馬 榮，石建省，劉繼朝

中國地質科學院水文地質環(huán)境地質研究所，石家莊 050061

可變模糊理論與模糊粗糙集在地下水污染評估中的應用

馬 榮，石建省，劉繼朝

中國地質科學院水文地質環(huán)境地質研究所，石家莊 050061

傳統(tǒng)的地下水污染評估方法需檢測多項地下水化學變量，成本較高且無法考慮水質指標區(qū)間量值的影響。為此，筆者利用可變模糊理論對地下水污染進行綜合評估，在此基礎上通過模糊粗糙集理論挖掘關鍵變量，并利用生成的最小決策規(guī)則庫對樣品點的污染綜合指數(shù)進行預測。將該方法應用于洛陽盆地，對其有效性進行驗證，計算結果表明：As、Hg、Se、I、NH3－N對研究區(qū)地下水污染分類起控制作用。通過與實測的13種化學變量所計算的地下水污染綜合指數(shù)相比，測試數(shù)據中7組樣品的相對誤差為0.104 0～0.172 5；剩余15組樣品的相對誤差為0.001 5～0.093 7，基本滿足地下水污染評估的要求?？勺兡：c模糊粗糙集理論能夠通過較少的化學變量對污染綜合指數(shù)進行預測，從而降低地下水污染評估成本，為后續(xù)的地下水污染控制與修復提供可靠的數(shù)據來源。

地下水；化學變量；污染；模糊；誤差

0 引言

近年來，地下水污染問題已引起人們的普遍關注，國內外許多學者對污染物在地下水中的運移［1－3］、控制和修復［4－8］等進行了大量研究。但上述研究均是建立在研究人員對地下水污染狀況有著深刻認識基礎之上的，如果沒有大量實測的地下水化學變量數(shù)據，關于地下水污染研究的成果也難以令人滿意［9］；故在理論上應該對地下水體的所有化學組分進行檢測，綜合評定地下水的總體污染效果。但對某一地區(qū)而言，污染物往往集中在一項或幾項指標上，如果對所有元素進行系統(tǒng)的測試與分析，不但浪費不必要的人力和物力，且使研究人員在后續(xù)的地下水污染防治中面臨眾多化學變量，從而增加計算量，有時甚至會使一些經典數(shù)值計算方法（如遺傳算法和模擬退火算法等）的解在局部無法收斂［10－12］。

通過模糊粗糙集來挖掘對地下水污染分類起關鍵作用的化學變量，刪除冗余屬性，降低污染監(jiān)測和計算成本，對地下水污染評估研究有重要意義。Dubois等［13］的研究表明，決策屬性對于模糊粗糙集屬性約簡效率有重要影響，在本次研究中決策屬性即為地下水污染綜合指數(shù)。在地下水污染評估時，《地下水質量標準》［14］是重要的評估依據，但其對于各個化學變量的水質標準為區(qū)間形式的量值；而在傳統(tǒng)的模糊綜合評價中，模糊子集的隸屬函數(shù)形式由研究人員選擇確定，一般采用較簡單的對稱線性分布，如梯形、三角形和專家打分等，其分布函數(shù)所表示的隸屬度都是論域中的變量隸屬于某一化學變量標準點的隸屬度［15］，無法考慮水質指標區(qū)間形式的量值。因此應用現(xiàn)有的模糊子集分布函數(shù)來進行模糊綜合評價是不合適的，需要研究一種基于標準區(qū)間值模糊子集分布函數(shù)的模糊評價方法。

