甘 雨，隋立芬，王 冰

信息工程大學測繪學院，河南鄭州450052

經(jīng)驗模態(tài)分解閾值消噪方法及其在慣性導航系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理中的應用

甘 雨，隋立芬，王 冰

信息工程大學測繪學院，河南鄭州450052

針對慣性元件誤差中有色噪聲影響遠大于白噪聲的情況，建立元件誤差的分形高斯噪聲模型，利用功率譜密度方法估計模型參數(shù)?；谠肼暷Ｐ屯茖Ы?jīng)驗模分解（EMD）的各固有模態(tài)函數(shù)（IMF）分量中噪聲的方差，以此估計各分量相應的閾值，建立EMD閾值消噪方法。將該方法應用于INS中，并與小波閾值法進行比較。結果表明，小波閾值法難以控制元件中有色噪聲的影響，EMD閾值法與噪聲模型緊密結合，能夠更有效地削弱元件中的隨機誤差，提高INS精度。

慣性元件；慣性導航系統(tǒng)；有色噪聲；分形高斯噪聲；經(jīng)驗模態(tài)分解；小波；閾值消噪

1 引 言

受到慣性元件誤差等因素的影響，慣性導航系統(tǒng)（INS）的誤差隨時間積累［1］，雖然與衛(wèi)星導航系統(tǒng)（GNSS）組合可以得到削弱，但是一部分元件誤差的影響無法被GNSS探測到［2］。而且在GNSS不可用的情況下，單獨INS的誤差仍然得不到有效控制。慣性元件誤差中確定性的部分可以進行相應補償，而其隨機部分難以建立精確模型，是制約INS精度的關鍵因素。

針對上述情況，有學者提出對慣性元件輸出信號進行消噪處理來削弱慣性元件隨機誤差。其中基于經(jīng)典選頻濾波思想的數(shù)字低通濾波消噪法，無法解決元件輸出中有用信號和噪聲信號頻帶重疊的問題。小波分析具有時頻多分辨特性［3］，慣性元件信號消噪主要應用小波閾值的方法［4－6］。文獻［7］提出的小波閾值消噪方法，是專門針對信號中的高斯白噪聲提出的一種消噪算法。當噪聲為時間相關的有色噪聲時，采用小波消噪效果不理想，對有色噪聲的消噪到目前為止還未發(fā)現(xiàn)較好的方法［8］。慣性元件隨機誤差中存在大量有色噪聲成分，如零偏不穩(wěn)定性、速率隨機游走和馬爾可夫過程等，其影響遠大于白噪聲成分，這在中低精度元件中表現(xiàn)更為突出?，F(xiàn)有的小波閾值消噪方法沒有具體分析元件誤差特性，直接按照白噪聲模型估計各層小波系數(shù)的閾值，不能保證實際可靠性。

文獻［9］提出的經(jīng)驗模分解（empirical mode decomposition，EMD）處理非線性非平穩(wěn)信號的時頻分析方法，基于信號本身自適應地從高頻到低頻逐次分解，獲得一組固有模態(tài)函數(shù)（intrinsic mode function，IMF）分量［10］。該算法不但具有多分辨分析的優(yōu)點，而且克服了小波分析需要選擇基函數(shù)的困難，已有學者將其應用于信號消噪［11－13］。對于靜態(tài)下元件信號，其中的有用成分頻率極低，可以將高頻IMF分量除去達到消噪的目的。但是對于動態(tài)下的信號，有用成分與誤差存在大量混疊區(qū)域，需要對各IMF分量進行閾值處理?，F(xiàn)有的EMD閾值消噪方法直接將小波閾值作用于IMF分量上，缺乏理論依據(jù)。

本文將閾值消噪的慣性元件隨機模型由白噪聲擴展為分形高斯噪聲，以描述元件中依時間相關的有色噪聲成分，利用功率譜密度方法估計模型參數(shù)。根據(jù)噪聲模型推導EMD分解各IMF分量中噪聲的方差特性，以此估計各分量相應的閾值，建立EMD閾值消噪的方法。用EMD閾值消噪方法對慣性測量單元（inertial measurement unit，IMU）動態(tài)條件下的輸出信號進行處理并進行慣性導航解算，并與小波閾值消噪結果進行了比較。

2 慣性元件隨機誤差分形高斯噪聲模型

2.1 分形高斯噪聲

分形高斯噪聲是高斯白噪聲的擴展形式，本質上是個離散過程，其統(tǒng)計性質完全取決于二階矩，而它的二階矩依賴于唯一的參數(shù)H（稱為Hurst參數(shù)，有0＜H＜1）。分形高斯噪聲定義為［14］：零均值平穩(wěn)高斯過程，且自相關函數(shù)如式（1）

