祝德春，張 方，姜金輝

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

近年來(lái)，隨著人類(lèi)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究的進(jìn)一步加深，動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別技術(shù)也得到了快速發(fā)展?，F(xiàn)今為止，比較成熟的動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別技術(shù)是頻域法和時(shí)域法，一些新興的如基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法的動(dòng)載荷識(shí)別方法也逐漸發(fā)展起來(lái)，橋梁移動(dòng)載荷識(shí)別技術(shù)［1］也得到了很好的發(fā)展。以往這些研究，大都是在已知載荷激勵(lì)位置的情況下進(jìn)行的識(shí)別。例如，Bartlett和Flannelly［2］對(duì)直升機(jī)槳轂中心動(dòng)載荷識(shí)別方法研究展開(kāi)了模型驗(yàn)證，開(kāi)創(chuàng)了動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別的先河。英國(guó)帝國(guó)學(xué)院Ewins和Hillary［3］較系統(tǒng)地建立了頻域載荷識(shí)別方法。在沖擊載荷位置識(shí)別方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者也開(kāi)展了一些研究。東京工業(yè)大學(xué)Inoue等［4］應(yīng)用Gabor小波分解技術(shù)將時(shí)域散射波作時(shí)頻變換，通過(guò)確定各頻率彎曲波在梁內(nèi)傳播的時(shí)間來(lái)確定沖擊位置。德國(guó)Stuttgart大學(xué)Gaul和Hurlebaus［5］等基于小波變換，通過(guò)確定不同頻率彎曲波的到達(dá)時(shí)間和與優(yōu)化方法相協(xié)同的技術(shù)，識(shí)別了沖擊作用位置。以上兩種方法利用了小波的時(shí)頻分析特性，能夠較好的確定振動(dòng)波的傳播時(shí)間和頻率分布情況，但是對(duì)于振動(dòng)傳遞路徑復(fù)雜的復(fù)雜模型仍然難以實(shí)現(xiàn)載荷位置的識(shí)別。周晚林等［6］將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和反分析法相結(jié)合，提出了用于反求載荷位置的有限元逆逼近方法，用于識(shí)別載荷位置。嚴(yán)剛、周麗［7］將沖擊載荷識(shí)別問(wèn)題轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問(wèn)題，以模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際量測(cè)信息之差作為最小化理論目標(biāo)函數(shù)，提出了一種基于遺傳算法自適應(yīng)搜索的沖擊載荷識(shí)別方法。對(duì)沖擊時(shí)刻未知和量測(cè)信息缺失的情況，他們還提出了一種同時(shí)識(shí)別沖擊時(shí)刻和沖擊位置并近似重建沖擊載荷歷程的方法［8］。但是，他們的方法不足之處在于難以保證優(yōu)化過(guò)程中的每一步計(jì)算都能順利獲得準(zhǔn)確的振動(dòng)響應(yīng)(即計(jì)算任意位置的振動(dòng)響應(yīng))，另外量測(cè)數(shù)據(jù)的真實(shí)性與可靠性也是影響載荷識(shí)別正確與否的重要因素。侯秀慧等［9］基于HPD－S格式的精細(xì)積分法，建立了梁上移動(dòng)載荷識(shí)別方法，提高了大步長(zhǎng)情況下移動(dòng)載荷的識(shí)別精度。張方等［10］研究了基于有限元模型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)分布動(dòng)載荷識(shí)別問(wèn)題，為復(fù)雜結(jié)構(gòu)確定性分布的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)載荷識(shí)別奠定了基礎(chǔ)。

本文通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)支梁振動(dòng)特性進(jìn)行研究，根據(jù)動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別頻域法(以下簡(jiǎn)稱(chēng)頻域法)的基本原理，采用梁上任意兩組不同振動(dòng)響應(yīng)在載荷作用位置處識(shí)別的一組動(dòng)載荷在量值上相等的原則，提出了梁上動(dòng)態(tài)載荷激勵(lì)位置識(shí)別的“最小判定系數(shù)法”。

1 載荷識(shí)別頻域法

所謂頻域法，就是指用頻響函數(shù)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應(yīng)信息求解系統(tǒng)外載荷的方法。一種頻響函數(shù)矩陣求逆法，即假設(shè)系統(tǒng)所需確定的載荷數(shù)為P，響應(yīng)的測(cè)點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)，則有載荷與響應(yīng)之間的關(guān)系:

其中，X(ω)為響應(yīng)譜向量，F(xiàn)(ω)為載荷譜向量，H(ω)為頻響函數(shù)矩陣，式(1)寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式為:

若待定的載荷數(shù)與響應(yīng)的測(cè)點(diǎn)數(shù)相等，即L=P，則H(ω)為方陣，式(2)的求解在理論上非常簡(jiǎn)單，由下式即可求得:

在L＞P的情況下，H(ω)不是方陣，則對(duì)頻響函數(shù)求廣義逆，此時(shí)載荷識(shí)別的公式就變?yōu)?

