楊慶超，朱石堅(jiān)，劉樹勇，曾強(qiáng)洪

(海軍工程大學(xué) 船舶與動(dòng)力學(xué)院，武漢 430033)

線譜混沌化控制技術(shù)利用非線性隔振系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)其響應(yīng)功率譜呈現(xiàn)連續(xù)譜這一特征來消除或降低動(dòng)力機(jī)械對(duì)船體的線譜激勵(lì)[1－4]，但在實(shí)際工程應(yīng)用中面臨如何在變工況條件下實(shí)現(xiàn)持續(xù)的混沌運(yùn)動(dòng)這個(gè)問題。針對(duì)這一難題，俞翔等[5]提出了外加混沌信號(hào)實(shí)現(xiàn)廣義同步，從而使系統(tǒng)保持持續(xù)的運(yùn)動(dòng)，從而使隔振系統(tǒng)保持持續(xù)的混沌運(yùn)動(dòng)，但該方案對(duì)參數(shù)選擇相當(dāng)嚴(yán)格，降低了系統(tǒng)的魯棒性。張振海等[6]將振動(dòng)系統(tǒng)離散化，根據(jù)反饋混沌化理論，對(duì)系統(tǒng)施加離散反饋控制從而實(shí)現(xiàn)混沌，但該方法要求控制器輸出力為方波信號(hào)，現(xiàn)有作動(dòng)器在工程上難以實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[7－8]從理論上深入研究了將混沌投影同步應(yīng)用于隔振系統(tǒng)的可行性，但并沒有開展相關(guān)的試驗(yàn)研究工作。本文根據(jù)在船舶的機(jī)械系統(tǒng)中，隔振元件的振幅比被隔振設(shè)備主尺度小3至4個(gè)數(shù)量級(jí)，其非線性特性體現(xiàn)不明顯的工程實(shí)際，設(shè)計(jì)了試驗(yàn)臺(tái)架、線性隔振元件和混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，對(duì)混沌投影同步開展了試驗(yàn)研究。

1 試驗(yàn)臺(tái)架及混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1.1 試驗(yàn)原理

試驗(yàn)系統(tǒng)由激振系統(tǒng)、臺(tái)架部分、數(shù)據(jù)采集、控制、輸出部分、控制力輸出部分四部分組成。本文所設(shè)計(jì)的試驗(yàn)臺(tái)架如圖1和圖2所示。

圖1 投影混沌同步試驗(yàn)原理圖Fig.1 The schematic diagram of projective synchronization test

圖2 試驗(yàn)臺(tái)架Fig.2 The substance of test equipment

其中:M1為下層質(zhì)量塊質(zhì)量，M2為上層質(zhì)量塊質(zhì)量，C1為下層隔振器的阻尼系數(shù)，C2為上層隔振器的阻尼系數(shù)，K1為下層隔振器的剛度，K2為上層隔振器的剛度，F(xiàn)c為作動(dòng)器的輸出力，F(xiàn)為系統(tǒng)輸出外力。

將式(1)進(jìn)行無量綱化處理得到:

將式(1)寫成一階矩陣形式:

式中:

若滿足 rank[B﹉AB﹉A2B﹉A3B]=4，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控，可以認(rèn)為該系統(tǒng)為線性定常單輸入系統(tǒng)，存在線性非奇異變換Xr=Tc1X，矩陣方程變換為:

式中:

兩自由度隔振系統(tǒng)參數(shù)為μ=0.2，k1=1，k2=2，ξ1=0.2，ξ2=0.2，f=10cos(Pi× t)[8]，代入上式可得:

選取y=x1作為輸出函數(shù)，系統(tǒng)變換后，

受控隔振系統(tǒng)為:

其中:u(t)為受控系統(tǒng)所加的控制量;

選取Duffing方程為目標(biāo)混沌系統(tǒng)，

進(jìn)行仿真，得到不同控制情況下系統(tǒng)的響應(yīng)。

圖3 原系統(tǒng)x1－x2相圖Fig.3 The x1－ x2phase portrait of vibration isolation system

圖4 基座的位移頻譜圖Fig.4 The power spectrum of base displacement

由圖3知，施加控制后系統(tǒng)不再是周期振動(dòng)，在受控情況下隔振系統(tǒng)的振動(dòng)參數(shù)幅值明顯小于未受控制。由圖4(a)，4(b)知，當(dāng)隔振系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)投影同步時(shí)，不僅可以完全消除線譜，而且整個(gè)隔振系統(tǒng)的位移功率譜大大降低，整體隔振性能得到提高。