式中，τ為時延；σ2為方差，即rH（0）。

當τ→∞時，有［15］

H＞0.5時，分形高斯噪聲正相關且自相關函數(shù)衰減很慢；H＜0.5時，噪聲負相關；特別的，H＝0.5時，有

此時分形高斯噪聲退化為高斯白噪聲。

白噪聲只能描述不相關的噪聲過程，而分形高斯噪聲可以根據(jù)Hurst參數(shù)H的變化來描述不同相關程度的噪聲過程，擴展了噪聲模型的適用范圍。

2.2 元件隨機誤差的噪聲模型

慣性元件隨機誤差中包含零偏不穩(wěn)定性、速率隨機游走、馬爾可夫過程等噪聲成分，導致慣性元件輸出信號中的誤差經(jīng)常表現(xiàn)為有色噪聲形式。因此，利用高斯分形噪聲作為慣性元件隨機誤差的噪聲模型，以反映有色噪聲和白噪聲的綜合影響，其關鍵問題是估計慣性元件誤差分形高斯噪聲模型的參數(shù)H。

基于功率譜密度估計H是簡單實用的方法［16］。分形高斯噪聲的功率譜密度具有如下形式［14］

式中，f為頻率；C代表常數(shù)。在奈奎斯特（Nyquist）頻率范圍內，式（4）均成立。取雙對數(shù)，則

利用周期圖法計算功率譜密度，將雙對數(shù)功率譜密度按照（5）式進行最小二乘擬合，即可計算出H的估值，設擬合直線斜率為p，則

實用中，計算慣性數(shù)據(jù)的功率譜密度時常利用頻率平均（frequency averaging）技術對譜進行平滑處理［17］，雙對數(shù)譜密度進行擬合時通常選取80%～90%的低頻部分［16］。

圖1給出了某陀螺靜基座下X軸輸出信號的雙對數(shù)功率譜密度，圖2為譜密度平滑后的雙對數(shù)形式以及所擬合的直線，H的估計結果為0.885，顯然，該陀螺的隨機誤差不屬于白噪聲。

圖1 X軸陀螺信號雙對數(shù)譜密度Fig.1 Log－log PSD from X－gyro signal

圖2 X軸陀螺信號平滑雙對數(shù)譜密度及擬合直線Fig.2 Smoothed log－log PSD fromX－gyro signal and the fitting line

3 EMD閾值消噪

3.1 EMD原理

EMD將復雜的信號分解成若干個按頻率高低排列的IMF，每個IMF是一個零均值單分量信號。該方法與小波分析的區(qū)別在于它是后驗的，不需要事先選定基函數(shù)，而是根據(jù)信號本身的特性自適應地產(chǎn)生合適的模態(tài)函數(shù)，這些模態(tài)函數(shù)能很好地反映信號在任何時間局部的頻率特征。每個IMF分量滿足：①零點數(shù)目與極值點數(shù)目相同或最多相差1；② 局部極大值點構成的包絡線和局部極小值構成的包絡線的均值為零。分解過程通過一個稱為“篩選”的步驟來完成，具體操作請參見文獻［9，18］。

經(jīng)過“篩選”，原始信號x（t）可分解為n個IMF分量和1個余項的和

EMD分解出各IMF的瞬時頻率之間的關系近似滿足［14］：第1個IMF含最高瞬時頻率成分，第i（i≥2）個IMF的瞬時頻率幾乎處處是第i＋1個IMF的瞬時頻率的兩倍?？梢姡琁MF按照頻率由高到低的順序以此分解，一般來說，前幾個IMF分量主要含有噪聲成分，后續(xù)分量及余項主要包含有用信號成分，可借鑒小波閾值消噪的思想對前面m個分量進行閾值處理，達到削弱噪聲的目的。

3.2 EMD閾值消噪方法

基于白噪聲干擾假設的小波閾值方法難以有效削弱有色噪聲，將小波閾值直接作用于各IMF分量的EMD閾值消噪方法會產(chǎn)生同樣的問題。高斯分形噪聲作為元件隨機誤差的噪聲模型，可以描述隨機誤差中的有色噪聲成分，符合實際應用的需求。動態(tài)條件下慣性元件輸出信號包含有用信號和噪聲，如果能夠得到純高斯分形噪聲分解在各個IMF分量上的規(guī)律，便能估計出每一層的閾值。

