李文博，王有懿，趙志剛，趙 陽

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

隨著航天事業(yè)的迅猛發(fā)展，作為衛(wèi)星重要有效載荷的星載天線呈指向高精度和大型化的發(fā)展趨勢(shì)［1］。其結(jié)構(gòu)尺寸大、剛度小、阻尼低、模態(tài)密集等特點(diǎn)，像安裝和制造誤差所引起的結(jié)構(gòu)局部化，衛(wèi)星大角度軌道機(jī)動(dòng)、姿態(tài)調(diào)整和天線機(jī)構(gòu)的大范圍運(yùn)動(dòng)耦合作用都會(huì)使得反射面形狀變化，導(dǎo)致模態(tài)參數(shù)發(fā)生變化，進(jìn)而造成天線系統(tǒng)指向精度的降低甚至失效［1－3］。而按照標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)設(shè)計(jì)的控制器由于模態(tài)參數(shù)發(fā)生變化已不能完成結(jié)構(gòu)振動(dòng)的主動(dòng)抑制［4］。因此，進(jìn)行在軌運(yùn)行狀態(tài)下星載天線反射面模態(tài)參數(shù)辨識(shí)及主動(dòng)振動(dòng)控制研究具有重要的工程意義。

為獲取星載天線反射面的高精度模態(tài)參數(shù)，亟待解決的關(guān)鍵技術(shù)就是傳感器數(shù)量和位置的優(yōu)化部署。針對(duì)該問題，以往學(xué)者在設(shè)計(jì)優(yōu)化準(zhǔn)則和求解算法兩方面做了大量開拓性的工作:有效獨(dú)立法［5］、遺傳算法及其改進(jìn)算法［6－9］、Guyan 縮聚方法［10］、逐步累積法和消去法［11］等優(yōu)化部署方法。但大多都基于單一優(yōu)化準(zhǔn)則，而在實(shí)際工程應(yīng)用中設(shè)計(jì)人員往往要兼顧多種優(yōu)化準(zhǔn)則，而不是片面追求某單一準(zhǔn)則在數(shù)學(xué)上的最優(yōu)。因此，為解決多目標(biāo)優(yōu)化問題，文獻(xiàn)［12］采用歸一化處理方法將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，并采用自適應(yīng)遺傳算法對(duì)單一權(quán)重組合下的優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行求解。但此方法未給出其他權(quán)重組合下的最優(yōu)解集合;文獻(xiàn)［13］采用基于小生境技術(shù)的Pareto遺傳算法進(jìn)行多準(zhǔn)則優(yōu)化求解，并給出了所有權(quán)重組合下的最優(yōu)解集，但需設(shè)置種群小生境半徑，人為主觀因素影響很大。

綜上所述，引入帶精英策略的非支配排序遺傳算法(NSGA－Ⅱ)，解決以星載天線反射面模態(tài)參數(shù)在軌辨識(shí)為應(yīng)用背景的傳感器多目標(biāo)優(yōu)化部署問題?？紤]到NSGA－Ⅱ算法僅適合于連續(xù)性優(yōu)化變量，存在收斂速度及多樣性保持等方面的不足，對(duì)該算法在編碼方式和遺傳算子設(shè)計(jì)兩方面進(jìn)行改進(jìn)。

1 問題的數(shù)學(xué)描述

多目標(biāo)優(yōu)化部署問題的數(shù)學(xué)模型如下:

其中:X=(x1，x2，…，xn)T為n維決策變量空間;Fi(X)為目標(biāo)函數(shù)，且相互之間是沖突的，即不存在X使得所有子目標(biāo)函數(shù)同時(shí)取最小值;gi(x)為約束函數(shù)。

通過以上數(shù)學(xué)模型可知，多目標(biāo)優(yōu)化問題的解不同于單目標(biāo)優(yōu)化問題:其最優(yōu)解不是單一解，而是一個(gè)最優(yōu)解集，而該解集中的解無法進(jìn)一步比較之間的優(yōu)劣性，稱該解集為Pareto最優(yōu)解集。由此引出以下數(shù)學(xué)定義［13］:

(1)Pareto最優(yōu)解:對(duì)于可行解x*∈X，當(dāng)且僅當(dāng)不存在另一個(gè)可行解x∈X使Fi(x)≤Fi(x*)，i=1，2，…，n成立，且至少存在一個(gè)i0，i0∈{i=1，2，…，n}，使不等式Fi0(x)≤Fi0(x*)嚴(yán)格成立，則稱x*為多目標(biāo)優(yōu)化問題的一個(gè)Pareto最優(yōu)解。

