馬鳳敏，吳曉春，張 偉，張慶成

（1.河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河北 石家莊 050000；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春 130024）

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于一個(gè)圖G（V，E），如果對(duì)每一個(gè)v∈V（G），存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)g（v）（稱為頂點(diǎn)v的標(biāo)號(hào)）滿足：（1）max｛g（v）｜v∈V｝＝｜E（G）｜；（2）?u，v∈V，如果u≠v，則g（u）≠g（v）；（3）?e1，e2∈E（G），如果e1≠e2，則g＊（e1）≠g＊（e2），其中g(shù)＊（e）＝｜g（u）－g（v）｜，uv＝e（稱為由g導(dǎo)出的邊標(biāo)號(hào)），則稱G為優(yōu)美圖，稱g為G的一個(gè)優(yōu)美值或優(yōu)美標(biāo)號(hào).設(shè)Pn是一個(gè)n長路，其上的點(diǎn)依次為v0，v1，…，vn，a和b是非負(fù)整數(shù)，若Pn的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g 滿足g（v0）＝a，g（vn）＝b，則稱g是Pn的一個(gè)（a，b；n）－優(yōu)美標(biāo)號(hào)，記為g（a，b，n），稱Pn是（a，b；n）－優(yōu)美的.

優(yōu)美標(biāo)號(hào)的概念是由Golomb在文獻(xiàn)［1］中給出的.由于應(yīng)用范圍的廣泛性，許多學(xué)者做了大量的研究工作，已有詳盡的研究成果［2］.2004年，P.Gvozdjak在文獻(xiàn)［3］中為了解決著名的Oberwolfach問題，提出（a，b；n）－優(yōu)美猜想：路Pn是（a，b；n）－優(yōu)美的當(dāng)且僅當(dāng)非負(fù)整數(shù)a，b，n滿足：（1）b－a與n（n＋1）／2有相同的奇偶性；（2）0＜｜b－a｜≤（n＋1）／2；（3）n／2≤a＋b≤3n／2.

該猜想的必要性已由P.Gvozdjak在文獻(xiàn)［3］中給出.關(guān)于充分性，文獻(xiàn)［3］對(duì)n≤20的情況驗(yàn)證成立.a＝0的情況，S.M.Lee等人在文獻(xiàn)［4］給出.a＝1，2的情況由文獻(xiàn)［5］解決了.a＝3的情況我們已另文證明.本文則證明了a＝4時(shí)，（a，b；n）－優(yōu)美猜想成立.

為方便我們約定，Z表示整數(shù)集，Z［m，k］＝｛x∈Z｜m≤x≤k｝，當(dāng)k＞m 時(shí)，記Z［m，k］＝?.

2 結(jié)果及證明

我們首先利用非負(fù)整數(shù)a，b，n滿足（a，b；n）－優(yōu)美猜想條件，把n和b進(jìn)行分類.

引理2.1 當(dāng)a＝4，非負(fù)整數(shù)a，b，n滿足（a，b；n）－猜想條件，則

n≥16，b＝（n－7）／2或b＝（n－3）／2或b＝（n＋1）／2或b＝（n＋5）／2或b＝（n＋9）／2.

引理2.2 當(dāng)a＝4，n為偶數(shù)時(shí)，該猜想成立.即對(duì)滿足猜想條件的b和偶數(shù)n，Pn是（4，b；n）－優(yōu)美的.

證明思路是將部分特殊值具體標(biāo)出，一般情形對(duì)n分情況進(jìn)行處理.

證明 a＝4.

當(dāng)n≥16時(shí)，把n分成5種情況討論：

情形1 當(dāng)n≡0（mod 10）.

當(dāng)n≥40時(shí)，我們定義v1，v2，…，v10（3＋m）的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（1）當(dāng)b＝（n－8）／2，m＝n／10－4，我們定義vn－9，vn－8，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（2）當(dāng)b＝（n－4）／2，m＝n／10－4，我們定義vn－9，…，vn－8，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（3）當(dāng)b＝n／2，m＝n／10－4，我們定義vn－9，vn－8，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（4）當(dāng)b＝（n＋4）／2，m＝n／10－5，我們定義vn－19，vn－18，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（5）當(dāng)b＝（n＋8）／2，m＝n／10－4，我們定義vn－9，vn－8，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

情形2 當(dāng)n≡2（mod 10）.

當(dāng)n≥42時(shí)，我們定義Pn的（4，b；n）－優(yōu)美標(biāo)號(hào)如下：

（1）頂點(diǎn)v1，v2，…，v10（3＋m）的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g與情形1給定的g 相同.