文獻［14］推導出了高斯分形噪聲經(jīng)EMD分解后產(chǎn)生的各IMF分量之間功率譜密度的關系

式中，k′＞k≥2；ρH為

功率譜密度對頻率的積分為方差，考慮到式（8），可推導出IMF分量方差之間的關系

式（10）為純高斯分形噪聲EMD分解的IMF的方差規(guī)律（k′＞k≥2），利用方差關系，可估計出含噪聲信號的閾值，對噪聲進行處理。文獻［19］在白噪聲干擾的條件下借鑒小波閾值估計方法，提出EMD閾值取

IMF分量的方差按下式估計

式（12）的方差是噪聲和有用信號疊加的方差，而估計各IMF分量的閾值需要純噪聲的方差。前兩個IMF分量的頻率高，遠遠超出了有用信號頻帶范圍，因此主要包含噪聲成分，有用信號成分極少，對這兩個分量進行抗差性標準差估計可獲得純分形高斯噪聲的標準差

除前兩個IMF外，其余分量可能含有較多有用信號成分，即使應用式（13）也未必能得到準確的純噪聲標準差。對于其余分量，利用式（10）進行計算，即

由式（13）及式（14）計算得到各個IMF所含噪聲的標準差或方差，應用式（11）即計算出各IMF的閾值。

閾值消噪的策略主要包含硬閾值和軟閾值兩種［19］，軟閾值的結果連續(xù)性和平滑性更好，但是可能會導致有偏的結果，在特定情況下還會產(chǎn)生多余的誤差源［20］。軟閾值對所有系數(shù)進行壓縮，如果閾值估計產(chǎn)生誤差，該誤差會擴散到所有系數(shù)上；硬閾值只對低于閾值的部分進行處理，對高于閾值的部分保留，可以不受閾值估計誤差的影響，因此EMD閾值消噪采用硬閾值策略，即

由于噪聲成分主要集中于前面的IMF分量中，因此，無需將信號按式（7）進行完全的經(jīng)驗模分解，只需分解出前面m個分量的并進行閾值處理。前面提到，第i個IMF的頻率幾乎是第i＋1個IMF的頻率的2倍，按照這個規(guī)律，對于慣性元件信號，第5、6個分解的IMF分量的頻率已經(jīng)很低，后續(xù)的分量中噪聲成分極少。由于使用了硬閾值的消噪策略，分解個數(shù)m不是很敏感。因為隨著m增加，IMF系數(shù)的大部分幅值高于閾值，閾值的作用越來越小。而軟閾值將所有系數(shù)壓縮，對分解個數(shù)m的選擇十分敏感，錯誤的m會損失大量有用信號。

綜上所述，基于高斯分形噪聲模型的EMD閾值消噪的具體過程如下：

（1）利用式（5）、式（6）估計分形噪聲參數(shù)H；

（2）對信號進行EMD分解，得到IMF分量；

（3）基于式（11）、式（13）、式（14）計算噪聲標準差或方差，估計各IMF相應的閾值；

（4）按式（15）對分量中的系數(shù)進行硬閾值處理；

（5）按式（7）恢復消噪后的信號。

基于高斯分形噪聲的EMD閾值消噪方法，將閾值估計算法與噪聲模型相結合，克服了小波閾值消噪脫離誤差統(tǒng)計特性的缺點。H為0.5時，對應于白噪聲條件下的特殊情況，此時各IMF的方差不相同，因此閾值也不相同，而白噪聲的各層小波分解系數(shù)方差一致，說明EMD與小波的分解特性有區(qū)別。

圖3為動態(tài)條件下X軸陀螺某4096歷元內輸出信號EMD分解的前5個IMF分量，圖4為IMF分量閾值消噪結果。顯然，經(jīng)驗模分解閾值消噪方法在去除了以噪聲為主的低幅值系數(shù)的同時，保留了可能含有有用信息的高幅值系數(shù)。

圖3 信號EMD分解的IMF分量Fig.3 IMFs from EMD of signal

圖4 EMD閾值消噪的IMF分量Fig.4 EMD threshold de－noised IMFs

4 計算與分析

使用一組動態(tài)戰(zhàn)術級車載IMU（包含三軸陀螺和三軸加速度計）數(shù)據(jù)，IMU采樣頻率為100Hz。分別采取3種方案對IMU數(shù)據(jù)進行慣性導航解算，得到各歷元的經(jīng)緯度誤差。