基于以上原因，利用可變模糊理論對地下水污染進行綜合評價，作為模糊粗糙集的決策屬性?？勺兡：碚摰囊肽軌蛟诘叵滤廴驹u估中充分利用地下水分類指標區(qū)間形式的量值來對地下水污染進行分類，建立關于各個不同區(qū)間相對隸屬度的概念；該理論克服了傳統(tǒng)隸屬度在確定過程中基于某一標準點所建立的缺陷，在考慮多個水質標準區(qū)間的基礎上對地下水污染進行綜合評估。模糊粗糙集能夠分析隱藏在數(shù)據中的事實而不需要關于數(shù)據的任何附加信息，具有較好的客觀性和實用性等特點［16］，故在建立相對隸屬度矩陣的基礎上可利用其在地下水化學變量和污染綜合指數(shù)間建立最小決策規(guī)則庫，挖掘出對地下水污染綜合指數(shù)起控制作用的關鍵因子。地下水化學變量中關鍵因子的挖掘不僅可以顯著減少地下水污染評估成本，且能夠降低后續(xù)地下水污染控制與修復的計算成本。

1 理論方法

1.1 可變模糊理論

可變模糊集理論是建立在工程模糊集理論基礎之上的，是一個比較系統(tǒng)的可變模糊集體系［17］。設論域U為研究區(qū)所有地下水樣品的集合，模糊概念表示《地下水質量標準》［14］中某一水質分類等級。對U中的任意地下水樣u，其在相對隸屬函數(shù)的連續(xù)數(shù)軸任意點上對表示吸引性質A的相對隸屬度為對表示排斥性質的槇相對隸屬度為

式中：i＝1，2，…，m，m為地下水水質評價指標數(shù)；r＝1，2，…，C；C為地下水水質的分類等級。點值矩陣Mir選取在區(qū)間［air，bir］中樣品點相對于第r分類其隸屬度等于1的值。

x為X區(qū)間內任意采樣點評價指標的濃度值，則x落入M點左側時的相對差異函數(shù)模型為x落入M點右側時的相對差異函數(shù)模型為

公式（5）－（7）中，β為非負指數(shù)。為了得到各指標的綜合相對隸屬度，應用如下公式構建可變模糊評價模型：

式中：uhj為綜合隸屬度；wi為指標權重；p為聚類參數(shù)；k為模型優(yōu)化準則參數(shù)，k＝1時優(yōu)化準則為加權最小一乘方準則，k＝2時優(yōu)化準則為最小二乘方準則。公式中參數(shù)k和p可有4種組合：（k，p）＝｛（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）｝，在計算過程中，可以通過改變參數(shù)k和p進行模糊綜合評判，以獲得穩(wěn)定的評價結果。

1.2 模糊粗糙集

在模糊粗糙集中，由于引入了模糊集合理論，條件屬性和決策屬性都可以是模糊的，屬性對應的是相似關系，連續(xù)值屬性的離散化過程被屬性模糊化過程所代替，也就是將實數(shù)轉化為相應的隸屬度，因此能更客觀地表達現(xiàn)實世界的模糊性和隨機性［18］。模糊粗糙集屬性約簡方法在于把對象抽象成為一個模糊信息系統(tǒng)，表示為FIS＝（U，T，E，V，f）。其中：U＝｛x1，x2，x3，…，xn｝，是n個對象的非空有限集合，稱為論域，xi＝（hi1，hi2，…，hiq）；T＝｛T1，T2，…，Tq｝，是一組模糊條件屬性，q為條件屬性個數(shù)，屬性Ti可表示為g個模糊語言項的集合FLTi＝｛ti1，ti2，…，tij，…，tig｝（1≤i≤q；1≤j≤g）；E是一組模糊決策屬性，可表示為s個模糊語言項的集合FLE＝｛e1，e2，…，es｝；T和E均是U上的模糊劃分［19］，如公式（11）、（12）所示；，其中VTi（1≤i≤q）為屬性集合的值域；f：U×T→為信息函數(shù)