（2）當(dāng)b＝（n－8）／2，m＝（n－2）／10－4，我們定義vn－11，vn－10，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（3）當(dāng)b＝（n－4）／2，m＝（n－2）／10－4，我們定義vn－11，vn－10，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（4）當(dāng)b＝n／2，m＝（n－2）／10－4，我們定義vn－11，vn－10，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（5）當(dāng)b＝（n＋4）／2，m＝（n－2）／10－4，我們定義vn－11，vn－10，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（6）當(dāng)b＝（n＋8）／2，m＝（n－2）／10－4，我們定義vn－11，vn－10，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

情形3 當(dāng)n≡4（mod 10）.

當(dāng)n≥44時(shí)，我們定義Pn的（4，b；n）－優(yōu)美標(biāo)號(hào)如下：

（1）頂點(diǎn)v1，v2，…，v10（3＋m）的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g與情形1給定的g 相同.

（2）當(dāng)b＝（n－8）／2，m＝（n－4）／10－4，我們定義vn－13，vn－12，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（3）當(dāng)b＝（n－4）／2，m＝（n－4）／10－4，我們定義vn－13，vn－12，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（4）當(dāng)b＝n／2，m＝（n－4）／10－3，我們定義vn－3，vn－2，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（5）當(dāng)b＝（n＋4）／2，m＝（n－4）／10－3，我們定義vn－3，vn－2，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（6）當(dāng)b＝（n＋8）／2，m＝（n－4）／10－5，我們定義vn－23，vn－22，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

情形4 當(dāng)n≡6（mod 10）.

當(dāng)n≥46時(shí)，我們定義Pn的（4，b；n）－優(yōu)美標(biāo)號(hào)如下：

（1）頂點(diǎn)v1，v2，…，v10（3＋m）的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g與情形1給定的g 相同.

（2）當(dāng)b＝（n－8）／2，m＝（n－6）／10－4，我們定義vn－15，vn－14，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（3）當(dāng)b＝（n－4）／2，m＝（n－6）／10－3，我們定義vn－5，vn－4，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（4）當(dāng)b＝n／2，m＝（n－6）／10－4，我們定義vn－15，vn－14，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（5）當(dāng)b＝（n＋4）／2，m＝（n－6）／10－3，我們定義vn－5，vn－4，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（6）當(dāng)b＝（n＋8）／2，m＝（n－6）／10－3，我們定義vn－5，vn－4，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

情形5 當(dāng)n≡8（mod 10）.

當(dāng)n≥38時(shí)，我們定義Pn的（4，b；n）－優(yōu)美標(biāo)號(hào)如下：

（1）頂點(diǎn)v1，v2，…，v10（3＋m）的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g與情形1給定的g 相同.

（2）當(dāng)b＝（n－8）／2，m＝（n－8）／10－3，我們定義vn－7，vn－6，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（3）當(dāng)b＝（n－4）／2，m＝（n－8）／10－3，我們定義vn－7，vn－6，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（4）當(dāng)b＝n／2，m＝（n－8）／10－3，我們定義vn－7，vn－6，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（5）當(dāng)b＝（n＋4）／2，m＝（n－8）／10－3，我們定義vn－7，vn－6，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（6）當(dāng)b＝（n＋8）／2，m＝（n－8）／10－3，我們定義vn－7，vn－6，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

引理2.3 當(dāng)a＝4，n為奇數(shù)時(shí)，（a，b；n）－優(yōu)美猜想成立.即對(duì)滿足猜想條件的b和奇數(shù)n，Pn是（4，b；n）－優(yōu)美的.當(dāng)n≥16，我們分以下5種情形分別討論：

情形1 n≡1（mod 10）.

當(dāng)n≥41時(shí)，我們定義Pn的（4，b；n）－優(yōu)美標(biāo)號(hào)如下：

（1）頂點(diǎn)v1，v2，…，v10（3＋m）的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g與引理2.2情形1給定的g相同.

（2）當(dāng)b＝（n－7）／2，m＝（n－1）／10－4，我們定義vn－10，vn－9，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（3）當(dāng)b＝（n－3）／2，m＝（n－1）／10－4，我們定義vn－10，vn－9，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（4）當(dāng)b＝（n＋1）／2，m＝（n－1）／10－4，我們定義vn－10，vn－9，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（5）當(dāng)b＝（n＋5）／2，m＝（n－1）／10－5，我們定義vn－20，vn－19，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（6）當(dāng)b＝（n＋9）／2，m＝（n－1）／10－4，我們定義vn－10，vn－9，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

情形2 當(dāng)n≡3（mod 10）.