3種解算方案如下：

方案1 使用IMU輸出的原始數(shù)據(jù)解算；

方案2 使用db8小波消噪后的IMU數(shù)據(jù)進行解算；

方案3 使用EMD閾值消噪后的IMU數(shù)據(jù)進行解算。

各軸陀螺輸出信號如圖5所示，IMU三軸分別對應于下、左、前方向。試驗中，車輛主要在水平方向運動，因此X軸的旋轉角運動比較劇烈，而Y、Z軸旋轉角運動幅值較小，淹沒于噪聲中。任何閾值消噪方法均建立在有用信號幅值大于噪聲幅值的基礎上，因而對Y、Z軸不能進行閾值消噪。加速度計輸出存在類似情況，Z軸加速度計幅值變化明顯而X、Y軸有用信號被噪聲淹沒。因此，方案2、3只對X軸陀螺和Z軸加速度計數(shù)據(jù)進行閾值消噪處理，功率譜密度法估計的X陀螺和Z軸加速度計信號的Hurst參數(shù)值分別為0.885和0.447 4，EMD閾值處理的IMF個數(shù)為6，小波閾值取分解層數(shù)7，以4096寬度的歷元窗口用閾值方法依次處理動態(tài)IMU數(shù)據(jù)。

3種方案的經(jīng)緯度誤差見圖6和圖7，點線、虛線、實線依次代表3種方案的結果。RMS和最大誤差（max）的比較如表1所示。

圖5 陀螺輸出信號Fig.5 Gyro signals

圖6 經(jīng)度誤差Fig.6 Longitude errors

圖7 緯度誤差Fig.7 Latitude errors

表1 3種方案RMS及max比較Tab.1 Comparison of RMS and max for three schemes

分析計算結果，可知

（1）小波閾值消噪方法能夠削弱慣性元件中的白噪聲干擾，提高導航精度。但消噪后的元件信號中還殘余大量有色噪聲成分，因此小波閾值消噪法的效果很有限。

（2）EMD閾值消噪方法建立在合理的分形噪聲模型之上，對各IMF分量中的閾值估計準確，有效地削弱了元件隨機誤差中具有相關性的有色噪聲成分，進一步提高了導航精度。

（3）受到Y、Z軸陀螺和X、Y軸加速度計中噪聲的影響，對X軸陀螺和Z軸加速度計EMD閾值消噪后慣性導航誤差仍然具有不斷積累的趨勢。

5 結 論

小波閾值消噪方法具有削弱白噪聲的作用，但是應用于慣性元件隨機誤差消噪等問題時脫離了實際的噪聲模型，難以控制元件中依時間相關有色噪聲的影響。分形高斯噪聲作為白噪聲的擴展，能夠描述噪聲的相關性，適合作為慣性元件隨機誤差的噪聲模型。建立在分形高斯噪聲基礎上的EMD閾值消噪方法，可以根據(jù)元件信號的誤差特性進行閾值估計，有效削弱元件隨機誤差，提高INS及GNSS／INS組合導航的精度。

對于有用信號被噪聲淹沒情況下的消噪問題，目前還沒有好的處理辦法。如果有用信號的頻率很低而噪聲頻率很高，如靜止下的IMU數(shù)據(jù)，可以用EMD將IMF分量中的高頻部分剔除達到消噪目的。但是如果動態(tài)IMU數(shù)據(jù)中某些軸向有用信號頻帶與噪聲重疊而其幅值較小，則既不能通過剔除分量的方式消噪，也無法應用閾值的方式消噪。處理這類誤差是下一步工作的重點。

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E－mail：ganyu099＠163.com

EMD Threshold De－noising and Its Applications in INS Data Processing

GAN Yu，SUI Lifen，WANG Bing
Institute of Surveying and Mapping，Information Engineering University，Zhengzhou 450052，China

Since colored noise is predominant in sensor errors，fractional Gaussian noise model is established and the model parameter estimation method by power spectral density is given.Noise variance in intrinsic mode functions（IMFs）from empirical mode decomposition（EMD）is derived.Noise thresholds of IMFs are estimated through variance and EMD threshold de－noising method is established.The method is applied in INS and compared with wavelet de－noising method.It is shown that wavelet threshold de－noising is poor at suppressing colored noise while EMD threshold de－noising is effective on reducing sensor errors for its connection with proper noise model.INS accuracy is improved through EMD threshold de－noising.

inertial sensors；INS；colored noise；fractional Gaussian noise；EMD；wavelet；threshold de－noising

GAN Yu（1988－），male，postgraduate，majors in dynamic geodetic data processing.

GAN Yu，SUI Lifen，WANG Bing.EMD Threshold De－noising and Its Applications in INS Data Processing［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（4）：504－509.（甘雨，隋立芬，王冰.經(jīng)驗模態(tài)分解閾值消噪方法及其在慣性導航系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理中的應用［J］.測繪學報，2012，41（4）：504－509.）

P228

A

1001－1595（2012）04－0504－06

國家自然科學基金（40974010；41174006）

叢樹平）

2011－08－26

2012－01－02

甘雨（1988－），男，碩士生，研究方向為動態(tài)大地測量數(shù)據(jù)處理。