該方法思路簡(jiǎn)單，通過(guò)優(yōu)化選取響應(yīng)測(cè)點(diǎn)，可以有效地識(shí)別動(dòng)態(tài)載荷，其工程應(yīng)用較為廣泛。

2 簡(jiǎn)支梁動(dòng)力學(xué)模型

建立簡(jiǎn)支梁模型如圖1所示。

圖1 簡(jiǎn)支梁模型圖Fig.1 The model of simply supported beam

假設(shè)該模型為Bernoulli-Euler梁(不考慮剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響)，具有均勻橫截面A，且質(zhì)量均勻分布(單位長(zhǎng)度梁的質(zhì)量ρ為常數(shù))，截面彈性模量為E，截面慣性矩為I，梁的運(yùn)動(dòng)滿足小變形理論并在彈性范圍內(nèi)，則其動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程為:

其中，w=w(x，t)為梁的橫向變形，c0為梁的外部介質(zhì)阻尼系數(shù)，c1為梁的內(nèi)阻尼系數(shù)，P為梁所受的外載荷向量。

根據(jù)模態(tài)疊加理論，梁的橫向變形可表示為:

其中qr(t)為第r階廣義模態(tài)坐標(biāo)，φr(x)為第r階模態(tài)陣型，對(duì)于簡(jiǎn)支梁，可用如下形式表示:

根據(jù)模態(tài)正交性，式(5)可以變換為模態(tài)空間下解耦的微分方程組:

由式(8)可得梁上x(chóng)a處激勵(lì)，任意位置的頻響函數(shù)為:

通過(guò)仿真計(jì)算或?qū)嶒?yàn)測(cè)試獲得響應(yīng)測(cè)點(diǎn)與外載荷激勵(lì)點(diǎn)之間的頻響函數(shù)，構(gòu)造載荷識(shí)別標(biāo)定矩陣，根據(jù)頻域法，即可識(shí)別出動(dòng)載荷的幅值大小。

3 動(dòng)載荷位置識(shí)別的最小判定系數(shù)法

根據(jù)梁的振動(dòng)特性，在梁上某一點(diǎn)或幾點(diǎn)作用集中載荷時(shí)，梁上任意點(diǎn)的響應(yīng)是唯一的。因此，識(shí)別動(dòng)載荷激勵(lì)位置時(shí)，在排除結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性影響的情況下，任意假定一組載荷可能的作用位置，稱(chēng)之為虛擬激勵(lì)位置，再在梁上選取一組動(dòng)響應(yīng)，則根據(jù)頻域法可以識(shí)別出一組當(dāng)量動(dòng)載荷，記為當(dāng)量動(dòng)載荷一;再選取另外一組響應(yīng)，同樣可以識(shí)別出一組當(dāng)量動(dòng)載荷，記為當(dāng)量動(dòng)載荷二。理論表明，當(dāng)虛擬激勵(lì)位置位于載荷的真實(shí)激勵(lì)位置時(shí)，識(shí)別出的兩組當(dāng)量動(dòng)載荷量值相等。實(shí)際上，由于標(biāo)定矩陣以及響應(yīng)信息的噪聲和量測(cè)誤差難免存在，使得兩組當(dāng)量動(dòng)載荷在數(shù)值上往往存在微小的差別。此時(shí)，可以將動(dòng)載荷激勵(lì)位置識(shí)別問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求滿足兩組當(dāng)量動(dòng)載荷差值最小時(shí)所對(duì)應(yīng)的假設(shè)激勵(lì)位置的最優(yōu)化問(wèn)題，即本文提出的“最小判定系數(shù)法”。

假設(shè)梁上動(dòng)載荷個(gè)數(shù)為N，根據(jù)兩組響應(yīng)可以識(shí)別一組載荷激勵(lì)位置的原則，所需的響應(yīng)個(gè)數(shù)為L(zhǎng)≥2N。實(shí)際上，只要從可測(cè)的響應(yīng)中，依據(jù)頻域識(shí)別法的基本原理，選取并構(gòu)造兩組不完全相同的響應(yīng)向量，即可識(shí)別載荷激勵(lì)位置。以載荷數(shù)N=2為例，通常情況下識(shí)別2個(gè)動(dòng)載荷至少需要2個(gè)響應(yīng)，即2個(gè)響應(yīng)構(gòu)成一組用于識(shí)別的響應(yīng)向量。那么，此時(shí)，在梁上選取3個(gè)不同位置的響應(yīng)，從中任意選取兩個(gè)響應(yīng)組成元素不完全相同的響應(yīng)向量即可進(jìn)行動(dòng)態(tài)載荷激勵(lì)位置識(shí)別。

