胡慶雷，翟艷霞，霍 星，2

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，150001哈爾濱;2.渤海大學(xué)工學(xué)院，121013遼寧 錦州)

隨著空間技術(shù)的發(fā)展，空間機(jī)器人技術(shù)得到廣泛的應(yīng)用.質(zhì)量輕、成本低、大范圍的柔性空間機(jī)器人成為了現(xiàn)代空間技術(shù)的迫切需求［1-5］.在空間機(jī)器人操作時，為了節(jié)省燃料，通常關(guān)閉航天器本體姿態(tài)控制器，使其處于自由漂浮狀態(tài)［6］.然而，柔性空間機(jī)器人在運(yùn)動和操作時會產(chǎn)生扭曲、彈性、剪切等變形，這將影響空間機(jī)器人的穩(wěn)定性和控制精度.同時，由于空間機(jī)器人存在剛性與柔性的耦合，使得描述該系統(tǒng)的運(yùn)動變得很復(fù)雜.因此，研究柔性空間機(jī)器人的動力學(xué)分析及控制十分必要.

許多學(xué)者對柔性機(jī)器人控制問題做出了研究.采用奇異攝動方法，文獻(xiàn)［7］將柔性機(jī)器人的系統(tǒng)分離為剛性與柔性兩部分，并進(jìn)而對其動力學(xué)控制問題展開深入研究.考慮到存在參數(shù)不確定性，文獻(xiàn)［8］提出一種增廣自適應(yīng)控制方法來解決空間機(jī)器人的控制問題.針對自由漂浮柔性空間機(jī)械臂末端跟蹤控制問題，Green在文獻(xiàn)［9］中提出了一類自適應(yīng)模糊控制方法，并采用仿真方法驗證了所提方法的有效性.此外，文獻(xiàn)［10-15］針對剛性空間機(jī)器人的軌跡跟蹤控制問題也展開了一些相關(guān)的研究.然而，盡管在上述的研究成果中針對于剛性機(jī)器人給出了可行的控制方案，但是對于柔性空間機(jī)器人的控制，目前研究成果相對較少，尤其是考慮柔性振動、欠驅(qū)動及存在系統(tǒng)載體姿態(tài)干擾的自由漂浮柔性空間機(jī)器人軌跡跟蹤控制研究比較欠缺.在這方面，文獻(xiàn)［14］采用變結(jié)構(gòu)控制方法在自由漂浮柔性空間機(jī)器人軌跡跟蹤控制方面也展開初步的研究與探討.

為此，本文在上述研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，對存在載體姿態(tài)干擾的自由漂浮柔性空間機(jī)器人系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)柔性振動及欠驅(qū)動問題，提出一種非奇異終端滑模控制方案，以期實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)關(guān)節(jié)空間的軌跡跟蹤控制.該方案采用自適應(yīng)控制技術(shù)在線學(xué)習(xí)系統(tǒng)干擾參數(shù);同時加入條件積分改進(jìn)了終端滑模面，以消除干擾帶來的穩(wěn)態(tài)誤差.Lyapunov穩(wěn)定性法分析證明了該控制器能夠使軌跡跟蹤誤差收斂到零.最后，仿真結(jié)果表明該方案能夠?qū)崿F(xiàn)對期望軌跡的跟蹤.

1 數(shù)學(xué)模型

設(shè)自由漂浮柔性空間機(jī)器人系統(tǒng)由自由漂浮的剛性載體B0和柔性機(jī)械臂B1、B2組成，如圖1所示.系統(tǒng)處于微重力環(huán)境中，忽略重力影響;柔性桿為均勻細(xì)長桿，忽略軸向變形和剪切變形，視為Euler-Bernoulli梁［6，14］.建立各個分體Bi的連體坐標(biāo)系Oixiyi，i=0，1，2及慣性坐標(biāo)系OXY.

圖1 自由漂浮柔性空間機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型

根據(jù)拉格蘭日法與假設(shè)模態(tài)法，經(jīng)過推導(dǎo)可以得到的系統(tǒng)動力學(xué)方程［7-10，16］:

其中:q=［xsysθ0θ1θ2q1q2］T為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，xs、ys、θ0為系統(tǒng)載體位置和姿態(tài)，θ1、θ2分別為關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)角，q1、q2為模態(tài)坐標(biāo);M(q)為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣;C(q，q)為包含各種摩擦力的參數(shù)矩陣;K=diag(0，k1，k2)為剛度矩陣，其中振動模態(tài)φ(xi)=sin(π/li)xi

2 動力學(xué)分析

自由漂浮柔性空間機(jī)器人系統(tǒng)剛性運(yùn)動與柔性振動相互耦合，同時機(jī)械臂操作期間系統(tǒng)載體的位置和姿態(tài)是不受控的，方程(1)是高度非線性、非完整約束、欠驅(qū)動的.

