葛 根，竺致文，許 佳

(1.天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300160;2.天津大學(xué) 機(jī)械學(xué)院工程力學(xué)系，天津 300072)

形狀記憶合金梁的振動(dòng)具有豐富的非線性動(dòng)力學(xué)特性，研究其振動(dòng)特性對(duì)研究形狀記憶合金的工程應(yīng)用具有重要的實(shí)用價(jià)值。比如，微型泵的形狀記憶合金隔膜和形狀記憶合金機(jī)械夾的振動(dòng)，可當(dāng)做形狀記憶合金梁模型來(lái)處理。

目前對(duì)形狀記憶合金的本構(gòu)模型研究眾多[1－7]，這些研究主要集中在熱動(dòng)力學(xué)理論，微觀力學(xué)理論，相變理論等領(lǐng)域，而且這些本構(gòu)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式多為符號(hào)函數(shù)或分段函數(shù)。因此基于這些模型的形狀記憶合金構(gòu)件的振動(dòng)分析變得較為困難，從而學(xué)者們傾向于數(shù)值模擬多于理論分析。國(guó)內(nèi)外學(xué)者近年來(lái)提出了眾多關(guān)于形狀記憶合金梁振動(dòng)的研究成果。Collet等[8]在考慮了SMA的在拉、壓和溫度載荷中的對(duì)稱(chēng)性假設(shè)后，研究了形狀記憶合金梁的動(dòng)力學(xué)行為。Hashemi等[9]研究了在拉、壓和溫度加載中的非對(duì)稱(chēng)性假設(shè)下梁的自由振動(dòng)和脈沖激勵(lì)振動(dòng)問(wèn)題。Marcclo等[10]用數(shù)值方法研究了形狀記憶合金雙桿系統(tǒng)的同宿分岔和混沌現(xiàn)象。張清泉等[11－12]根據(jù)Machado本構(gòu)模型建立了形狀記憶合金梁的動(dòng)力學(xué)模型并研究了其振動(dòng)的穩(wěn)定性和混沌現(xiàn)象。吳志強(qiáng)等[13]研究了形狀記憶合金層合梁的非線性動(dòng)力響應(yīng)特性。葛根等[14]研究了簡(jiǎn)支形狀記憶合金梁受簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的混沌閾值問(wèn)題。這些研究集中在確定性系統(tǒng)范圍內(nèi)，而都沒(méi)有研究隨機(jī)激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)發(fā)生混沌的影響及激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)安全盆的邊界的侵蝕現(xiàn)象。

本文基于van-der-pol環(huán)模型模擬了形狀記憶合金本構(gòu)模型中的遲滯環(huán)特性。該模型為光滑函數(shù)，從而有利于理論分析。從該模型出發(fā)建立了受軸向簡(jiǎn)諧、橫向白噪聲聯(lián)合激勵(lì)下的形狀記憶合金簡(jiǎn)支梁的振動(dòng)模型。利用隨機(jī)Melnikov過(guò)程法得出系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)混沌的閾值必要條件。為了充分說(shuō)明系統(tǒng)是否發(fā)生混沌，采用數(shù)值方法得到了系統(tǒng)安全域邊界的侵蝕現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)激勵(lì)幅值的變化導(dǎo)致安全盆內(nèi)部出現(xiàn)分形結(jié)構(gòu)，這是識(shí)別混沌的另一種有效而可靠的方法。這些結(jié)果對(duì)SMA梁的應(yīng)用安全具有較大的實(shí)際意義。

1 形狀記憶合金梁的振動(dòng)模型

考慮一個(gè)矩形截面的簡(jiǎn)支Euler-Bernoulli形狀記憶合金梁如圖1所示。梁長(zhǎng)為l，b為橫截面寬度，h為梁高。中點(diǎn)的y方向位移為w。軸向受簡(jiǎn)諧激勵(lì)N，形式為:N=p0+pcos(Ωt)，同時(shí)受施加在梁中點(diǎn)的面內(nèi)橫向隨機(jī)激勵(lì)Fη(t)，F(xiàn)為幅值，η(t)為標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲，具有零均值，強(qiáng)度為D。

因?yàn)樾螤钣洃浐辖饾M(mǎn)足拉壓條件下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的對(duì)稱(chēng)性[8]，故坐標(biāo)中心可取為梁橫截面的幾何中心處。

圖1 簡(jiǎn)支形狀記憶合金梁的模型及坐標(biāo)Fig.1 The model and the coordinate of the simply supported SMA beam

假設(shè)該梁為小撓度梁，其動(dòng)力學(xué)方程為:

其中:c表示線性阻尼，ρ表示梁的密度，A為梁的橫截面積，M為梁的彎矩，w為中點(diǎn)橫向位移，該兩端簡(jiǎn)支梁的邊界條件可表示為:

滿(mǎn)足振動(dòng)邊界條件的一階模態(tài)為:

考慮小撓度梁的幾何變形條件:

可得彎矩的表達(dá)式為:

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的等應(yīng)變加、卸載實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，在不考慮溫度變化時(shí)，形狀記憶合金的加載－卸載應(yīng)力應(yīng)變曲線有明顯的滯后環(huán)特性。為模擬這一特性并使函數(shù)形狀光滑以利于后續(xù)分析，可考慮建立一個(gè)由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的vanderpol環(huán)加上一條骨架曲線形式的模型。

其中:f0(x)為遲滯環(huán)的骨架曲線;參數(shù)a，b表示骨架曲線和實(shí)驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線之間的偏差。假設(shè)應(yīng)力－應(yīng)變環(huán)的對(duì)稱(chēng)中心為G(ε0，σ0)，則SMA的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系可表示為:

可展開(kāi)為:

考慮到當(dāng)ε=0時(shí)，加載和卸載曲線的對(duì)應(yīng)應(yīng)力值必需相等，且此時(shí)SMA應(yīng)沒(méi)有殘余應(yīng)力，故模型參數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足由此可得形狀記憶合金的應(yīng)力應(yīng)變最終函數(shù)關(guān)系為:

其中:

以上參數(shù)需要根據(jù)實(shí)際的形狀記憶合金試件的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)確定。

把式(3)、(4)代入式(9)可得應(yīng)力和位移w的關(guān)系后，再代入式(5)得彎矩表達(dá)式:

其中:I1=bh3/(12l2)，I3=bh5/80l6。

把式(3)、(10)代入式(1)并積分可得單自由度常微分形式的梁動(dòng)力學(xué)非線性振動(dòng)方程如下:

為了便于后續(xù)的非線性分析和揭示更豐富的系統(tǒng)可能存在的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，對(duì)式(11)作如下無(wú)量綱變化:并略去上標(biāo):

模型(11)可變形為如下無(wú)量綱形式:

其中參數(shù)為:

本文中考慮靜態(tài)載荷p0大于極限屈曲載荷，即線性剛度k為負(fù)(屈曲)的情況。對(duì)模型(13)引入如下尺度變換:可得:

2 均方意義下Melnikov過(guò)程

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，一個(gè)受弱噪聲激勵(lì)的弱阻尼單自由度Hamilton系統(tǒng)可表示為:

其中:x，y為廣義位移和廣義動(dòng)量，H為廣義能量，c(x，y)為阻尼項(xiàng)，f1(x，y，t)為確定性激勵(lì)項(xiàng)，f2(x，y)為隨機(jī)激勵(lì)項(xiàng)系數(shù)，η(t)為白噪聲信號(hào)。

Melnikov方法是一種通過(guò)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形距離為零來(lái)判斷混沌的有效方法，它要求系統(tǒng)的激勵(lì)為連續(xù)且有界。由于η(t)對(duì)任意時(shí)間t1和 t2，取任意常數(shù) δ1＞0，令|η(t1)－ η(t2)|＜ δ1，則必存在一個(gè)常數(shù)δ2＞0使|t1－t2|＜δ2存在。由此可近似認(rèn)為η(t)是連續(xù)且有界的，所以滿(mǎn)足Melnikov方法適用的前提假設(shè)。

根據(jù)Wiggins[16]提出的系統(tǒng)隨機(jī)Melnikov過(guò)程可表示為:

其中:x0(t)，y0(t)為系統(tǒng)(15)未擾時(shí)的同宿軌道表達(dá)式。

積分中的前兩項(xiàng)－I和z(t1)分別為阻尼項(xiàng)和確定性激勵(lì)項(xiàng)的隨機(jī)Melnikov積分的均值，第三項(xiàng)z(t2)表示由于隨機(jī)項(xiàng)引起的Melnikov過(guò)程積分。

把系統(tǒng)(14)式可變形為式(15)的形式，以便于后續(xù)處理。式(14)的系統(tǒng)Hamilton函數(shù)(廣義能量)為:，代入式(15)得:

顯然系統(tǒng)(17)的未受擾系統(tǒng)存在鞍點(diǎn)(0，0)，從鞍點(diǎn)出發(fā)圍繞兩個(gè)中心的系統(tǒng)的同宿軌道Γ0(t)={Γ0－(t)|·|t∈R}可表示為:把式(18)，式(19)代入式(16)可得系統(tǒng)確定性部分的Melnikov積分表達(dá)式為:

為便于計(jì)算式(16)中的z(t2)，可認(rèn)為:

z(t2)=是系統(tǒng)隨機(jī)輸入η(t)通過(guò)一個(gè)線性濾波器后的脈沖響應(yīng)函數(shù)，其傅里葉變換為:

其中:Sη(ω)為白噪聲的譜密度。對(duì)白噪聲而言，譜密度為一個(gè)常數(shù)

從能量的角度[17]如此可得均方意義上系統(tǒng)可能發(fā)生隨機(jī)混沌的判據(jù)為:

本文中取參數(shù)值為:

代入式(20)、(21)可得:

把式(25)代入式(23)后數(shù)值積分，可得:

則滿(mǎn)足式(23)的激勵(lì)幅值f1，f2條件為:

不等式(23)是發(fā)生隨機(jī)混沌的必要條件，但并不是發(fā)生隨機(jī)混沌的充分條件。下面內(nèi)容將通過(guò)研究系統(tǒng)安全盆的分形現(xiàn)象來(lái)判斷系統(tǒng)混沌。

3 隨機(jī)安全盆的侵蝕現(xiàn)象

系統(tǒng)發(fā)生混沌時(shí)，穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形將發(fā)生橫截相交，在相平面內(nèi)盤(pán)旋纏繞成復(fù)雜結(jié)構(gòu)，某些初始點(diǎn)出發(fā)的相軌線將穿出系統(tǒng)的安全域邊界，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的不安全，這種現(xiàn)象在很多文獻(xiàn)中稱(chēng)為安全盆的侵蝕現(xiàn)象。很多時(shí)候系統(tǒng)的安全盆受到侵蝕時(shí)，相軌線不斷逃逸出安全盆，并再回到安全盆內(nèi)，因此安全盆邊界將呈現(xiàn)分形形狀，而安全盆的分形邊界是產(chǎn)生混沌的一個(gè)重要判據(jù)[18]。

為了研究系統(tǒng)的激勵(lì)對(duì)安全盆的影響，首先在相平面內(nèi)描繪一個(gè)包含未擾系統(tǒng)安全盆的區(qū)域G。

其中:H為系統(tǒng)的總能量上限，取H=0.1(圖2)。把區(qū)域G劃分為步長(zhǎng)h=0.002的小格子，把每個(gè)小格子作為系統(tǒng)的初值，當(dāng)某個(gè)初值在時(shí)間步長(zhǎng)為0.01，迭代計(jì)算2×105次后仍然留在安全盆內(nèi)，可認(rèn)為該初值是安全的。隨機(jī)輸入采用蒙特拉羅法模擬，依次使用12組不同的白噪聲，只有當(dāng)該初值在全部12組白噪聲激勵(lì)下都是安全的，才能記錄這個(gè)初值點(diǎn)，否則認(rèn)為該初值是不安全的，在安全盆中刪除。

圖2 無(wú)擾系統(tǒng)的安全盆(H=0.1)Fig.2 The safe basin of the system(H=0.1)

當(dāng)先不加隨機(jī)激勵(lì)時(shí)，增大確定性激勵(lì)幅值，觀察系統(tǒng)安全盆的形狀變化如圖3所示。

圖3(a)顯示，隨著確定性激勵(lì)滿(mǎn)足混沌判據(jù)(27)式，使系統(tǒng)的發(fā)生混沌，系統(tǒng)安全盆的邊界受到侵蝕，隨著激勵(lì)幅值f1增大，系統(tǒng)安全盆的內(nèi)部出現(xiàn)分形的情況更明顯，如圖3(b)顯示。安全盆的內(nèi)核部分(未擾系統(tǒng)的兩個(gè)中心附近)仍然是絕對(duì)安全的，而外圍部分區(qū)域就不能保證絕對(duì)安全。如圖3(c)顯示，即使系統(tǒng)在隨機(jī)外激勵(lì)作用下顯示出振動(dòng)的隨機(jī)性，但是并沒(méi)有激發(fā)出系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)行為(混沌)，則安全域的邊界仍為光滑的。

當(dāng)隨機(jī)信號(hào)和簡(jiǎn)諧激勵(lì)聯(lián)合作用后，仍取滿(mǎn)足式(27)的激勵(lì)幅值f2，安全盆的侵蝕情況如圖4所示。