從而，從L個(gè)響應(yīng)中選取M(M≥N)個(gè)響應(yīng)構(gòu)造成一組響應(yīng)向量，根據(jù)頻域法識(shí)別理論有:

為了建立載荷激勵(lì)位置的識(shí)別模型，需從L個(gè)響應(yīng)中選取另外M(M≥N)個(gè)響應(yīng)作為另一組識(shí)別響應(yīng)向量，同樣可以識(shí)別出一組當(dāng)量動(dòng)載荷:

為描述方便，將(10)、(11)兩式簡(jiǎn)記為:

則在頻域下識(shí)別載荷激勵(lì)位置的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求兩組當(dāng)量動(dòng)載荷差值最小的優(yōu)化問(wèn)題，最優(yōu)化函數(shù)可用如下表達(dá)式表示:

式(14)即為識(shí)別載荷激勵(lì)位置的最優(yōu)化函數(shù)表達(dá)式，Coe稱(chēng)為判定系數(shù)，當(dāng) x=xi，i=1，2，…，N 時(shí)，即虛擬激勵(lì)位置位于梁上 xi時(shí)，對(duì)應(yīng)的判定系數(shù)為Coe(xi)。每取一組虛擬激勵(lì)點(diǎn)，就可獲得一個(gè)(或一組)判定系數(shù)，判定系數(shù)最小值對(duì)應(yīng)的虛擬激勵(lì)位置即為載荷的真實(shí)激勵(lì)位置。

通過(guò)式(14)識(shí)別載荷激勵(lì)位置的關(guān)鍵是當(dāng)對(duì)任意一個(gè)假設(shè)激勵(lì)位置進(jìn)行識(shí)別計(jì)算的時(shí)候，要求能夠準(zhǔn)確地獲得其頻響函數(shù)值。通常情況下，通過(guò)模型的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程可以準(zhǔn)確地計(jì)算出任意位置的頻響函數(shù)，從而可以比較方便地識(shí)別出載荷激勵(lì)位置。但是，對(duì)工程中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，建立一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型是相當(dāng)困難的，通常需借助數(shù)值計(jì)算的手段如有限元法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。本文以簡(jiǎn)支梁為例，探討了有限元技術(shù)在動(dòng)載荷激勵(lì)位置識(shí)別中的應(yīng)用。

利用有限元技術(shù)將梁離散成若干個(gè)自由度，則每個(gè)單元上的節(jié)點(diǎn)(簡(jiǎn)支端外除外)即為假設(shè)的激勵(lì)位置，在MSC Patran＆Nastran中建立有限元模型并計(jì)算各虛擬激勵(lì)點(diǎn)與響應(yīng)測(cè)點(diǎn)之間的頻響函數(shù)。通常情況下，虛擬激勵(lì)點(diǎn)可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)作出選擇，否則，將整個(gè)模型上所有節(jié)點(diǎn)作為虛擬激勵(lì)點(diǎn)。確定虛擬激勵(lì)點(diǎn)后，根據(jù)式(14)依次計(jì)算載荷位置識(shí)別的判定系數(shù)。

4 仿真算例與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 簡(jiǎn)支梁仿真算例

圖2為一簡(jiǎn)支梁有限元模型，該梁長(zhǎng)l=1 m，寬a=0.02 m，高 h=0.03 m，泊松比 μ =0.3，彈性模量E=210 GPa，密度 ρ=780 kg/m3。在距梁右端 0.3 m處施加一個(gè)幅值250 N、頻率51.5 Hz的正弦載荷。

圖2 簡(jiǎn)支梁有限元模型Fig.2 FEM model of simply supported beam

將該梁劃分為20個(gè)單元，共21個(gè)節(jié)點(diǎn)，除簡(jiǎn)支端兩個(gè)節(jié)點(diǎn)外，假設(shè)其余19個(gè)節(jié)點(diǎn)均為可能的激勵(lì)點(diǎn)，將距梁左端0.2 m和0.4 m處對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)加速度響應(yīng)作為識(shí)別的響應(yīng)，根據(jù)式(14)對(duì)該簡(jiǎn)支梁上的載荷激勵(lì)位置進(jìn)行識(shí)別。識(shí)別的判定系數(shù)變化曲線如圖3所示。