設(shè)集中力

其中fx、fy分別為作用于系統(tǒng)載體水平方向和垂直方向的控制推力;τ0為作用于載體的外部轉(zhuǎn)矩;τ1、τ2為作用于連桿關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩;f1、f2為作用于柔性連桿上主動振動控制力.由于系統(tǒng)載體位置、姿態(tài)不受控

設(shè)q=［qTrqTe］T表示剛形體位移矢量，其中qr=［qTpqTa］T，qp=［xsysθ0］T，qa=［θ1θ2］T;而qe=［q1q2］T為柔性變形位移矢量.根據(jù)文獻(xiàn)［14］可得

由于Mpp可逆，方程(3)變形代入方程(4)，整理化簡可得

其中:

對于自由漂浮柔性空間機(jī)器人系統(tǒng)，方程(5)將柔性振動作為系統(tǒng)擾動的一部分，并且將欠驅(qū)動問題轉(zhuǎn)換為全驅(qū)動問題.本文將通過方程(5)設(shè)計控制算法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)軌跡跟蹤.

3 控制器設(shè)計

在簡化動力學(xué)模型(5)的基礎(chǔ)上，假設(shè)期望的軌跡為qad=θd，則其相應(yīng)的跟蹤誤差定義為e=qa-qad.由方程(5)可知

選取如下非線性滑模面［17-23］:

其中β=diag(β1，β2)，并且βi＞0(i=1，2);p和q均為奇數(shù)，且0＜q＜p＜2q.

注1 對向量z∈Rn×1，定義

根據(jù)等效控制設(shè)計方法，控制律形式可描述為

其中τeq為等效控制作用，τsw為切換控制作用.

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入滑模面上后，即滿足s=0與=0.由此，可以確定等效控制

為確定切換控制作用保證滑動模態(tài)的存在，考慮系統(tǒng)擾動項，設(shè)系統(tǒng)擾動項d=M-1ada.

假設(shè)1系統(tǒng)擾動d(t)有界，且滿足下列不等式:

其中D為未知的干擾界.

對于未知常數(shù)D的選取，本文給出一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)的方法［22］來實(shí)時在線對其估計.因此，設(shè)計如下非線性控制部分:

其中k＞0，D為D的估計.為了避免外部干擾對D影響，給出如下改進(jìn)型自適應(yīng)學(xué)習(xí)律［22］:

式中:γ為自適應(yīng)因子;μ(t)=-rμ(t)，且r＞0，μ(0)＞0.

定理1考慮系統(tǒng)(6)且滿足假設(shè)1.如果選取滑模面(7)，并采用給出的控制律(8)以及參數(shù)自適應(yīng)律(9)，則系統(tǒng)在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面s(t)=0，也即系統(tǒng)滿足有限時間穩(wěn)定.

證明考慮如下Lyapunov函數(shù):

將式(8)、(9)代入式(11)可得

由μ(t)=-rμ(t)可知，

由此，當(dāng)s(0)≠0時，考慮到p、q為奇數(shù)，且1＜p/q＜2，可得p/q-1≥0，也即≤0，系統(tǒng)是有限時間穩(wěn)定，并且滿足s(t)=0.

此外，當(dāng)s=0滿足后，系統(tǒng)(6)可改寫為e+，同時可得有限收斂時間ts為［17，21-22］

此外，為了減小滑?？刂频亩墩?，采用飽和函數(shù)sat(s/φ)來替代符號函數(shù)sgn(s)，即

其中φ＞0為邊界層厚度［24］.控制律τa=τeq+τsw有

為了避免積分飽和問題［25-28］，給出如下改進(jìn)的滑模面:

其中α=diag［α1，α2］，αi＞0(i=1，2)，并且參數(shù)α、β選取使得多項式s2+β-1is+αi(i=1，2)為Hurwitz多項式;σ滿足

定義增廣誤差ea?e+β-1p/q，顯然，在邊界層外，也即‖s‖≥φ，式(15)可改寫為σ=-ασ+φsgn(s);在邊界層內(nèi)，也即‖s‖≤φ，式(15)改寫為σ=e+β-1p/q=ea.由此，可有如下結(jié)論:

定理2考慮系統(tǒng)(6)，滿足假設(shè)1并選取滑模面(14).如果采用控制律(13)與參數(shù)自適應(yīng)律(9)，則閉環(huán)系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的.