當(dāng)n≥43，我們定義Pn的（4，b；n）－優(yōu)美標(biāo)號(hào)如下：

（1）頂點(diǎn)v1，v2，…，v10（3＋m）的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g與引理2.2情形1給定的g相同.

（2）當(dāng)b＝（n－7）／2，m＝（n－3）／10－4，我們定義vn－12，vn－11，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（3）當(dāng)b＝（n－3）／2，m＝（n－3）／10－4，我們定義vn－12，vn－11，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（4）當(dāng)b＝（n＋1）／2，m＝（n－3）／10－4，我們定義vn－12，vn－11，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（5）當(dāng)b＝（n＋5）／2，m＝（n－3）／10－4，我們定義vn－12，vn－11，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（6）當(dāng)b＝（n＋9）／2，m＝（n－3）／10－4，我們定義vn－12，vn－11，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

情形3 當(dāng)n≡5（mod 10）.

當(dāng)n≥45時(shí)，我們定義Pn的（4，b；n）－優(yōu)美標(biāo)號(hào)如下：

（1）頂點(diǎn)v1，v2，…，v10（3＋m）的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g與引理2.2情形1給定的g相同.

（2）當(dāng)b＝（n－7）／2，m＝（n－5）／10－4，我們定義vn－14，vn－13，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（3）當(dāng)b＝（n－3）／2，m＝（n－5）／10－3，我們定義vn－4，vn－3，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（4）當(dāng)b＝（n＋1）／2，m＝（n－5）／10－3，我們定義vn－4，vn－3，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（5）當(dāng)b＝（n＋5）／2，m＝（n－5）／10－3，我們定義vn－4，vn－3，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（6）當(dāng)b＝（n＋9）／2，m＝（n－5）／10－5，我們定義vn－24，vn－23，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

情形4 當(dāng)n≡7（mod 10）.

當(dāng)n≥47，我們定義Pn的（4，b；n）－優(yōu)美標(biāo)號(hào)如下：

（1）頂點(diǎn)v1，v2，…，v10（3＋m）的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g與引理2.2情形1給定的g相同.

（2）當(dāng)b＝（n－7）／2，m＝（n－7）／10－3，我們定義vn－6，vn－5，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（3）當(dāng)b＝（n－3）／2，m＝（n－7）／10－3，我們定義vn－6，vn－5，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（4）當(dāng)b＝（n＋1）／2，m＝（n－7）／10－4，我們定義vn－6，vn－5，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（5）當(dāng)b＝（n＋5）／2，m＝（n－7）／10－3，我們定義vn－6，vn－5，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（6）當(dāng)b＝（n＋9）／2，m＝（n－7）／10－3，我們定義vn－6，vn－5，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

情形5 當(dāng)n≡9（mod 10）.

當(dāng)n≥39，我們定義Pn的（4，b；n）－優(yōu)美標(biāo)號(hào)如下：

（1）頂點(diǎn)v1，v2，…，v10（3＋m）的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g與引理2.2情形1給定的g相同.

（2）當(dāng)b＝（n－7）／2，m＝（n－9）／10－3，我們定義vn－8，vn－7，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（3）當(dāng)b＝（n－3）／2，m＝（n－9）／10－3，我們定義vn－8，vn－7，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（4）當(dāng)b＝（n＋1）／2，m＝（n－9）／10－3，我們定義vn－8，vn－7，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（5）當(dāng)b＝（n＋5）／2，m＝（n－9）／10－3，我們定義vn－8，vn－7，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

（6）當(dāng)b＝（n＋9）／2，m＝（n－9）／10－3，我們定義vn－8，vn－7，…，vn＋1的優(yōu)美標(biāo)號(hào)g如下：

由引理2.1—2.3可得本文主要結(jié)果：

定理2.1 當(dāng)a＝4時(shí)，（a，b；n）－優(yōu)美猜想成立.即對(duì)滿足猜想條件的b，n，Pn（n≥4）是（4，b；n）－優(yōu)美的.

［1］GOLOMB S W.How to number a graph，in graph theory and computing［M］.New York：Acadmic Press，1972：23－37.

［2］GALLIAN J A.A dynamic survey of graph labeling［J］.The Electronic Journal of Combinarorics，2009（DS6）：1－219.

［3］GVOZDJAK P.On the oberwolfach problem for cycles with multiple lengths［D］.Burnaby：Simon Fraser University，2004.

［4］LEE S M，LAI K Y，WANG Y S.On the graceful permutation graphs conjecture［J］.Congressus Numerantium，1994，103（2）：193－201.

［5］范麗霞，梁志和.關(guān)于n長路的（a，b；n）－優(yōu)美猜想［J］.河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2010，34（1）：5－9.