王茜茜

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

近幾十年中，約束集具有分離結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問(wèn)題受到廣泛的關(guān)注，因?yàn)榇祟?lèi)優(yōu)化問(wèn)題在數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)，均衡問(wèn)題，決策分析等許多實(shí)際方面有廣泛的應(yīng)用背景.分離優(yōu)化是指約束集具有分離結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問(wèn)題，其中分離結(jié)構(gòu)是指約束集是由有限個(gè)獨(dú)立集合的并集構(gòu)成.文獻(xiàn)［3］中，作者研究了一類(lèi)在有限維空間中分離優(yōu)化問(wèn)題的一階最優(yōu)性條件并且通過(guò)對(duì)均衡問(wèn)題指標(biāo)集的劃分，將均衡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束集為有限維空間中有限個(gè)凸多面體的并集的分離優(yōu)化問(wèn)題，最終得到了此類(lèi)問(wèn)題的一階最優(yōu)性條件.在有限維空間中廣義凸多面體與凸多面體是等價(jià)的，然而在無(wú)限維空間中，兩者的定義是截然不同的.該文是在此基礎(chǔ)上將有限維的情況推廣到無(wú)窮維Banach空間，分析了約束集是有限個(gè)廣義凸多面并集的分離優(yōu)化問(wèn)題的一階最優(yōu)性條件.

1 預(yù)備知識(shí)

約束集為抽象集合的優(yōu)化問(wèn)題如下:

定義問(wèn)題(1)的可行域?yàn)棣?{x∈X:g(x)∈K}.

定義1設(shè)是問(wèn)題(1)的可行點(diǎn)，

(Ⅰ)若條件0∈Δf()+(Δg())*(g()，K)在點(diǎn)成立，則點(diǎn)是問(wèn)題(1)的強(qiáng)穩(wěn)定點(diǎn).

(Ⅱ)若條件0∈Δf()+(Δg())*×N(g()，K)在點(diǎn)成立，則點(diǎn)是問(wèn)題(1)的M穩(wěn)定點(diǎn).當(dāng)K是凸集時(shí)，N(g()，K)(g()，K)，即在K是凸的情況下，M穩(wěn)定點(diǎn)和強(qiáng)穩(wěn)定點(diǎn)是等價(jià)的.

定義2設(shè)是問(wèn)題(1)的可行點(diǎn)，

(Ⅰ)若條件TΦ()={u∈X:Δg()u∈TK(g())}=:LΦ()在點(diǎn)成立，則稱(chēng)廣義阿貝德型約束品性(GACQ)在點(diǎn)成立.

(Ⅱ)若條件N;Φ())?(LΦ())-在點(diǎn)成立，則稱(chēng)廣義納特型約束品性(GGCQ)在點(diǎn)成立.

明顯地，因?yàn)?;Φ)?(TΦ())-，所以若(GACQ)在點(diǎn)成立，則(GGCQ)也在點(diǎn)成立.

引理1［2］(廣義Fakas引理)設(shè)X和Y是Banach空間，是A:X→Y線(xiàn)性連續(xù)映射且像是閉的，ai∈X*，i=1，2，…，p，則

的負(fù)極錐可以寫(xiě)成如下形式:

…，p}

引理2［1］設(shè)是 Banach 空間中有限個(gè)非空閉集的并，∈K且定義積極指標(biāo)集為Ⅰ()={i∈∈Ki}，則有

進(jìn)一步，若Ki，i∈Ⅰ是凸的，則

此引理的證明詳見(jiàn)文獻(xiàn)［1］中性質(zhì)3.1.該文中基本記號(hào)文獻(xiàn)［4］.

2 主要結(jié)論

該文主要研究下述分離優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)性條件:

其中Ki，i∈Ⅰ={1，…，m}是Y中的廣義凸多面體，X和Y是Banach空間，f:X→R和g:X→Y連續(xù)可微映射，約束集K是有限多個(gè)廣義凸多面體集Ki的并.

設(shè)∈Φ，定義極值映射L:Y?X:

命題1 設(shè)K是Y中的非空閉集，g:X→Y是連續(xù)可微映射，∈g-1(K)且Φ為定義中的集值映射.若Φ在點(diǎn)(0，)是calm的，則

證明 定義函數(shù)f(y，x)=y+g(x)，其中(y，x)∈Y×X.因?yàn)間是連續(xù)可微的，故f:Y×X→Y在(0，)點(diǎn)是連續(xù)可微的且是滿(mǎn)射.由文獻(xiàn)［4］中的定理1.17，

下面證明對(duì)任意的x*∈N(，Φ(0))，存在y*∈Y*使得(y*，x*)∈N((0，)，gphΦ).