1.2 彈簧設(shè)計(jì)和靜、動(dòng)態(tài)剛度測(cè)試

為了設(shè)計(jì)合適的試驗(yàn)臺(tái)架，首先進(jìn)行了彈簧加工。根據(jù)GB/T15168－94《振動(dòng)與沖擊隔離器性能測(cè)試方法》要求，對(duì)彈簧的動(dòng)、靜剛度進(jìn)行測(cè)試。

其靜剛度Ks為:

式中:P0為隔振元件額定靜載荷，N;ΔP為靜載荷變量，N;ΔX 為靜變形增量，mm;X1.1為在 1.1 倍額定載荷時(shí)隔振元件的靜變形值，mm;X0.9為在0.9倍額定載荷時(shí)隔振元件的靜變形值，mm。

彈簧靜剛度分析結(jié)果如表1所列。

表1 彈簧靜剛度計(jì)算Tab.1 Analysis result of spring stiffness

動(dòng)剛度測(cè)試設(shè)備選用美國MTS公司通用液壓伺服試驗(yàn)系統(tǒng)，如圖5所示。

其動(dòng)剛度kd為:

式中:X0為遲滯回線上最大位移與最小位移之差，mm;FT為最大位移點(diǎn)力值與最小位移點(diǎn)的力值之差，N。

1.3 隔振系統(tǒng)阻尼的計(jì)算

在試驗(yàn)裝置中，滑塊和彈簧都存在阻尼，為此，試驗(yàn)前對(duì)臺(tái)架阻尼進(jìn)行了測(cè)試，本文采用的方法是半功率阻尼測(cè)試法，其計(jì)算公式為:

圖5 隔振元件剛度測(cè)試裝置Fig.5 The test equipment for isolation component stiffness

式中:ξ為阻尼比，ωn系統(tǒng)共振頻率，ω1和ω2為幅值為對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)頻率點(diǎn)。

在試驗(yàn)裝置上下層質(zhì)量板布置加速度傳感器，用激振器對(duì)系統(tǒng)作掃頻激勵(lì)試驗(yàn)，得出曲線，如圖6和圖7所示。

圖6 上層加速度同外界激勵(lì)力傳遞函數(shù)幅頻曲線Fig.6 Transfer curve of upper acceleration and out exciting force

圖7 下層加速度同外界激勵(lì)力傳遞函數(shù)幅頻曲線Fig.7 Transfer curve of lower acceleration and out exciting force

由圖6和圖7可知系統(tǒng)的固有頻率為5 Hz和11.4 Hz，由圖6知，固有頻率5 Hz處的半功率點(diǎn)為4.987 Hz和5.075 Hz，固有頻率11.4 Hz處的半功率點(diǎn)為11.214 Hz和11.585 Hz，可求出系統(tǒng)的粘滯阻尼因子分為0.008 87 和0.016 3。

由圖7可知，固有頻率5 Hz處的半功率點(diǎn)為4.982 Hz和5.048 Hz，固有頻率11.4 Hz處的半功率點(diǎn)為11.374 Hz和11.648 Hz，可求出系統(tǒng)的粘滯阻尼因子分別為 0.006 6 和 0.012。

1.4 混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)基于32位ARM Cortex M3內(nèi)核的控制器STM32F103。進(jìn)行投影混沌同步試驗(yàn)時(shí)，把文獻(xiàn)[8]的驅(qū)動(dòng)混沌系統(tǒng)寫入控制器，然后通過A/D模塊把混沌信號(hào)以模擬量的形式進(jìn)行輸出，所設(shè)計(jì)的混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)如圖8所示，混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào)如圖9所示。

圖8 混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)實(shí)物圖Fig.8 The substance diagram of chaos driving system

圖9 混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生的信號(hào)Fig.9 The chaos signal produced by driving system

2 試驗(yàn)研究

由于試驗(yàn)臺(tái)架實(shí)際裝置下層高度較小，作動(dòng)器尺寸較大，采用上層質(zhì)量位移為系統(tǒng)輸出，作動(dòng)器安裝在兩質(zhì)量塊之間，選取不同的激勵(lì)頻率進(jìn)行試驗(yàn)，由于篇幅限制，只列舉三種情況。