(2)Pareto支配關(guān)系:對(duì)于變量p支配q(p?q)滿足以下兩個(gè)條件:①Fk(p)≤Fk(q)，k=1，2，…，n;②至少存在一個(gè)l∈{i=1，2，…，n}，使Fl(p)≤Fl(q)。

(3)Pareto最優(yōu)解前沿面:{X*}為給定多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解集，其前沿面定義如下式:

(4)Pareto非劣解集(非支配集):解集P中的個(gè)體x不被其他任何個(gè)體支配，則x為P中的非劣解;P中所有非劣解構(gòu)成的子集稱為非劣解集，其數(shù)學(xué)描述為:

2 優(yōu)化準(zhǔn)則及算法設(shè)計(jì)

2.1 優(yōu)化準(zhǔn)則設(shè)計(jì)

為滿足星載天線反射面在軌模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的應(yīng)用目的，要求傳感器的測(cè)量信息既具備較高的信噪比和能量，又有較高的可分辨性。但這兩個(gè)準(zhǔn)則在實(shí)際應(yīng)用中往往是相悖的，在保證測(cè)量信息正交性最大時(shí)所獲得的信號(hào)信噪比往往很低，必然對(duì)數(shù)據(jù)采集準(zhǔn)確性造成很大影響;而在保證獲得高信噪比數(shù)據(jù)時(shí)，又很難保證獲得信息的正交性，會(huì)造成部分信息冗余而其余部分信息丟失。

理論上結(jié)構(gòu)各階模態(tài)向量是一組正交向量，但由于傳感器測(cè)量自由度遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)模型的自由度并且測(cè)量信號(hào)受到儀器精度和環(huán)境噪聲的影響，實(shí)際上測(cè)得的模態(tài)向量不能保證其正交性。因此，在選擇測(cè)點(diǎn)時(shí)有必要使測(cè)量的各模態(tài)向量保持較大的空間交角。用模態(tài)置信度矩陣(MAC)來評(píng)價(jià)模態(tài)空間交角:［8 －9，14］

采用MAC矩陣的非對(duì)角元素均方根最小作為目標(biāo)函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

式中，xi表示MAC矩陣的非對(duì)角線元素;n表示MAC矩陣的非對(duì)角線元素個(gè)數(shù)。

為保證測(cè)量信號(hào)具有較高的信噪比和能量，需將傳感器部署在具有較大變形能或模態(tài)位移的節(jié)點(diǎn)上。采用模態(tài)振型矩陣的格萊姆矩陣元素和來評(píng)價(jià)自由度位移的量級(jí)，以保證測(cè)量信息能量最大［12－13］:

2.2 優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

(1)NSGA－II算法

針對(duì)以往傳感器多目標(biāo)優(yōu)化問題研究中存在需要過多人為因素參與的情況，引入具有較高計(jì)算性能和較少人工經(jīng)驗(yàn)參與的NSGA－II算法。NSGA－II算法是Deb［15］在Srinivas所提出的NSGA算法基礎(chǔ)上，對(duì)其存在的缺陷進(jìn)行改進(jìn)而得。其具體改進(jìn)為:① 為克服NSGA運(yùn)算復(fù)雜度高的缺陷，提出基于分級(jí)的快速非支配排序法，使其計(jì)算復(fù)雜度由O(MN3)降低為O(MN2)。其中，M為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù);N為種群規(guī)模;②為克服優(yōu)秀解丟失的缺陷，引入精英策略自動(dòng)將上一代的優(yōu)秀解保留至下一代，無需人為確定共享參數(shù);③為克服樣本早熟的缺陷，提出擁擠度和擁擠度比較算子。NSGA－II算法流程如圖1所示。

圖1 NSGA－II流程圖Fig.1 The flowchart of NSGA － II

從圖1中看出，NSGA－II的核心為基于擁擠度比較計(jì)算的非支配排序方法。其具體操作過程為:首先將父代種群和子代種群合并為一個(gè)新的種群;然后對(duì)新種群中的個(gè)體兩兩進(jìn)行比較獲取其非劣解集;最后按照擁擠度比較算子以擁擠度距離降序的方式對(duì)非劣解集進(jìn)行排序。

(2)NSGA－II算法改進(jìn)

雖然NSGA－II在多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，但該算法要求優(yōu)化參數(shù)必須是連續(xù)性變量，而傳感器多目標(biāo)優(yōu)化部署問題屬于典型的組合優(yōu)化問題其參數(shù)是離散型變量?；诖?，對(duì)該算法在編碼方式和遺傳算子設(shè)計(jì)兩方面進(jìn)行改進(jìn)，使之可用于離散型變量優(yōu)化求解。

