☉河北省懷安縣世恩中學(xué) 溫海蕓

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，隨著新課程的實施與深入開展，數(shù)學(xué)題型越來越新穎、多樣，如果因循守舊，僅用一些傳統(tǒng)題型或固定模式進行解決是無法在中考中出奇制勝的，我們只有在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中理解數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)，平時注意數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用，我們才能夠在中考中出奇制勝.

一、方程思想

所謂方程思想就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當設(shè)定未知數(shù)，把已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）模型，從而使問題得到解決的思維方法.方程知識是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，理解方程思想并應(yīng)用于解題當中十分重要.

例1 在一次課題學(xué)習(xí)課上，同學(xué)們?yōu)榻淌掖皯粼O(shè)計一個遮陽篷，小明同學(xué)繪制的設(shè)計圖如圖1所示，其中，AB表示窗戶，且AB=2米，BCD表示直角遮陽篷，已知當?shù)匾荒曛性谖鐣r的太陽光與水平線CD的最小夾角α為18.6°，最大夾角β為64.5°.

請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明同學(xué)計算出遮陽篷中CD的長是多少米？（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sin18.6°=0.32，tan18.6°=0.34，sin64.5°=0.90，tan64.5°=2.1）

解：設(shè)CD的長為x米，在Rt△BCD中，∠BDC=α=18.6°.由tan所以BC=CD·tan∠BDC=0.34x.在Rt△ACD中，∠ADC＝β=64.5°，所以AC=CD·tan∠ADC=2.1x.由AB=AC-CD，所以2=2.1x-0.34x.所以x≈1.1.

答：遮陽篷中CD的長是1.1米.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，每個幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系常常又可以通過圖形的直觀性作出形象的描述.數(shù)形結(jié)合思想即是把代數(shù)、幾何知識相互轉(zhuǎn)化的一種解題思想.在一元一次不等式（組）中，用數(shù)軸表示不等式的解集就是數(shù)形結(jié)合的具體體現(xiàn).

分析：欲求不等式組的自然數(shù)解，一般思路是先求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出來，從而進一步求出問題的答案.

解不等式4x－6≥7x－15，得x≤3.所以，原不等式組的解集是其解集在數(shù)軸上表示如圖2所示，所以其自然數(shù)解為0、1、2.

圖2

三、分類討論思想

分類討論思想就是針對數(shù)學(xué)對象的共性與差異性，將其區(qū)分為不同種類，從而克服思維的片面性，有效地考查學(xué)生思維的全面性與嚴謹性.要做到成功分類，需注意兩點：一是要有分類意識，善于從問題的情境中抓住分類對象；二是找出科學(xué)合理的分類標準，滿足不重不漏的原則.

例3 等腰三角形的周長為16，其中一條邊的長是6，求另兩條邊的長.

分析：由于已知的“一條邊的長是6”，未告知是腰長，還是底邊長，所以應(yīng)分類討論求解.

解：（1）當腰長為6時，該等腰三角形的另兩邊：一條邊為腰，長為6，另一條邊為底邊，長為16-6-6=4，即另兩邊分別為6和4；（2）當?shù)走呴L為6時，該等腰三角形的另兩邊都是腰，其長為（16-6）÷2=5，即另兩邊長為5、5.

四、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)問題的一種重要的思維方法.轉(zhuǎn)化思想是分析問題和解決問題的一個重要的基本思想，就解題的本質(zhì)而言，解題就意味著轉(zhuǎn)化，即是把“新知識”轉(zhuǎn)化為“舊知識”，把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”，把“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”，把“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟悉”，把“抽象”轉(zhuǎn)化為“具體”，把“一般”轉(zhuǎn)化為“特殊”，把“高次”轉(zhuǎn)化為“低次”，把一個綜合問題轉(zhuǎn)化為幾個基本問題，把順向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維等.

例4 一個用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長為10cm.母線OE（OF）長為10cm.在母線OF上的點A處有一塊爆米花殘渣，且FA=2cm，一只螞蟻從杯口的點E處沿圓錐表面爬行到A點.則此螞蟻爬行的最短距離為______cm.

分析：要計算螞蟻在一個圓錐側(cè)面的最短距離，我們一般是先將圓錐側(cè)面展開，利用“兩點之間，線段最短”來找出最短的路線，然后根據(jù)勾股定理，在一個直角三角形中求出這個最短的距離.

圖3

五、整體思想

研究某些數(shù)學(xué)問題時，往往不是以問題的某個組成部分為著眼點，而是有意識地放大考查問題的視角，將要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或作整體處理后，達到順利而又簡捷地解決問題的目的，這就是整體思想.

例5 已知某個三角形的周長為18cm，其中兩條邊的長度和等于第三條邊長度的2倍，而它們的差等于第三條邊長度的求這個三角形的三邊長.

分析：三角形有三條邊，題目中有三個條件，此題需設(shè)三角形的三邊為未知數(shù)，列方程組解答.

解：設(shè)三角形的三邊長分別為a、b、c，（a>b），則依題意得：

將（2）整體代入（1），得2c+c=18，解得c=6.

再將c=6代入（2）（3）得：

因此，所求三角形的三邊長為7、5、6.

除此之外，初中數(shù)學(xué)階段也經(jīng)常用到函數(shù)思想、建模思想以及待定系數(shù)法，它們在解決特定的問題時往往能起到事半功倍的效果.《數(shù)學(xué)課程標準》在課程目標中也明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必須的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能.”由此可見，掌握一定的數(shù)學(xué)思想和方法遠比掌握一般的數(shù)學(xué)知識有用的多.