(1)激勵(lì)頻率為5.807 Hz

(2)激勵(lì)頻率為7.055 Hz

(3)激勵(lì)頻率為9.459 Hz

表2 不同隔振系統(tǒng)隔振效果Tab.2 The isolation effect of different isolation system

(1)在以上不同的激勵(lì)頻率條件下，系統(tǒng)處于不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由加速度功率譜可知，在單頻激勵(lì)下，激勵(lì)頻率處功率譜特征線譜非常明顯，如圖10、圖14、圖18所示，施加混沌投影同步控制后，上層質(zhì)量塊加速度功率譜在激勵(lì)力頻率處呈現(xiàn)連續(xù)譜，線譜強(qiáng)度明顯降低，如圖11、圖15、圖19所示。

圖10 被動(dòng)隔振時(shí)上層質(zhì)量塊加速度功率譜圖Fig.10 The power spectrum density of upper acceleration without PS control

圖11 主動(dòng)隔振時(shí)上層質(zhì)量塊加速度功率譜圖Fig.11 The power spectrum density of upper acceleration with PS control

圖12 被動(dòng)隔振時(shí)上層位移與速度相圖Fig.12 The phase portrait of upper mass displacement and velocity without PS control

圖13 投影同步控制時(shí)上層位移與速度相圖Fig.13 The phase portrait of upper mass displacement and velocity with PS control

圖14 被動(dòng)隔振時(shí)上層質(zhì)量塊加速度功率譜圖Fig.14 The power spectrum density of upper acceleration without PS control

圖15 投影同步控制時(shí)上層質(zhì)量塊加速度功率譜圖Fig.15 The power spectrum density of upper acceleration with PS control

圖16 被動(dòng)隔振位移與速度相圖Fig.16 The phase portrait of upper mass displacement and velocity without PS control

圖17 投影同步控制時(shí)上層質(zhì)量塊位移與速度相圖Fig.17 The phase portrait of upper mass displacement and velocity with PS control

圖18 被動(dòng)隔振時(shí)上層質(zhì)量塊加速度功率譜圖Fig.18 The power spectrum density of upper acceleration without PS control

圖19 主動(dòng)隔振時(shí)上層質(zhì)量塊加速度功率譜圖Fig.19 The power spectrum density of upper acceleration with PS control

圖20 被動(dòng)隔振位移與速度相圖Fig.20 The phase portrait of upper mass displacement and velocity without PS control

圖21 主動(dòng)隔振位移與速度相圖Fig.21 The phase portrait of upper mass displacement and velocity with PS control

(2)由上層質(zhì)量塊位移和速度相圖可得出，單頻激勵(lì)未加控制時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，如圖12、圖16、圖20所示;投影同步控制后，系統(tǒng)位移和速度相圖非常復(fù)雜，呈現(xiàn)混沌特性，如圖13，圖17、圖21所示。

(3)由圖11、圖15、圖19可知，對(duì)隔振系統(tǒng)施加投影同步控制后出現(xiàn)線譜，該線譜的出現(xiàn)并不隨激勵(lì)頻率變化而變化，而是基本固定在69.5 Hz和其倍頻程139 Hz處，就其原因是對(duì)系統(tǒng)施加投影同步控制后，產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)的上層質(zhì)量塊對(duì)下層質(zhì)量塊的作用力為一個(gè)寬頻激勵(lì)，其必然會(huì)激勵(lì)出隔振系統(tǒng)固有模態(tài)(或固有頻率)，由于時(shí)滯等不確定因素的存在，對(duì)高頻信號(hào)不可能做到精確控制，從而在功率譜圖上高頻處出現(xiàn)線譜。

3 結(jié)論

在理論研究的基礎(chǔ)上，本文設(shè)計(jì)了基于投影同步的試驗(yàn)臺(tái)架，驗(yàn)證了投影同步方法使非線性隔振系統(tǒng)在不同工況下產(chǎn)生混沌的有效性，試驗(yàn)研究表明，在混沌狀態(tài)下，線譜強(qiáng)度明顯降低，為有效解決線譜控制技術(shù)中遇到的使非線性系統(tǒng)在變工況下保持混沌這一難題提供了思路。

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