考慮到星載天線反射面屬于典型的薄壁殼體結(jié)構(gòu)，在進(jìn)行編碼方式選擇時(shí)采取假設(shè)條件:① 所有傳感器均部署在反射面有限元模型的節(jié)點(diǎn)上;② 每個(gè)節(jié)點(diǎn)只考慮x，y和z三個(gè)方向的位移自由度，不考慮x，y和z三個(gè)方向的轉(zhuǎn)角自由度。

編碼方式采用整數(shù)矩陣的形式，矩陣的行數(shù)代表可行解群的數(shù)量，即種群規(guī)模s;列數(shù)代表每個(gè)可行解的長度，即傳感器部署的個(gè)數(shù)l;每個(gè)元素必須是整數(shù)，代表所對(duì)應(yīng)傳感器部署位置的編號(hào)。考慮到程序編寫方便，傳感器編號(hào)順序與有限元模型x，y和z三個(gè)方向的模態(tài)振型保持一致。其編碼形式如表1所示。

由于NSGA－II所采用的 SBX(Simulated Binary Crossover)交叉算子編碼形式為二進(jìn)制，且全局搜索性能相對(duì)較弱。采用具有更好全局搜索能力，并能保持種群多樣性的有序交叉算子，其具體形式為:首先確定交叉點(diǎn)的兩個(gè)位置;然后復(fù)制兩交叉點(diǎn)之間的元素到新個(gè)體;查看交換后的新個(gè)體中元素是否有重復(fù)，如果沒有重復(fù)則完成交叉操作;如果有重復(fù)，則將交叉點(diǎn)以外的元素按照與交叉點(diǎn)重復(fù)元素所對(duì)應(yīng)位置的原個(gè)體進(jìn)行替換，如圖 2所示。

圖2 有序交叉算子Fig.2 Ordered crossover

表1 傳感器部署位置編號(hào)Tab.1 The location number of deployed sensors

選擇算子采用適合離散型變量的二元錦標(biāo)賽選擇算子，并在計(jì)算過程中采用精英保持策略;變異算子采用基本位變異，即隨機(jī)選取變異點(diǎn)位置，并將該位置參數(shù)用隨機(jī)生成數(shù)據(jù)代替生成新個(gè)體。如果新個(gè)體中沒有重復(fù)參數(shù)，則完成變異操作;如果有重復(fù)參數(shù)，將該變異點(diǎn)參數(shù)重新變異再次與其他參數(shù)進(jìn)行比對(duì)直到?jīng)]有重復(fù)變量為止。

3 仿真算例

3.1 有限元模型

采用有限元軟件MSC.Patran建立如圖3所示的星載天線反射面有限元模型。其中，反射面曲線為雙曲拋物面，其表達(dá)式如式(7)所示;反射面直徑6 m，壁厚10 mm;材料密度 ρ=2 800 kg/m3，泊松比r=0.33，楊氏剪切模量G=70 GPa;本模型共有100個(gè)殼體單元，101個(gè)節(jié)點(diǎn)。

式中:f表示雙曲拋物面焦距，f=1.5。

圖3 星載天線反射面有限元模型Fig.3 The finite element model of satellite antenna reflector

對(duì)圖3所示模型進(jìn)行模態(tài)分析，提取其x，y和z方向的模態(tài)振型向量，及前8階模態(tài)頻率，詳見表2。

表2 星載天線反射面有限元模型前8階模態(tài)頻率Tab.2 The first eight order modal frequency of finite element model for satellite antenna reflector

3.2 優(yōu)化方案

表3 四種優(yōu)化方案的優(yōu)化準(zhǔn)則Tab.3 The fitness function of optimization criterions in four cases

為了對(duì)比單目標(biāo)與多目標(biāo)優(yōu)化的計(jì)算結(jié)果，設(shè)計(jì)了四種方案完成星載天線反射面?zhèn)鞲衅鞑渴饐栴}的優(yōu)化求解，詳見表3。其中，方案1、2屬于分別基于測(cè)量信息正交性最大和能量最大優(yōu)化準(zhǔn)則的單目標(biāo)優(yōu)化問題;方案3采用文獻(xiàn)［13］歸一化方法將方案1和2的多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成單目標(biāo)求解;方案4兼顧方案1、2的多目標(biāo)優(yōu)化準(zhǔn)則。

方案1，2和3均采用遺傳算法進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化問題的求解，其相應(yīng)參數(shù)設(shè)置為:種群規(guī)模s=200，最大遺傳代數(shù)G=350，傳感器個(gè)數(shù)l=20;方案4采用改進(jìn)NSGA－II算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化求解。