其中：tkij（1≤i≤q；1≤j≤g；1≤k≤n）為條件屬性隸屬度；e（k）l（1≤l≤s；1≤k≤n）為決策屬性隸屬度［20］。

設屬性集T下的模糊等價關系為RT，屬性集Q下的模糊等價關系為RQ，則屬性集Q相對屬性集T的條件熵定義為

2 實例分析

在利用可變模糊理論耦合模糊粗糙集挖掘對地下水污染起控制作用的化學變量過程中，主要包括以下3個步驟：1）利用可變模糊理論對收集到的302組地下水化學樣品進行模糊綜合評價，并根據其綜合指數(shù)進行污染等級分類，即模糊粗糙集的決策屬性離散化；2）利用模糊粗糙集理論中的信息熵約簡算法挖掘對地下水污染分類起控制作用的化學變量，從而在地下水化學變量與污染綜合指數(shù)間建立決策規(guī)則庫；3）根據訓練好的決策規(guī)則庫對測試數(shù)據的地下水污染綜合指數(shù)進行預測，并對其進行誤差分析，來驗證本文所提出的新方法的有效性。

2.1 研究區(qū)概況

洛陽盆地總面積達5 360km2，地勢西高東低，南北高中間低，由中心至周邊，地形逐次升高，且整體由西向東傾斜。伊洛河沖積平原區(qū)淺層地下水埋藏淺，水量豐富，洛陽及鄭州市生活及工農業(yè)用水多以開采盆地內淺層地下水為主。研究區(qū)共采集了淺層地下水樣品302組（圖1），檢測了28項地下水化學變量，其中包括Mn、Fe、Cu、Zn、Ba、K、Ni、Be、Co、Cd、Pb、As、Hg、Se、NO3、F、Mo、Cl、NO2、CN、Cr、PO4、I、NH3－N、化學需氧量（chemical oxygen demand，COD）、溶解性總固體（total dissolved solids，TDS）的質量濃度，總硬度（total hardness，TH）和pH。所有樣品均由中國地質科學院水文地質測試中心完成。在本次研究中，樣品的采集與測試是進行分析研究的關鍵，根據研究區(qū)的實際情況，依據《地下水污染調查評價規(guī)范》［22］和美國環(huán)境保護局的《地下水水樣采集要求》［23］制定了污染物分析水樣的采集、保存和送檢技術要求。其中電導率（electrical conductivity，EC）、溫度和pH均在現(xiàn)場測試完成，原水樣均用2.5L聚乙烯塑料瓶裝樣，體積達到容器的99%，不加保護劑。為保證最終檢測結果的準確性與有效性，在所有的采樣點每次均取2個樣品進行測試研究。

2.2 數(shù)據準備

本次研究共采集302組淺層地下水化學樣品，檢測28項化學變量，但由于Mn、Cu和K等離子的質量濃度遠低于《地下水質量標準》［14］中的二類水水質標準，且其在整個研究區(qū)的質量濃度分布較為均一，對地下水污染分類無明顯影響，故在本文中只選取Ba、As、Hg、Se、NO3、F、COD、I、TH、TDS、NH3－N、pH和Fe離子13種化學變量作為模糊粗糙集的條件屬性集；通過可變模糊理論對302組水化學樣品進行綜合評價，并根據其污染綜合指數(shù)進行分類，作為模糊粗糙集的決策屬性。在此基礎上，將收集到的地下水化學樣品分為2組：選取其中的280組樣品為訓練數(shù)據，構建決策規(guī)則庫；將剩余的22組樣品作為測試數(shù)據，利用其對決策規(guī)則庫進行檢測，來驗證該方法的有效性。

2.3 地下水污染綜合評價

對研究區(qū)302組地下水化學樣品進行統(tǒng)計分析，并結合《地下水質量標準》［14］，利用可變模糊理論對樣品點進行綜合評價，詳細計算過程如下：

1）根據式（1）－（3）建立地下水污染評價可變集合的吸引域矩陣lab、范圍域矩陣lcd（表1，2）以及點

2）利用lab、lcd和Mir判斷樣本特征值xij在M點的左側還是右側，據此選擇公式（5）、（6）或公式（7）、（8）計算水質樣本對每個指標的相對差異度和相對隸屬度，并利用熵權法［25］求得上述13個化學變量的權值：

