楊 杰

(皖西學(xué)院 建筑與土木工程學(xué)院，安徽 六安 237012)

市政管線的綜合布置及數(shù)學(xué)建模研究

楊 杰

(皖西學(xué)院 建筑與土木工程學(xué)院，安徽 六安 237012)

在探討空間布局問題的基礎(chǔ)上分析了管線布置系統(tǒng)中的各種約束因素，并提出約束關(guān)聯(lián)網(wǎng)在綜合布管中的應(yīng)用;從管線布置的流量約束、路徑約束、費用約束和空間約束著手，建立了一個多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，并利用分層排序法對模型的最大流量函數(shù)、最短路徑函數(shù)、最小費用函數(shù)和空間內(nèi)互不干涉的最小剖面積函數(shù)進(jìn)行求解。研究表明:管線系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模具有一定的可操作性，為城市市政管網(wǎng)的定線提供了參考。

市政管線;綜合布置;約束;多目標(biāo)規(guī)劃;數(shù)學(xué)模型

市政管線系統(tǒng)的綜合布置屬于空間布局問題的范疇，布局問題［1］是指在滿足一定的限制條件下，根據(jù)布局空間的和待布物體的相互關(guān)系，將其合理地放置于空間中，并且符合問題的最優(yōu)化要求。待布物體的不規(guī)則性與待布空間的不定性使布局問題變得復(fù)雜多變，國內(nèi)外許多學(xué)者對其做了大量的研究，并取得了一定的成果。黃振東［2］等對帶平衡約束的矩形布局問題，提出了一種新的混合算法來進(jìn)行求解;梁勤歐［3］等對設(shè)備布局問題進(jìn)行了相關(guān)研究，并通過免疫遺傳算法來驗證設(shè)備間的優(yōu)化布置;Sweeney［4］等對布局空間與待布物體之間的關(guān)系進(jìn)行了相關(guān)的分析和論述;Jain［5］等利用改進(jìn)遺傳算法，求解二維空間布局問題;Gent［6］將啟發(fā)式算法應(yīng)用于裝箱布局問題中，并通過實際案例驗證其最優(yōu)化布置情況。然而，由于布局問題的復(fù)雜性以及各個領(lǐng)域的差異性，很難找到一種通用算法對所有布局問題進(jìn)行求解。對于市政管線系統(tǒng)綜合規(guī)劃，本文從影響管線布局問題的各種限制性因素著手，分析了幾種條件下的約束目標(biāo)與約束條件，建立多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，并尋求模型的解法，嘗試性的探討多種管線的空間布置問題。

1 管線綜合布置的約束因素分析

1.1 約束的分類

在市政管線的綜合布置中，對影響系統(tǒng)的各種限制性因素進(jìn)行描述和分析是解決問題的切入點，此處的限制性因素即約束，如管道的尺寸、管徑、流量等，它們在系統(tǒng)布置中起著一定的約束作用。可以說，一個布局問題的求解過程，也是一個對約束的處理過程。管線布置系統(tǒng)中的約束［7-8］類型可以分為以下幾種:

1.1.1 管線順序約束

指管線的放入順序?qū)芫W(wǎng)布置空間所產(chǎn)生的約束。管線布局的順序可以按照定序和定位進(jìn)行分配，一個三維空間布局順序約束為:按管線系統(tǒng)的容積遞減;管線系統(tǒng)面積遞減;管線系統(tǒng)長度、寬度和高度遞減定序。

1.1.2 管線幾何約束

即幾何形狀和尺寸對管線系統(tǒng)布置所形成的約束限制，具體可分為線性約束、平面約束以及空間約束;為了求解布局問題，有時可以通過調(diào)用幾何形狀和尺寸約束，將平面布局簡化為線性布局。

