設G是非交換單群，p是G的階的最小素因子，則p3||G|或12||G|.

引理3［1］60階單群必同構于A5.

引理4［2］極小單群有下述五個類型:

Ⅱ.PSL(2，2q)，q是素數(shù)，階 2q(22q-1)

Ⅲ.PSL(2，3q)，q是奇素數(shù)，階·3q(32p-1).

Ⅳ.PSL(3，3)，33(33-1)(32-1)=24×33×13.

Ⅴ.Suzuki群S2(2q)，q奇素數(shù)，階(22q+1)22q(2q-1).

引理5［1］60階單群必同構于A5.

2 主要定理

定理1 設G的階為|G|=p1p2…pn，其中p1，p2，…，pn是不同的素數(shù)，則G是超可解群.

證明 不妨設p1＜p2＜…＜pn.當n=1時，G是p-群，是冪零群，當然是超可解群.于是可以假設n≥2，Sylow定理知G的Sylowp1-子群P1的階是素數(shù)p1，從而是循環(huán)子群.于是G有正規(guī)p1-補G1，且|G1|=p2…pn.同理G1有正規(guī)p2-補G2.即G2?G1，且|G2|=p3…pn.易知G2是G的Hall子群，再由G2是G的次正規(guī)子群，從而G2是G的正規(guī)子群.如此下去，我們得到G的一個正規(guī)子群列.

使得|Gi-1/Gi|=pi，i=1，2，…，n.從而G是超可解群.

定理2A5是極小單群.

證明 設N是A5的任意真子群，由|A5|=60，|M|||A|知|N|=1，2，3，5，4=2×2，6=2×3，10=2×5，12=22×3，15=3×5，20=22×5，30=2×3×5，即|N|=p，paq，pqr型群.其中p、q、r是不同的素數(shù)，由文獻［1］及定理1，知N是可解群.而A5是單群，從而A5是極小單群.

定理3 設群G的階為|G|=22×3×5×p1×p2×…×pn，其中p1，…，pn均是大于5的不同素數(shù)，若G是極小單群，則G≌A5.即G是階為60的單群.

證明 由引理4知G只有五個類型的可能.若G是類型Ⅰ由5||G|，5，知p=5.即

由引理5知G≌PSL(2.5)≌A5.

若G是類型Ⅱ.由22|||G|，及q是素數(shù)知，q=2，即22(22×2-1)=60.從而有G≌A5≌PSL(2.4).

若G是類型Ⅲ，q是奇素數(shù)，則33||G|，與|G|恰好被3 整除，矛盾，故G≌/PSL(2，33).

由24||PSL(3，3)|，知G≌/PSL(3，3)，即G不可能是類型Ⅳ.

若G≌S2(2q).由q是奇素數(shù)知26||G|，與4|||G|矛盾.故G≌/S2(2q).

綜上所述，有G≌A5.

［1］ 徐明曜.有限群導引(上)［M］.北京:科學出版社，1999.

［2］ 陳重穆.內外-∑群與極小非-∑群［M］.重慶:西南師范大學出版社，1988.