圖1 研究區(qū)及采樣分布圖Fig.1 Study area and sample location

wi＝｛0.070 0，0.070 7，0.071 1，0.084 1，0.075 7，0.070 9，0.069 8，0.090 0，0.069 8，0.070 6，0.103 2，0.068 2，0.085 9｝，由公式（10），分別采用｛k＝1，p＝1；k＝1，p＝2；k＝2，p＝1；k＝2，p＝2｝4種參數(shù)變換模型計算各個樣品的地下水污染綜合指數(shù)，結合洛陽盆地水文地質條件與水化學背景對綜合指數(shù)進行分類，為模糊粗糙集提供決策屬性（表3）。

2.4 建立決策規(guī)則庫

在本文所構建的模糊信息系統(tǒng)決策表中，條件屬性集為ρ（Ba）、ρ（As）和ρ（Hg）等13種化學變量；決策屬性集E為地下水污染綜合指數(shù)。其中條件屬性為模糊值，取值｛μ11，μ12｝表示達到第Ⅲ類水質標準的隸屬度為μ11，未達到第Ⅲ類水質標準的隸屬度為μ12，依次建立13種地下水化學變量的模糊值。

在建立模糊信息系統(tǒng)決策表的基礎上，利用信息熵求取該決策表的最小屬性約簡，挖掘對研究區(qū)地下水污染分類起控制作用的化學變量，具體的計算過程如下。

1）對每條屬性利用Extended Jaccarad量度計算對象間的模糊相似度，從而建立模糊相似矩陣［26］，在此基礎上利用傳遞閉包法計算出各個條件屬性的模糊等價矩陣。

2）令y＝T，根據公式（13）計算條件屬性集y相對決策屬性集E的信息熵：H（RE｜Ry）＝1.994 4。

3）對條件屬性集中每一條屬性Ti（i＝1，2，…，13），計算其相對決策屬性E的條件信息熵：

4）若H（RE｜Ry）＝H（RE｜Ry＼Ti），說明屬性Ti相對決策屬性E是不必要的，刪除屬性Ti所在的列，并將重復的行進行合并，且令y＝y(tǒng)＼Ti。

5）重復步驟3），直到條件屬性集合不再發(fā)生變化為止，求得本次研究的模糊信息系統(tǒng)決策表的最小約簡為｛ρ（As），ρ（Hg），ρ（Se），ρ（I），ρ（NH3－N）｝，由上述5種化學變量歸納出的規(guī)則即為地下水污染分類的決策規(guī)則庫（表4）。

表3 地下水污染綜合評價結果Table 3 Comprehensive evaluation results of groundwater pollution

2.5 規(guī)則測試

將測試數(shù)據中的22組水質分析樣品帶入上述的決策規(guī)則集中預測其相對應的污染綜合指數(shù)。在本次計算中，共獲取265條決策規(guī)則，為了能夠在預測過程中充分應用所有的決策規(guī)則，利用模糊推理技術對測試數(shù)據進行預測［27］。以測試數(shù)據集中1號樣品為例，其具體的計算過程如下。

表4 地下水污染決策規(guī)則庫Table 4 Decision rule database of groundwater pollution

式中：vi（i＝1，2，…，22）為測試數(shù)據；zj（j＝1，2，…，265）為模糊粗糙集的決策規(guī)則；n為參與計算的5個化學變量；wk為各化學變量的權重，在本文中，主要根據其在模糊粗糙集中相對于決策屬性E的信息熵計算而得。

2）在求得1號樣品點與各決策規(guī)則貼近度的基礎上，將其作為權系數(shù)，帶入公式（15）即可求得樣品點處的地下水污染綜合指數(shù)：1）利用公式（14）計算出1號樣品與上述最小決策規(guī)則庫中各規(guī)則的海明貼近度：

式中：i＝1，2，…，22為測試樣品號；Ej（j＝1，2，…，265）為各決策規(guī)則所對應的污染綜合指數(shù)。

根據此方法即可求出測試數(shù)據中22組地下水樣品的污染綜合指數(shù)（表5）。

表5 測試數(shù)據中地下水污染綜合指數(shù)Table 5 Prediction value of groundwater pollution synthetic index in testing data