比較圖3(a)和圖4(a)可知，隨機(jī)信號(hào)的加入使安全盆內(nèi)部的安全點(diǎn)減少了，原來(lái)的平滑邊界也出現(xiàn)了分形。圖4(a)和圖4(b)的比較可知，加入的隨機(jī)激勵(lì)幅值變大后，安全盆內(nèi)核部分的安全性變化不大，但是外圍區(qū)域的層狀分形結(jié)構(gòu)變得十分明顯。而比較圖3(b)和圖4(c)可知，確定性激勵(lì)較大時(shí)，隨著隨機(jī)激勵(lì)的加入，安全盆內(nèi)核安全區(qū)域仍幾乎不變，但是原來(lái)圖3(b)中的外層分形區(qū)幾乎全部消失。這一現(xiàn)象對(duì)SMA梁結(jié)構(gòu)的實(shí)際應(yīng)用具有一定的理論指導(dǎo)意義，實(shí)際的SMA梁的尺度一般較小，那么結(jié)構(gòu)受到環(huán)境隨機(jī)干擾(熱噪聲，電磁噪聲)的影響就不能被忽略，為了使振動(dòng)系統(tǒng)能夠“健康”地工作，在選擇系統(tǒng)的“初態(tài)”時(shí)應(yīng)該只能選定為圖4(c)中的區(qū)域。圖4(c)和圖4(d)的比較可知，隨著隨機(jī)激勵(lì)幅值的進(jìn)一步增大，安全盆的內(nèi)核部分也逐步開(kāi)始被侵蝕，分形結(jié)構(gòu)逐步變得明顯。

圖3 簡(jiǎn)諧激勵(lì)或噪聲激勵(lì)下的安全盆Fig.3 The safe basin of the system under harmonic excitation or noise excitation

圖4 同時(shí)受簡(jiǎn)諧和白噪聲聯(lián)合激勵(lì)時(shí)的安全盆Fig.4 The safe basin of the system under both harmonic and white noise excitations

圖5 時(shí)間歷程和相圖Fig.5 Time series and phase portrait

混沌的一個(gè)典型特征是對(duì)初值的極端敏感依賴(lài)，為了進(jìn)一步說(shuō)明安全盆的侵蝕現(xiàn)象，觀察不同的初值點(diǎn)所形成的時(shí)間歷程和相圖如圖5所示。

圖5(a)顯示系統(tǒng)做混沌運(yùn)動(dòng)，圖5(b)顯示一種概周期運(yùn)動(dòng)，圖5(c)顯示的是在隨機(jī)激勵(lì)下的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。圖5(a)、(b)兩圖顯示在同一組激勵(lì)下，不同初值導(dǎo)致的運(yùn)動(dòng)不同，說(shuō)明了有的運(yùn)動(dòng)能穿出安全域邊界，有的則不能，結(jié)合圖4(d)說(shuō)明安全盆內(nèi)部出現(xiàn)了分形特性。圖5(c)對(duì)應(yīng)圖2(c)說(shuō)明了即使系統(tǒng)在單純的隨機(jī)因素激勵(lì)下出現(xiàn)了振動(dòng)的隨機(jī)特性，但是系統(tǒng)沒(méi)有發(fā)生混沌，則安全盆不會(huì)出現(xiàn)分形邊界。

4 結(jié)論

本文通過(guò)建立形狀記憶合金的連續(xù)光滑應(yīng)力－應(yīng)變模型后得到了簡(jiǎn)支SMA梁的動(dòng)力學(xué)模型，化簡(jiǎn)后振動(dòng)方程為一個(gè)具有負(fù)剛度的杜芬－范德坡模型，該模型受簡(jiǎn)諧參激和白噪聲外激勵(lì)聯(lián)合作用。隨機(jī)Melnikov過(guò)程的計(jì)算給出了該系統(tǒng)發(fā)生混沌的必要條件判據(jù)。數(shù)值模擬了系統(tǒng)出現(xiàn)混沌時(shí)安全盆的邊界會(huì)出現(xiàn)分形特征。本文的工作意義主要體現(xiàn)在:

(1)通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)發(fā)生混沌的激勵(lì)幅值條件為SMA梁的穩(wěn)定工作提供了理論參考。安全盆的邊界分形給判斷混沌提供了除Melnikov方法之外的依據(jù)。

(2)安全盆可以清晰的判斷初值對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的意義，尤其在施加了噪聲干擾后，系統(tǒng)能夠安全工作的初值會(huì)減少，此研究意義在于:系統(tǒng)在較大激勵(lì)幅值下即使發(fā)生混沌，只要把初值取在安全盆內(nèi)的安全區(qū)，系統(tǒng)的能量也不會(huì)超出許可限制。為系統(tǒng)的健康工作提供了參考依據(jù)。

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