證明基于上面的分析，該證明將分兩種情況展開討論:

2)對s求導(dǎo)，可得

如果選取Lyapunov函數(shù)(10)，并對其求導(dǎo)可得

當(dāng)‖s‖≥φ時，sat(s/φ)=sgn(s);由(1)知‖sat(s/φ)‖≤1，‖σ‖≤φ/‖α‖，可得

由式(12)，且當(dāng)s≠0時ep/q-1＞0可知

當(dāng)‖s‖≤φ時，sat(s/φ)=s/φ，=ea=e+β-1p/q;由于積分的存在，當(dāng)t→∞將使得ea=0，進(jìn)而e=0.至此定理得證.

4 仿真比較與分析

采用文獻(xiàn)［9］給出的柔性空間機(jī)器人系統(tǒng)物理參數(shù)m0=600 kg，b0=3.0 m，m1=m2=1.507 5 kg，l1=l2=4.5 m和FEI1=FEI2=1 676 N·m2進(jìn)行仿真驗證.假設(shè)期望軌跡與初始值分別為

此外，在仿真研究中，假設(shè)系統(tǒng)控制力矩輸入限制在｜τi｜≤10 N·m，i=1，2，并且相應(yīng)的控制器參數(shù)選取為β=diag(0.5，1)，α=diag(15，18)，q=7，p=9，k=2，φ=0.05;γ=10，r=5和μ(t)=e-5t.

4.1 無載體干擾的仿真結(jié)果

在這種情況下，分兩種情況:采用滑模面(7)的控制器(8)與采用滑模面(14)的控制器(19)進(jìn)行仿真，并進(jìn)一步與傳統(tǒng)的PID控制仿真進(jìn)行比較.仿真結(jié)果如圖2～5所示.從仿真圖中可知，系統(tǒng)在PID控制及本文設(shè)計控制器輸入力矩在相同限制條件下，均能跟蹤期望關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角;顯然本文設(shè)計的控制器關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差更小，跟蹤精度更高;同時，控制作用只是引起微小的柔性模態(tài)振動.

4.2 載體干擾下的仿真結(jié)果

在上述相同的控制參數(shù)與仿真初始條件下，假設(shè)在仿真時間t=30 s處，突然加入載體干擾力矩τf=［0010］T(N·m)，其相應(yīng)的仿真結(jié)果如圖6所示.仿真結(jié)果表明:在存在載體姿態(tài)干擾的情況下，選取滑模面(14)的控制器(19)穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差更小，相對于選取終端滑模(7)的控制器(8)跟蹤精度很高.

圖2 輸入控制轉(zhuǎn)矩

圖3 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差曲線

圖4 關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角曲線

圖5 柔性模態(tài)振動曲線

圖6 載體姿態(tài)干擾條件下的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差曲線

5 結(jié)論

針對平面運(yùn)動雙連桿自由漂浮柔性空間機(jī)器人軌跡跟蹤控制問題，本文設(shè)計了一種較為簡單的控制終端滑模控制策略，能夠在載體姿態(tài)干擾條件下跟蹤關(guān)節(jié)期望軌跡，解決了帶有柔性振動擾動的欠驅(qū)動空間機(jī)器人系統(tǒng)軌跡跟蹤控制問題.最后，數(shù)值仿真研究結(jié)果表明所提出的控制方法能夠很好的實(shí)現(xiàn)跟蹤目標(biāo)，且具有良好的魯棒性和工程應(yīng)用的潛在能力.

［1］TIAN Fu-yang，WU Hong-tao，SUN Hong-li.Efficient numerical integration method for dynamic of flexible space robots system［C］//2009 International Asia Conference on Informatics in Control，Automation，and Robotics.Bangkok:CAR，2009:102-106.

［2］YU Zhi-fu，YU Yong-bo，SHANG De-yong，et al.On orbit servicing flexible space robots dynamics and control during capturing target［C］//2010 International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation.Changsha:ICMTMA，2010:817-820.

［3］KIRAN G S，KUMAR A，PATHAK P M，et al.Trajectory control of flexible space robot［C］//Proceedings of 2008 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation.Takamatsu:ICMA，2008:738-743.

［4］ZHAO Hong-chao，CHEN De-qang.Optimal motion planning for flexible space robots［C］//Proceedings-IEEE International Conference on Robotics and Automation.Piscataway:IEEE，1996:393-398.

