劉 齊 ，胡艷紅，馬玉秋

(1.哈爾濱師范大學;2.哈爾濱學院)

向量優(yōu)化理論是優(yōu)化理論和應用的主要研究領域之一.對這一問題的研究涉及到凸分析、非線性分析 、非光滑分析 、偏序理論等多門學科.它的理論和方法在現(xiàn)代社會經(jīng)濟中具有十分廣泛的應用，因此向量優(yōu)化理論的研究既具有重要的理論價值也具有實際應用意義.Phelps在文獻［1］中，定義了一個Bishop-Phelps錐，在Phelps文獻［1］和Jahn文獻［2］中，證明了任何一個有有界閉基的尖錐，都存在包含 C的Bishop-Phelps錐.2001年，Gasimov在文獻［3］中證明了由Bishop-Phelps錐引入偏序的賦范空間中，在沒有凸性和有界性的假設下，一類單調增的次線性函數(shù)支撐點集就是Benson意義下的真有效點集.

在文獻［4］中Refail Kasimbeyli給出了3種擴展對偶錐的定義.由這些擴展對偶錐的元素定義了一族特殊的單調增次線性函數(shù).作為錐分離的應用，Refail Kasimbeyli利用純量化技巧，證明了Banach空間中集合的真有效點都可以由最小化某個次線性函數(shù)來計算.

該文主要是在上述文獻的啟發(fā)下，在局部凸空間下，將一般對偶錐推廣，并用擴展對偶錐的元素定義了一類單調增的次線性函數(shù).給出了擴展對偶錐的一些性質和利用一個對非凸向量優(yōu)化問題的簡單有效的純量技巧，并由此證明集合的有效點解可以通過計算某個次線性泛函的最小點得到.在賦范空間中Phelps定義的Bishop-Phelps錐如下:

其中α∈(0，1］，y*∈Y*是一個連續(xù)的線性泛函且‖y*‖ =1.錐可以被表示成這個函數(shù)f(y)=α‖y‖-y*(y)的零次水平集.

設Y是一個實的拓撲向量空間，Spec(Y)是Y上的一族半范，則可由Spec(Y)引入局部凸的拓撲，使得Y是局部凸的拓撲向量空間.

令C是Y的非空子集，集合C是一個錐是指:若y∈C，λ ≥0，λy∈C.

一個錐C是尖的是指:C∩(-C)={0}.

一個錐C是生成錐是指:C-C=Y.

由一個集合A生成的錐記為 cone(A):cone(A)={λa:λ ≥0，a∈A}.

一個凸錐C≠{0}的非空凸子集D稱為錐C的基是指:

定義1 設Y是局部凸的拓撲向量空間，C是Y中凸錐并誘導一個偏序，

Y的對偶空間記為Y*，C的對偶錐為C*，定義如下:

用C#表示C*的擬內部，這里

定義2 設Y是局部凸拓撲向量空間，對于存在的f∈Y*任意的p∈Spec(Y)，常數(shù)α＞0，定義Bishop-Phelps錐:

由文獻［5］中的定理1.33及推論知，當Y是局部凸空間時，C有一個有界基的充要條件是存在一個非零的連續(xù)泛函f滿足對任意的連續(xù)性半范P，存在一個αp＞0使得f(y)≥αpp(y)，?y∈C，因此當C具有有界基時，存在一個包含C的Bishop-Phelps錐.

據(jù)此引入擴展對偶錐定義如下:

顯然有如下的包含關系成立:Ca#?Ca0?Ca*.

擴展對偶錐的一些性質.

定理1 令C和K是Y中的兩個非空錐，假設Ca*非空，則下列結論成立:

(1)若C?K，則有Ka*?Ca*.(2)對任意的(f，pα)∈Ca*，定義水平集

則S(f，pα)是包含-C的閉凸錐.

(3)對任意的(f，pα1)，(f，pα2)∈Ca*若任意的 ?y∈Y，都有pα1(y)≤pα2(y)，則S(f，pα1)?S(f，pα2)成立.