通過可變模糊理論對洛陽盆地地下水污染進行綜合評價，污染綜合指數(shù)為1.521 7～3.606 7（表3中省略了部分數(shù)據），其中洛陽市澗西區(qū)地下水污染綜合指數(shù)較高，這主要是由于該區(qū)集中了洛陽市主要的工礦企業(yè)，污染較為嚴重；這表明可變模糊理論能夠真實刻畫地下水污染狀況。在此基礎上利用模糊粗糙集理論，挖掘對研究區(qū)地下水污染分類起控制作用的5個化學變量（ρ（As）、ρ（Hg）、ρ（Se）、ρ（I）、ρ（NH3－N）），并構建出265條決策規(guī)則，通過上述的最小決策規(guī)則對測試數(shù)據集中地下水化學樣品的綜合指數(shù)進行預測，預測值為1.557 9～3.916 6；通過與實測的13種化學變量所計算的地下水污染綜合指數(shù)相比，其中7組樣品（1、2、5、7、8、11、15、22）的相對誤差為0.104 0～0.183 9，剩余15組樣品的相對誤差為0.001 5～0.093 7（表5），計算結果基本令人滿意。故基于可變模糊集與模糊粗糙集理論可以應用于實際的地下水污染評估。

3 結論

1）將可變模糊理論應用于洛陽盆地地下水污染綜合評估中，通過相對隸屬度函數(shù)的引入，在評估過程中充分考慮不同水質標準區(qū)間量值的影響，從而使得地下水污染評估更加科學與準確，為后續(xù)的模糊粗糙集理論提供良好的決策屬性，在一定程度上保證了本次研究具有較高的計算精度。

2）地下水污染綜合評估是后續(xù)地下水污染運移、控制與修復研究的基礎，通過模糊粗糙集理論，只需檢測洛陽盆地地下水中5種化學變量即可求得任意點處的污染綜合指數(shù)；這極大地降低了地下水污染評估成本，使研究人員能夠在有限的時間與資金內獲取更多的監(jiān)測數(shù)據，從而為后續(xù)的污染研究提供可靠的數(shù)據支撐。

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Application of Variable Fuzzy Set Theory and Fuzzy－Rough Set to Groundwater Pollution Assessment

Ma Rong，Shi Jian－sheng，Liu Ji－chao

The Institute of Hydrogeology and Environmental Geology，Shijiazhuang 050061，China

Many hydrochemical variables were required to test in tradition methods in order to assess groundwater pollution，the cost was higher.More importantly，these methods could not consider the effect of interval water quality target limit on synthesis assessment.A new method was introduced in this paper：first the variable fuzzy set theory was employed to assess groundwater pollution；and then application of fuzzy rough set to evacuate critical variable，the min－decision rules were used to forecast groundwater pollution synthesis index，which was yield by fuzzy－rough set.This method was applied in Luoyang basin to evaluate its validity，the result indicated：there were five hydrochemical variables（As，Hg，Se，I，NH3－N）played a controlled role in groundwater pollution classification.In testing data，7 groups of samples＇relative error was 0.104 0－0.172 5；the surplus 15groups samples’relative error was 0.001 5－0.093 7.Therefore，the groundwater pollution synthesis index could be predicted by variable fuzzy sets and fuzzy－rough set theory according to the above five hydrochemical variables，which could make the monitoring cost decrease and provide reliable data source for groundwater pollution control andremediation.

groundwater；hydrochemical variable；pollution；fuzzy；errors

book=2012,ebook=541

P641

A

1671－5888（2012） 04－1130－09

2011－10－25

國家“973”計劃項目（2010CB428800）

馬榮（1982－），男，博士，主要從事地下水污染方面的研究，E－mail：margroundwater＠gmail.com

石建?。?962－），男，研究員，主要從事水文地質評價方面的研究，E－mail：tiger7886＠263.net。