［5］丁希侖，王樹國.空間機(jī)器人柔性臂的動力學(xué)軌跡跟蹤控制［J］.機(jī)器人，1997，19(4):256-258.

［6］MUROTSU Y，TSUJIO S，SENDA K，et al.Trajectory control of flexible manipulators on a free-flying space robot［J］.IEEE，1992，12(3):51-57.

［7］王從慶，張承龍.自由浮動柔性雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的動力學(xué)控制［J］.機(jī)械工程學(xué)報，2007，43(10):196-200.

［8］洪昭斌，陳力.漂浮基柔性空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動的擬增廣自適應(yīng)控制及柔性振動實(shí)時主動抑制［J］.振動與沖擊，2010，29(1):200-206，247.

［9］GREEN A，SASIADEK J Z.Intelligent tracking control of a free-flying flexible space robot manipulator［C］//Collection of Technical Papers-AIAA Guidance，Navigation，and Control Conference 2007.Hilton Head:American Institute of Aeronautics and Astronautics，2007:132-156.

［10］CHU Ming，JIA Qing-xuan，SUN Han-xu.Global terminal sliding mode robust control for trajectory tracking and vibration suppression of two-link flexible space manipulator［C］//Proceedings of the 2009 IEEE International Conference on Intelligent Computing and Intelligent Systems.Shanghai:ICIS，2009:353-357.

［11］CHEN Wei，YU Yue-qing，ZHAO Xin-hua，et al.Dynamic control of the underactuated flexible robot in the operational space［C］//2009 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation.Changchun:ICMA，2009:3223-3228.

［12］CAO Wen-jun，XU Jian-xin.Dynamic modeling and adaptive VSC of two-link flexible manipulators using a hybrid sliding surface［C］//Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control.Piscataway:IEEE，2000:5143-5148.

［13］WANG Yan-min，F(xiàn)ENG Yong，YU Xing-huo.Fuzzy terminal sliding mode control of two-link flexible manipulators［C］//Proceedings of the 34th Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society.Orlando:IECON，2008:1620-1625.

［14］翟艷霞，自由漂浮柔性空間機(jī)器人軌跡跟蹤控制研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2011:1-16.

［15］陳志勇，陳力.柔性空間機(jī)械臂振動抑制的模糊終端滑?？刂疲跩］.振動、測試與診斷，2010，30(5):481-486，592.

［16］CHEN Y，MEIROVITCH L.Control of a flexible space robot executing a docking maneuver［C］//Advances in the Astronautical Sciences.Reston，VA:AIAA，1993:756-766.

［17］FENG Yong，YU Xing-huo，MAN Zhi-hong.Non-singular terminal sliding mode control of rigid manipulators［J］.Automatica，2002，38(12):2159-2167.

［18］馮勇，鮑晟，余星火.非奇異終端滑?？刂葡到y(tǒng)的設(shè)計方法［J］.控制與決策，2002，17(2):194-198.

［19］胡劍波，時滿宏，莊開宇，等.一類非線性系統(tǒng)的Terminal滑?？刂疲跩］.控制理論與應(yīng)用，2005，22(3):495-498，502.

［20］趙文杰.不確定非線性系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制研究［D］.保定:華北電力大學(xué)，2005:12-16.

［21］王艷敏.柔性機(jī)械手非奇異終端滑模控制方法的研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2009:9-15.

［22］LIU Shuang，MA Cai-wen，LUO Cui-hua，et al.Adaptive control of free-floating space robot with disturbance based on robust fuzzy compensator［C］//Proceedings of the 2nd International Conference on Intelligent Human-Machine Systems and Cybernetics.Nanjing:IHMSC，2010:23-28.

［23］顏閩秀.幾類控制系統(tǒng)的若干滑?？刂茊栴}研究及應(yīng)用［D］.沈陽:東北大學(xué)，2008:3-15.

［24］胡慶雷.撓性航天器姿態(tài)機(jī)動的主動振動控制［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2006:99-102.

［25］李軍紅，李蘭君，陽武嬌.采用可變邊界層法削弱一類非線性變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的抖振［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2008，28(9):1084-1091.

［26］SINGH A，KHALIL H K.Regulation of nonlinear systems using conditional integrators［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2005，15(8):339-362.

［27］SINGH A，KHALIL H K.State feedback regulation of nonlinear systems using conditional integrators［C］//Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control.Nassau:CDC，2004:4560-4564.

［28］SESHAGIRI S，KHALIL H K.Robust output feedback regulation of minimum-phase nonlinear systems using conditional integrators［J］.Automatica，2005，41(1):43-54.