圖3 判定系數(shù)變化曲線Fig.3 Curve of determination coefficient

由圖3可見(jiàn)，最小判定系數(shù)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位置距梁左端0.7 m，與載荷激勵(lì)位置相同，最小判定系數(shù)為0.837 5，識(shí)別成功。

4.2 動(dòng)態(tài)載荷激勵(lì)位置識(shí)別實(shí)驗(yàn)

上文通過(guò)仿真計(jì)算，對(duì)動(dòng)載荷激勵(lì)位置識(shí)別方法進(jìn)行了驗(yàn)證，本文現(xiàn)結(jié)合簡(jiǎn)支梁動(dòng)態(tài)載荷位置識(shí)別技術(shù)的實(shí)驗(yàn)研究，探討了識(shí)別方法工程應(yīng)用的可行性。

如圖4所示，一鋁質(zhì)矩形梁，兩端簡(jiǎn)支，長(zhǎng)l=0.68 m，截面寬 a=0.05 m，厚 h=0.008 m，彈性模量 E=70 GPa，泊松比 μ =0.3，材料密度為 ρ=2 590 kg/m3。建立有限元模型，將其劃分成16個(gè)單元共17個(gè)節(jié)點(diǎn)，如圖5所示。

圖4 簡(jiǎn)支梁實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig.4 Experimental model of simply supported beam

圖5 實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)支梁有限元模型Fig.5 The FEM model of Experimental beam

根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的頻響函數(shù)，對(duì)該梁的有限元模型進(jìn)行修正，修正后前五階固有頻率的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值如下表:

表1 固有頻率對(duì)照表(單位:Hz)Tab.1 Natural frequency of the beam(Unit:Hz)

(1)在梁上5號(hào)節(jié)點(diǎn)和9號(hào)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置處分別施加頻率為120 Hz、相位為零的正弦載荷。排除兩簡(jiǎn)支端受載荷作用的情況，以2－16號(hào)節(jié)點(diǎn)作為虛擬激勵(lì)位置，以10、12和15號(hào)節(jié)點(diǎn)為響應(yīng)測(cè)點(diǎn)。根據(jù)式(14)進(jìn)行動(dòng)態(tài)載荷位置識(shí)別，識(shí)別的判定系數(shù)變化曲線如圖6所示。

從位置識(shí)別判定系數(shù)變化曲線可以看出，最小判定系數(shù)組合為［0.012 0，0.007 4］，對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)號(hào)組合為［5，9］，分別為梁上距梁左端 0.17 m 和 0.34 m 的載荷真實(shí)作用位置，識(shí)別結(jié)果與實(shí)際激勵(lì)位置吻合。

(2)在梁上4號(hào)節(jié)點(diǎn)和8號(hào)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置處分別施加頻率為120 Hz和180 Hz的正弦載荷，以除簡(jiǎn)支端外的15個(gè)節(jié)點(diǎn)作為虛擬激勵(lì)點(diǎn)，響應(yīng)測(cè)點(diǎn)為3、6、10和14號(hào)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置。根據(jù)式(14)進(jìn)行識(shí)別，識(shí)別結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖6 判定系數(shù)變化曲線Fig.6 Curve of determination coefficient

圖7 載荷一位置識(shí)別判定系數(shù)變化曲線Fig.7 First curve of determination coefficient

圖8 載荷二位置識(shí)別判定系數(shù)變化曲線Fig.8 Secend curve of determination coefficient

頻率為120 Hz的載荷，其激勵(lì)位置識(shí)別的最小判定系數(shù)為0.011 5，對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)4所在的位置;頻率為180 Hz的載荷識(shí)別的最小判定系數(shù)為0.002 6，對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)9所在的位置。識(shí)別結(jié)果與實(shí)際加載位置相同，識(shí)別成功。

5 結(jié)論

本文提出的“最小判定系數(shù)法”，通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)上動(dòng)態(tài)載荷分布區(qū)域進(jìn)行預(yù)估計(jì)，結(jié)合有限元模型，選取虛擬激勵(lì)組合并擇優(yōu)選取響應(yīng)測(cè)點(diǎn)，根據(jù)識(shí)別規(guī)模建立一對(duì)振動(dòng)響應(yīng)組合。通過(guò)計(jì)算各虛擬激勵(lì)點(diǎn)組合對(duì)應(yīng)的判定系數(shù)，以最小判定系數(shù)(或最小判定系數(shù)組合)為目標(biāo)，該目標(biāo)對(duì)應(yīng)的虛擬位置(或虛擬位置組合)，即為載荷的真實(shí)激勵(lì)位置。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，“最小判定系數(shù)法”原理簡(jiǎn)單，能夠達(dá)到識(shí)別結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)載荷激勵(lì)位置的目的。

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