1.1.3 管線位置約束

指各種管線之間以及管線與待布空間之間的相互限制，城市地下管線的位置約束主要表現(xiàn)為管線之間的垂直相間、平行相鄰和斜相交等位置關(guān)系。

1.1.4 管線屬性約束

指管線的流量、流速、壓力損失、材料、強度等特定屬性的對布管的影響。通過對布局管線各種設(shè)計屬性的分析，一定程度上可確定其布局空間的最佳位置。

1.1.5 管線干涉約束

在管線系統(tǒng)空間布局中，各種因素是相互影響和制約的，如管線的幾何尺寸對管線的放入順序產(chǎn)生約束:先放大尺寸管線，后放小尺寸管線;但同時，各種管線自身的屬性又影響其與相鄰管線的定線，即特定的兩種或多種管線之間存在位置上的干涉影響和約束。

1.2 約束關(guān)聯(lián)網(wǎng)

在一個三維空間布局問題中，各種約束之間既相互聯(lián)系又相互制約，形成一個或一系列的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，稱之為約束關(guān)聯(lián)網(wǎng)。市政管線系統(tǒng)的空間布置可以通過組合多個管線約束，建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，確立管線系統(tǒng)的約束關(guān)聯(lián)網(wǎng)進(jìn)行合理布管。如在均勻流管道中存在的約束變量有:流速 v，流量Q，管長，管徑 d，雷諾數(shù) Re，運動粘度系數(shù)，沿程阻力系數(shù)和水損hf。通過對這些約束變量的分析，其存在的數(shù)學(xué)關(guān)系式有:

管徑、管長、流速、沿程阻力系數(shù)和水損關(guān)系式:

流量、流速和管徑關(guān)系式:

管徑、流速、雷諾數(shù)和流體的運動粘度系數(shù)關(guān)系式:

根據(jù)三個上述數(shù)學(xué)關(guān)系式，可建立起如圖1所示的約束關(guān)聯(lián)網(wǎng)。

圖1 均勻流管道中的約束關(guān)聯(lián)網(wǎng)

對于多種管線的綜合布置，涉及到的限制條件和約束因素很多，聯(lián)立各個約束變量組建起多個獨立的關(guān)系網(wǎng)，再利用其中的公共約束，建立起一系列相互聯(lián)系的約束關(guān)聯(lián)網(wǎng);通過已知約束變量和公共約束變量的調(diào)用可求解其他未知約束變量，從而對管網(wǎng)綜合布置方案進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

2 市政管網(wǎng)布置系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模

2.1 一般規(guī)定

在一個涉及復(fù)雜管線系統(tǒng)的城市綜合管網(wǎng)中，定義:管網(wǎng)集 A=［N，M］，其中，N 為管網(wǎng)的節(jié)點集，N=［1，2，…，n］;M 為管網(wǎng)的管段集，J=［1，2，…，m］;管網(wǎng)中的管線種類記作 S，S=［1，2，…，s］。管線段可以表示為 k(i，j)，且起點集合 O=［o1，o2，…，om］，終點集合 T=［t1，t2，…，tm］，ok是管線k的起點，tk是管線 k的終點;起始于節(jié)點 i的管線記作:MOi=［k︳ok=i］，終止于節(jié)點 j的管線記作:MTj=［k︳tk=j］。

2.2 流量約束

在城市綜合管網(wǎng)布置系統(tǒng)中，首先需要保證的是管網(wǎng)流量的連續(xù)性，即滿足管網(wǎng)各節(jié)點的流量平衡，對于內(nèi)部點，其流出量和流入量是相等的;對于始末點，其全部流量等于外部的凈輸出量;其次是滿足管網(wǎng)容量的約束條件［9］，即管段上的流量不能超過始點與末點的需求流量。令管網(wǎng)的始點為a，末點為 b，則流量約束的數(shù)學(xué)模型可描述為:

式中:αks為第s種管線段k上損失系數(shù);qks為第s種管線段k上的流量;vs為第s種管線始末點的外部流量;v0為第 s種管線始末點的需求流量。

2.3 路徑約束

對于一個待布置的綜合管網(wǎng)，管網(wǎng)中的任意兩點可能都存在多條布管路徑，從數(shù)學(xué)規(guī)劃的角度出發(fā)，我們通常尋求的最佳路徑是一條最短或最經(jīng)濟(jì)路徑，即求一條權(quán)值最小的路徑，同時該路徑必須滿足一定的約束限制;因此，在管網(wǎng)的路徑約束中可以定義一個權(quán)值系數(shù)，當(dāng)從節(jié)點 i到節(jié)點 j存在管線時定義為1，節(jié)點i到節(jié)點j之間不存在管線時則為0;此外，管網(wǎng)路徑需要滿足流向的約束限制［10］，管網(wǎng)布置的路徑約束如下:

式中:aij為管線(i，j)的權(quán)值系數(shù);

2.4 費用約束

管線布置在管網(wǎng)造價中占很大的比例，管網(wǎng)在敷設(shè)時既要考慮到管道的流量、管徑、埋深和管材，還要考慮到施工處的地方系數(shù)和分類管線系數(shù)。管網(wǎng)的費用可由管線上的相關(guān)約束來描述，某種管線的單位敷設(shè)費用可以看成是流量q、管徑D和埋深H的非線性函數(shù);此外，管線上的流量需滿足上、下限要求，即不能超過一定的容量。管網(wǎng)布置的費用約束為:

式中:cks為第s種管線段k的敷設(shè)費用;fks為第s種管線段k的費用函數(shù);qks為第s種管線段k的流量;hks為第s種管線段k的流量上限;

2.5 空間約束

市政管網(wǎng)是一個三維空間的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，各種管線的布置在一定程度上受到剖面空間的限制:一方面，管線布置形式、坡度、水平方向與垂直方向間距等都需要滿足工程規(guī)范的要求;另一方面，在敷設(shè)管網(wǎng)的城市地下空間內(nèi)，管線埋設(shè)深度太小，易遭地面荷載的破壞，其安全性無法得到保障;而埋設(shè)深度太大時又會增加管網(wǎng)的工程造價。因此，在進(jìn)行市政管網(wǎng)綜合布置時，既要從各種工程管線的技術(shù)規(guī)范著手，又要保證多種管線間不發(fā)生相互干涉［11］，經(jīng)濟(jì)布管。管網(wǎng)的空間約束為:

式中:A為管網(wǎng)空間剖面面積;int(·)為管網(wǎng)中某種管線集合的內(nèi)部;Ft，F(xiàn)s為第 t種管線和第 s種管線;dtsx為第 t和第s種管線的水平布置間距;dax為管線水平布置間距下限標(biāo)準(zhǔn);dbx為管線水平布置間距上限標(biāo)準(zhǔn);dtsy為第 t和第 s種管線的垂直布置間距;day為管線垂直布置間距下限標(biāo)準(zhǔn);dby為管線垂直布置間距上限標(biāo)準(zhǔn);Aa為單管線的最小剖面積;Ab為多管線的最大剖面積。

2.6 目標(biāo)函數(shù)

在管網(wǎng)的規(guī)劃時，我們的總體要求是工程技術(shù)可行，經(jīng)濟(jì)上合理。綜合上述流量約束、路徑約束、費用約束和空間約束四個關(guān)系式，管網(wǎng)布置模型的目標(biāo)函數(shù)可描述為:最大流量函數(shù)z1;最短路徑函數(shù)z2;最小費用函數(shù)z3和布管空間內(nèi)互不干涉的最小剖面積函數(shù)z4，問題的數(shù)學(xué)模型如下:

式中:lijs為節(jié)點 i到 j的第 s種管線長;cks為第 s種管線段k單位敷設(shè)費用;lks為第 s種管線段k上的管長;

α、β為地方系數(shù)和分類管線系數(shù);

其他參數(shù)意義同上。

為實現(xiàn)多種管線空間布置的最優(yōu)化問題，在約束變量滿足給定的限制條件下，根據(jù)約束間的聯(lián)系，列出上式的多目標(biāo)規(guī)劃模型:

則管網(wǎng)布置的目標(biāo)函數(shù)又可以表示為:

3 模型求解

對于多目標(biāo)規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型求解，通常的做法是將模型的多目標(biāo)分解為為多個單目標(biāo)，然后通過求解單目標(biāo)的最優(yōu)解最終實現(xiàn)多目標(biāo)的優(yōu)化問題。

