李桂云，馬秀琴

（1.天津冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械系，天津 300400；2.河北工業(yè)大學(xué) 能源與環(huán)境工程學(xué)院，天津 300401）

0 引言

機(jī)械設(shè)備用不均勻板材相比均勻厚度板材是一種節(jié)約型板材，在造船、汽車(chē)等行業(yè)應(yīng)用十分廣泛．機(jī)械設(shè)備用板材的自由振動(dòng)問(wèn)題具有較高的理論和實(shí)際研究?jī)r(jià)值，許多研究人員[1-3]已經(jīng)對(duì)不均勻板的自由振動(dòng)進(jìn)行了多年的研究．由于板材自由振動(dòng)的復(fù)雜性，一般需要進(jìn)行數(shù)值計(jì)算來(lái)獲得離散點(diǎn)的數(shù)值解[4-6]．本文提出了一種新的用于計(jì)算不均勻板自由振動(dòng)問(wèn)題的離散方法．為了驗(yàn)證理論上獲得的板材振動(dòng)特性數(shù)值解的準(zhǔn)確性，應(yīng)用激光全息干涉法對(duì)板材的振動(dòng)特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究．本文的計(jì)算和試驗(yàn)方法可為不均勻板材的振動(dòng)特性研究提供一定的參考價(jià)值．

1 板材自由振動(dòng)特性的數(shù)值計(jì)算

本文采用離散的方法來(lái)研究機(jī)械設(shè)備用板材的振動(dòng)特性，對(duì)板材單元進(jìn)行離散時(shí)沒(méi)有對(duì)板材的變形做任何的假設(shè)，克服了傳統(tǒng)的Rayleigh-Ritz法中的形狀函數(shù)的假設(shè)．板材自由振動(dòng)頻率的數(shù)值求解分成以下3個(gè)步驟．

第1步，用 函數(shù)建立基本微分方程．

用 函數(shù)建立基本微分方程，這些微分方程完全滿足于整個(gè)板的任何單元．不均勻板的基本微分方程如下

第2步，獲得離散點(diǎn)的數(shù)值解．

把微分方程轉(zhuǎn)化成積分方程，采用數(shù)值積分，獲得離散點(diǎn)的數(shù)值解．方程 (1)在點(diǎn) (i,j)的離散結(jié)果如下式中：系數(shù)的表達(dá)式,詳見(jiàn)參考文獻(xiàn) [1]．

第3步，應(yīng)用格林公式獲得板材自由振動(dòng)振幅和特征方程．

利用數(shù)值積分和無(wú)量綱方程，我們可以得到變厚板的自由振動(dòng)的特征方程 (4)．

通過(guò)式 (4)的分析，可以看出，計(jì)算板材的振動(dòng)頻率時(shí)，用到的參數(shù)只是板的邊界上的未知量，而與板中間單元的未知量無(wú)關(guān)，這樣大大減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù)．

2 板材自由振動(dòng)特性實(shí)驗(yàn)研究

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

將裝有應(yīng)變儀的試樣固定在夾具上，使其形成懸臂梁的邊界條件,并用發(fā)聲器發(fā)出聲音．應(yīng)變儀的最大輸出振蕩頻率被視為共振頻率．使用平均時(shí)間法，獲取在感光板上形成的全息圖，以達(dá)到獲得這些共振圖形的目的[7-8]．實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示．

2.2 實(shí)驗(yàn)原理

全息攝影的特性是記錄光波的相位和振幅．激光光束被分光鏡分割成基準(zhǔn)光束和物體光束后產(chǎn)生干涉波形，波形被全息相紙記錄．如果再用同樣波長(zhǎng)的基準(zhǔn)光束照射全息圖一次，則顯示最初的物體光束[7,9]．實(shí)驗(yàn)原理如圖2所示．

圖1 激光全息干涉儀Fig.1 Laser holography instrument

2.3 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

本文分別對(duì)均勻厚度板材、非均勻厚度板材和帶有缺陷板材的振動(dòng)特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證．各種板材的選擇如下．

2.3.1 均勻厚度板材

實(shí)驗(yàn)用鋁合金板材的長(zhǎng)度和寬度為90mm，厚度為1 mm．

2.3.2 非均勻厚度板材

實(shí)驗(yàn)用兩種非均勻厚度板材的形狀如圖3所示．

2.3.3 帶有缺陷的板材

實(shí)驗(yàn)用有缺陷板尺寸和性能如表1．有缺陷板的形狀和尺寸如圖4所示，缺陷位于板的中間．

圖2 全息原理Fig.2 Principleof hologram

圖3 非均勻厚度板材（孔用于安裝）(單位mm)Fig.3 Specimen with non-uniform thickness(holesused for fixing)

圖4 帶有缺陷板Fig.4 A platewith adefect

表1 帶有缺陷板材的尺寸及性能Tab.1 Characteristics of the specimen of plates with a hole defect

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3.1 均勻厚度板材

通過(guò)全息干涉法獲得各向同性的均勻厚度懸臂板的振動(dòng)頻率和節(jié)點(diǎn)圖如圖5所示．其中上面圖像為實(shí)驗(yàn)得到的頻率值，下面為數(shù)值解的頻率值．

3.2 非均勻厚度板材

圖6和7為板A和B在5階振動(dòng)模式下的節(jié)點(diǎn)模型圖，其中左側(cè)為數(shù)值解，右側(cè)為實(shí)驗(yàn)值．

3.3 帶有缺陷的板材

帶有缺陷A的振動(dòng)頻率如圖8所示．通過(guò)圖5至圖8可以看出，三類(lèi)板材的數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)得到的振動(dòng)圖形基本一致．均勻厚度板材所有振動(dòng)圖形線對(duì)稱于垂直坐標(biāo)軸．非均勻厚度板材的振動(dòng)圖形線不對(duì)稱于垂直坐標(biāo)軸，獲得的是傾斜的振動(dòng)圖形．

圖5 均勻厚度板材節(jié)點(diǎn)圖Fig.5 Nodal patternsfor plateswith uniform thickness(upper:experimental;lower:analytical)

圖6 板A的數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)節(jié)點(diǎn)振型的比照?qǐng)DFig.6 Comparison of nodal patternsof analytic and experimental resultsof plate A

圖7 板B數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)節(jié)點(diǎn)圖Fig.7 Comparison of nodal patternsof analytical and experimental resultsof plate B

圖8 缺陷A板的數(shù)值解和實(shí)驗(yàn)振動(dòng)頻率值的比較圖Fig.8 Vibration frequenciesof analytical and experimental results(defect-A)

4 結(jié)論

本文就各向同性均勻厚度、非均勻厚度和帶有缺陷板材的自由振動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)研究．?dāng)?shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較具有很高的一致性．其比較的結(jié)果表明本文提出的數(shù)值計(jì)算方法可以得到很好的收斂性和滿意的精度．本文獲得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)不均勻板材自由振動(dòng)頻率測(cè)量具有足夠的精度．

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