因?yàn)閤*∈N(，Φ(0))，故對(duì)任意的k∈N，存在使得x*.因?yàn)槭怯薪绲?，故存在一個(gè)有界序列λk使得，由文獻(xiàn)［4］中引理1.35和引理1.84知，對(duì)任意的γ＞0，函數(shù)

在xk點(diǎn)達(dá)到局部最小值，即存在rk↓0，使得對(duì)?x∈B(xk，rk)有

由題設(shè)知Φ在點(diǎn)(0，)是calm的，故存在r＞0和L＞0，使得對(duì)?y∈B(0，r)，有

由公式(7)和(8)知，當(dāng)k充分大時(shí)，函數(shù)

在點(diǎn)(0，xk)∈gphΦ點(diǎn)達(dá)到局部最小值.由文獻(xiàn)［5］中引理4.3.4知，對(duì)于充分大的，函數(shù)φ(y，x)+dgphΦ(y，x)在(0，xk)點(diǎn)達(dá)到一個(gè)無(wú)約束的局部極小值.進(jìn)而由［4］中引理5.3可知，存在∈LB(Y*)使得0+(4εk+γ)B(X*)+N((0，xk)，gphΦ).令k→∞ 和γ→0，則有*∈LB(Y*)和λ＞0，使得(*，x*/λ)∈N((0，)，gphΦ)，其中且λk→λ.因?yàn)镹((0，)，gphΦ)是一個(gè)錐，故有(*，x*/λ)∈N((0，)，gphΦ)成立.由(6)能夠推出(5)，命題得證.

定理1設(shè)是問(wèn)題(3)的局部極小值點(diǎn)，若在點(diǎn)滿(mǎn)足廣義型約束品性(GGCQ)，則是問(wèn)題(3)的M穩(wěn)定點(diǎn).

證明因?yàn)樵邳c(diǎn)滿(mǎn)足(GGCQ)，由文獻(xiàn)［4］中命題5.1可知0∈Δf()+L(0)-.進(jìn)一步，由負(fù)極錐的定義可知，u=0是下述優(yōu)化問(wèn)題的解:

由公式(4)中L的定義可知，問(wèn)題(9)的約束集可以等價(jià)為u∈L(0).因?yàn)镵i是廣義凸多面體，則T(g()，Ki)是廣義凸多面體錐.故由引理2知，

是有限個(gè)廣義凸多面體錐的并集，由文獻(xiàn)［2］中定理2.207和定理2.208知，L在0點(diǎn)是上lipschitz的，故L在(0，0)點(diǎn)是calm.由命題1，有

又因?yàn)閺V義凸多面體是滿(mǎn)足conical性質(zhì)的，故NTK(g(x))(0)=NK(g())成立.最后，因?yàn)閡=0是優(yōu)化問(wèn)題(9)的解，故由文獻(xiàn)［4］中命題5.1，優(yōu)化問(wèn)題(9)的最優(yōu)性條件可以表示為

故滿(mǎn)足M穩(wěn)定點(diǎn)定義，定理得證.

定義2設(shè)是問(wèn)題(3)的局部極小值點(diǎn)，若條件

成立，稱(chēng)交叉性質(zhì)在點(diǎn)滿(mǎn)足.

定理2設(shè)是問(wèn)題(3)的局部極小值點(diǎn)，若在點(diǎn)滿(mǎn)足納特型約束品性(GGCQ)和交叉性質(zhì)(10)，則是問(wèn)題(3)的強(qiáng)穩(wěn)定點(diǎn).

證明 由定理1的證明過(guò)程，本定理從下式開(kāi)始證明

由公式(4)和引理1知，

因?yàn)镵i是廣義凸多面體，則T(g()，Ki)是廣義凸多面體錐.不妨假設(shè)存在，A是從Y到Z的一個(gè)連續(xù)線(xiàn)性映射，使得

又因?yàn)锳是線(xiàn)性連續(xù)映射，故對(duì)?i∈Ⅰ，有

由引理1可知，

上式由交叉性質(zhì)和引理2可得.故L(0)-=，則

故由強(qiáng)穩(wěn)點(diǎn)定定義可知，命題得證.

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