證明 (1)?(f，pα)∈Ka*，?y∈K，都有f(y)-pα(y)≥0，對任意的∈C?K由于C?K.即(f，pα)∈Cα*，故有Kα*?Cα*

(2)任取(f，pα)∈Cα*，因為函數(shù)g(f，pα)=f(y)+pα(y)是一個連續(xù)的正齊次凸函數(shù)，故S(f，pα)是閉凸錐.對 ?y∈-C，有f(-y)-pα(y)≥0即有f(y)+pα(y)≤0，故有-C?S(f，pα).

(3)任取(f，pα1)，(f，pα2)∈Cα*，任取(f，pα2).由pα1(y)≤pα2(y)，則 0 ≥f(y)+pα2(y)≥f(y)+pα1(y)，這就說明y∈S(f，pα1)，故有Kα*?Cα*.

定義3 令C是局部凸空間Y中的凸錐，函數(shù)g:Y→R在Y上是單調的是指:?y1，y2∈Y，若y1-y2∈C，則g(y1)≥g(y2).

定義4 令C是局部凸空間Y中的凸錐，函數(shù)g:Y→R在Y上是強單調的是指:對任意?y1，y2∈Y，若?y1-y2∈C{0}，則g(y1)＞g(y2).

定義5 令C是局部凸空間Y中的凸錐，且int(C)非空，函數(shù)g:Y→R在Y上是嚴格單調的是指:對任意y1，y2∈Y，若y1-y2∈int(C)則g(y1)＞g(y2).

定理2 設Y是由一個閉凸錐C賦偏序的局部凸空間 ，任取f∈C#和pα1∈Spec(Y)，定義函數(shù)g:Y→R+如下:

則這個函數(shù)g(f，pα)(y)在Y上是單調的，嚴格單調的若int(C)非空和強單調的當且僅當(f，pα)分別屬于Cα*，Cao和Ca#.

證明 充分性:任取y1，y2∈Y，且y1-y2∈C.

任取(f，pα)∈Ca*.

從Cα*的定義中可知g(f，pα)是單調，同理從Cao和Cα#的定義可知g(f，pα)是嚴格單調和強單調的.

必要性:任取(f，pα)∈C#×Spec(Y)，若g(f，pα)(y)=f(y)+pα(y)是單調的，?y∈C，0-(-y)∈C.故有0=f(-y)+pα(-y)，即f(y)-pα(y)≥0.從而(f，pα)∈Ca*.當g是強單調和嚴格單調時也可以分別證明(f，pα)∈Cao，(f，pα)∈Ca#.

定理3 令C是局部凸空間Y的一個閉凸尖錐.若C有一個有界閉基，則C#是非空的.進一步地對于每一個f∈C#，存在Pα∈Spec(Y)滿足(f，pα)∈Ca#.

證明 令D為C的一個有界閉基.因為D是閉凸的和0?cl(D)，知存在一個非零的連續(xù)線性泛函f∈Y*和一個實數(shù)δ滿足

這說明f∈C#，則C#是非空的.

另一方面，對于?y∈D，令顯然pα是連續(xù)的半范.

進而f(y)-pα(y)＞0，?y∈C{0}.這說明(f，pα)∈Ca#.

接下來的定理說明的是 cone(-C)可以表示成(4)中定義的水平集的交集.

定理4 令C是一個實的局部凸空間Y的閉凸尖錐，若C有一個有界閉基，則-C=S(C)，其中

證明 由定理3知C#是非空的.進一步地對于每一個f∈C#，存在Pα∈Spec(Y)滿足(f，pα)∈Cα#.再由定理 1 的 (2)知-C?S(C).因此，只需去證明相反的結論.假設0≠∈S(C)且?(-C).令T=R+{}，則T∩(-C)={0}.由于C是閉凸尖錐，那么由文獻［6］的定理3.22知存在一個f∈C#使得f)＞0，這樣由定理3知，存在Pα∈Spec(Y)滿足(f，pα)∈Ca#.由于pα()≥0，有f()+pα()＞0，這與∈S(C)矛盾.