分層排序法是一種常用的求解多目標(biāo)規(guī)劃問題的方法，該解法的基本思想［12］是:根據(jù)模型中各個目標(biāo)函數(shù)對問題的影響和重要程度將其重新排序，求解第一重要級別目標(biāo)函數(shù);然后，在第一級目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解集中，尋找第二重要級別目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解集;如此往復(fù)向后一級推算，直到求解到最后一級別目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解或近似最優(yōu)解，此解即作為整個多目標(biāo)規(guī)劃問題的最優(yōu)解。對于市政管網(wǎng)綜合布置的多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，涉及到流量和管長等多個自變量，這些自變量分別存在于多種不同時點上，約束范圍也不同，通過約束關(guān)聯(lián)網(wǎng)，可以將多個具有差異的約束變量及其函數(shù)最優(yōu)解聯(lián)系起來，建立起約束關(guān)系，從而為下一級單目標(biāo)函數(shù)的求解提供取值范圍。

管網(wǎng)布置系統(tǒng)的多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型用下式表示:

利用分層排序法對此規(guī)劃模型進(jìn)行求解，并將模型中的目標(biāo)函數(shù)f1(x)、f2(x)、f3(x)和 f4(x)按流量約束、路徑約束、費用約束和空間約束的重要程度進(jìn)行排序，設(shè)第一重要級別目標(biāo)函數(shù)f1(x)的最優(yōu)解為f1*，則:

再在第一級函數(shù)最優(yōu)解中求第二級目標(biāo)的最優(yōu)解，在求解的過程中，根據(jù)約束關(guān)聯(lián)網(wǎng)，聯(lián)立兩個目標(biāo)函數(shù)間的約束關(guān)系，尋求公共約束變量，同時，結(jié)合各個關(guān)聯(lián)網(wǎng)自身的約束條件和已求解的值進(jìn)行下一級函數(shù)的求解。f2(x)的最優(yōu)解為:

同理可以求出f3(x)的最優(yōu)解 f3*;f4(x)的最優(yōu)解是聯(lián)立前面三個函數(shù)的約束關(guān)聯(lián)網(wǎng)和約束解求得的，設(shè)其值為f4*，問題的模型為:

在滿足前面三級目標(biāo)函數(shù)的約束限制下，求得第四個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解記作x*，則x*便是管網(wǎng)綜合布置系統(tǒng)多目標(biāo)規(guī)劃模型的最優(yōu)解;這里的x*可以是流量或管徑等多個變量的最優(yōu)值，這樣便可實現(xiàn)對市政管線綜合布置系統(tǒng)的多目標(biāo)規(guī)劃模型求解。

4 結(jié)論

城市地下是一個有限的資源空間，本文正是從如何有效的利用城市地下空間，更合理的規(guī)劃布置城市綜合管線這個問題著手研究，并得出如下結(jié)論:

1)影響管線系統(tǒng)空間布局問題的約束因素主要有:管線順序約束、管線幾何約束、管線位置約束、管線屬性約束和管線干涉約束等。各種約束之間相互關(guān)聯(lián)形成一系列的約束關(guān)聯(lián)網(wǎng)，通過已知約束變量和公共約束變量可確定其他未知約束變量，從而有助于對布管方案的設(shè)計求解。

2)在對市政管線綜合布置系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模時，從管網(wǎng)布置的流量約束、路徑約束、費用約束和空間約束方面考慮，構(gòu)建了一個多目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，并利用分層排序法對布管模型進(jìn)行求解。

3)文章給出了管網(wǎng)規(guī)劃布置數(shù)學(xué)模型的解法，但如何結(jié)合具體的工程實踐進(jìn)行設(shè)計求解;此外，如何從數(shù)字化的角度對城市綜合管網(wǎng)進(jìn)行建庫管理、查詢和分析等，這些都有待于進(jìn)一步的研究和探討。

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TU990.3

B

1004-1184(2012)05-0155-03

2012-05-02

六安市定向委托皖西學(xué)院市級研究項目(2011LW005)

楊杰(1983-)，男，安徽合肥人，碩士，助教，主要研究方向為城市給排水工程與技術(shù)。