3.3 優(yōu)化結(jié)果

圖5為方案1－4所得傳感器優(yōu)化部署位置，從中可以看出，方案1所部署傳感器覆蓋信息全面、分布均勻，但有個(gè)別傳感器部署在模態(tài)位移能量較小(越靠近頂部位置模態(tài)位移越小)的節(jié)點(diǎn)上;方案2所部署傳感器集中在局部振型較大位置，這造成部分測(cè)量信息冗余而其余部分信息丟失，不能完全表現(xiàn)出結(jié)構(gòu)本身特征;方案3和4均保證測(cè)量信息具有較大正交性和較高能量，使得傳感器均部署在振型較大位置，且分布均勻、覆蓋信息完整。圖6和表4分別表示方案1－4所得優(yōu)化指標(biāo)，從中可以看出:方案1的MAC矩陣非對(duì)角線元素均方根、最大值和格萊姆矩陣元素和這三項(xiàng)指標(biāo)在四種優(yōu)化方案中均最小;方案2中三項(xiàng)指標(biāo)均最大;而方案3和4居中。

由以上可知:方案3和4是方案1和2的折衷解，既保證測(cè)量信息具有較大正交性，又使測(cè)量信號(hào)可以獲取較高的模態(tài)位移能量，更加符合實(shí)際工程中兼顧多指標(biāo)的設(shè)計(jì)要求。

由圖4可知，基于歸一化方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的方案3所得結(jié)果為某單一權(quán)重組合下的一個(gè)最優(yōu)解;基于NSGA－II算法的方案4所得結(jié)果為一個(gè)含有所有權(quán)重組合且分布均勻的Pareto最優(yōu)解集。因此，方案3采用歸一化方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題所得結(jié)果是基于NSGA－II算法的方案4所得解集中的一個(gè)特例。從方案4所得Pareto最優(yōu)解集中提取一個(gè)最優(yōu)解與方案3優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較，由表4中可知:方案4的MAC矩陣非對(duì)角線元素均方根和最大值均小于方案3，而格萊姆矩陣元素則大于方案3。說明方案4的測(cè)量信息正交性和模態(tài)位移能量均優(yōu)于方案3。

圖4 方案4所得Pareto最優(yōu)解集前沿面Fig.4 The Pareto solution frontier in case 4

圖5 方案1－4所得傳感器部署位置Fig.5 The locations of deployed sensors in case 1，2，3 and 4

圖6 方案1－4所得MAC矩陣Fig.6 MAC matrix in case 1，2，3 and 4

表4 方案1－4傳感器部署位置和優(yōu)化指標(biāo)Tab.4 The locations and evaluation indicators of deployed sensors in case 1，2，3 and 4

綜上所述，方案3和4較方案1和2更符合實(shí)際工程中天線反射面設(shè)計(jì)的多指標(biāo)要求，避免了在數(shù)學(xué)上片面追求某單一指標(biāo)最優(yōu)所存在的缺陷。方案4中所選一個(gè)結(jié)果的優(yōu)化指標(biāo)較方案3的結(jié)果均更優(yōu)，且方案4能給出所有指標(biāo)權(quán)重組合且分布均勻的最優(yōu)解集。為實(shí)際設(shè)計(jì)中擁有更多的選擇空間，并且保證優(yōu)化結(jié)果具有更高的靈活性與適應(yīng)性。

4 結(jié)論

為實(shí)現(xiàn)星載天線反射面模態(tài)參數(shù)在軌高精度辨識(shí)，對(duì)傳感器多目標(biāo)優(yōu)化部署問題進(jìn)行深入研究，具體工作及結(jié)論如下:

(1)為實(shí)現(xiàn)模態(tài)參數(shù)在軌辨識(shí)的工程應(yīng)用，設(shè)計(jì)了觀測(cè)信息正交性最大和能量最大的雙優(yōu)化準(zhǔn)則。

(2)為提高計(jì)算性能，避免人為因素參與，引入NSGA－II算法。并對(duì)該算法在編碼和遺傳算子設(shè)計(jì)兩方面進(jìn)行了改進(jìn)，使之可用于離散型變量優(yōu)化求解，擴(kuò)展了其應(yīng)用范圍，且提高了此算法的全局搜索能力。

(3)對(duì)比文中所設(shè)計(jì)的四種優(yōu)化方案結(jié)果可得:應(yīng)用改進(jìn)NSGA－II算法的方案4所得結(jié)果，較其他三種方案在性能指標(biāo)上更優(yōu)，且該方案更加符合實(shí)際工程要求。因此，基于改進(jìn)NSGA－II算法的優(yōu)化方案可以很好地解決星載天線反射面?zhèn)鞲衅鞫嗄繕?biāo)優(yōu)化部署問題。

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