下面的定理可以寫成定理4的函數(shù)表示.定理5 令C是實的局部凸空間Y的閉凸尖錐.定義函數(shù)gC:Y→R如下:

若C有一個有界閉基，則-C={y∈Y:gC(y)≤0}.由定理4的結果直接得到，故略去證明.

令Y是由一個凸錐C?Y賦偏序的局部凸向量空間，A是Y中的非空子集.

定義6(a)元素∈A稱為集合A的極小元，如果({}-C)∩A}={}

(b)令int(C)非空，元素∈A，稱為集合A的弱極小元，如果

(c)元素∈A，稱為集合A有Benson意義下的極小元，如果是A的極小元素或者Y中的零元是A+C在處的射線錐R(A+C，)的極小元，其中R(A+C，)=cl(cone()).

(d)元素∈A，稱為集合A有Henig的意義下的真極小元，如果∈A是集合A關于某個凸錐K的極小元，其中C{0}?int(K).

定理6 令Y是由閉凸尖錐C?Y賦偏序的局部凸向量空間，令

(f，pα)∈Y*×Spec(Y)，Sol(SP)是純量問題(SP)的最優(yōu)解集

對于一個任何給定的(f，pα)∈Ca*，如果Sol(SP)非空，則下列結論成立:

(1)若(f，pα)∈Cao，則每一個 Sol(SP)的元素都是A的弱極小元素.

(2)若(f，pα)∈Ca*，Sol(SP)是一個單點集，則這個元素是A的極小元素.

(3)若(f，pα)∈Cα#，則 Sol(SP)中的每一個元素都是A有Benson意義下的真極小元.

證明 (1)令(f，pα)∈Cao，用反證法，假設存在∈Sol(P)但不是A的弱極小元.則存在y∈A{}，使得y∈{}-int(C).由(f，pα)∈Cao，由定理2 知函數(shù)g(f，pα)=f(y)+pα(y)是嚴格單調的，進而有g(f，pα)(y)＜g(f，pα)()這與∈Sol(P)矛盾.

(2)令(f，pα)∈Ca*，假設存在∈Sol(P)不是A的極小元素，則({}-C)∩A≠{}，即?y∈A，使得y∈{}-C，因為(f，pα)∈Ca*.由定理 2 知g(f，pα)=f(y)+pα(y)是單調的，進而有g(f，pα)(y)≤g(f，pα)().這與是Sol(SP)的唯一解矛盾.

(3)令(f，pα)∈Ca#，假設∈Sol(P)不是A有Benson意義下的真極小元.若不是A的極小元素，則({}-C)∩A≠{}}，即?y∈A，使得y∈{}-C.因為(f，pα)∈Ca#由定理2知g(f，pα)=f(y)+pα(y)是強單調的，進而有g(f，pα)(y)≤g(f，pα)().這與∈Sol(P)矛盾.若0不是射線錐R(A+C，)的極小元素.即cl(cone())∩(-C)≠{0}.存在0≠y1∈-C，使得y1∈，?y2∈A，y3∈C，使得y1=y2+y3-，y2-1-y3.由(f，pα)∈Ca#，知g(f，pα)=f(y)+pα(y)是強 單調的，g(f，pα)(y)＜g(f，pα)()這與∈Sol(p)矛盾.

［1］ Phelps R R.Support cones in Banach space and their applications.Advances in Math，1974，13:1-19 .

［2］ Jahn J.A generalization of a theorem of Arrow ，Barankin，and Blackwell，SiamI J.Control Optim，1998，26:999-1005.

［3］ Gasimov R N.Characterization of the Benson proper efficiency and scalarization in non-convex vector optimization，in Multiple Criteria Decision Making in the New Millennium(Ankara，2000).Lecture，2006:521-540.

［4］ Refail Kasimbeyli.A nonlinear cone separation theorem and scalarization in non-convex vector optimization.Siam J Optim，2010，20(3):1591-1619.

［5］ Song W，Sach P H.Set-valued Vector Optimization.

［6］ Jahn J.Vector optimization.Springer-Verlin，Berlin，Heidelberg，2004.