王建宏， 朱永紅， 肖 絢， 唐得志

(1.景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院機電學(xué)院，江西景德鎮(zhèn) 333403; 2.南京航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，南京 210016)

0 引言

傳統(tǒng)的最優(yōu)控制包含有限時域和無限時域，通常反饋控制系統(tǒng)應(yīng)該運行于充分長的時間周期中，如電力系統(tǒng)和化學(xué)過程。在這些實時過程中，不能采用有限時域最優(yōu)控制而應(yīng)使用無限時域最優(yōu)控制。為此基于最優(yōu)控制理論，提出了一種新穎的控制策略——滾動時域控制(RHC)。RHC的理論思路為［1］:假設(shè)在當(dāng)前時刻可獲得一個最優(yōu)控制序列，可能是在一個有限固定時域中的閉環(huán)形式或開環(huán)形式。在整個固定時域的最優(yōu)控制系列中，僅取序列中的第一個元素作為當(dāng)前時刻的控制率。當(dāng)狀態(tài)空間形式中的狀態(tài)可獲得時，RHC通常利用狀態(tài)反饋控制來表示。然而系統(tǒng)的全狀態(tài)信息并不能獲得，因為對所有狀態(tài)的觀測或估計是不可能的，同時也是非常耗費精力和物力的。

在系統(tǒng)辨識和控制器設(shè)計過程中經(jīng)常對一目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化運算得到未知參數(shù)估計值，其優(yōu)化的計算過程較多地采用牛頓法、擬牛頓法、高斯法和共軛梯度法［2］。根據(jù)具體的模型結(jié)構(gòu)及優(yōu)化函數(shù)表達(dá)式，可對上述方法進(jìn)行改進(jìn)，以使得優(yōu)化算法較快地收斂到全局最優(yōu)值。

1 滾動時域控制基本原理

滾動時域控制在每一采樣離散時刻，用系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)作為初始條件，在線求解一個有限時域開環(huán)最優(yōu)控制問題，得到最優(yōu)控制序列［3］。并在該時刻，僅取最優(yōu)控制序列過程中的第一個控制信號實際作用到系統(tǒng)中。在下一采樣時刻，重復(fù)以上過程，此過稱隨著時間的推進(jìn)反復(fù)滾動進(jìn)行。對于含狀態(tài)約束以及輸入約束等限制條件的系統(tǒng)，滾動時域控制是一種有效的控制方法。滾動時域預(yù)測控制的基本原理可概括為以下3點:預(yù)測模型、滾動優(yōu)化和反饋校正。這3點的組合是預(yù)測控制區(qū)別于其他控制方法的基本特征，同時也是預(yù)測控制在實際工程應(yīng)用中取得成功的技術(shù)關(guān)鍵。其通用的結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中，M為輸入的控制過程。

圖1 滾動時域預(yù)測控制的基本結(jié)構(gòu)Fig.1 The basic structure of RHC

1.1 預(yù)測模型

預(yù)測模型的功能是根據(jù)對象的歷史信息和未來輸入來預(yù)測其未來輸出的，因此狀態(tài)方程、傳遞函數(shù)這類傳統(tǒng)的模型都可以作為預(yù)測模型［4］。對于線性穩(wěn)定對象，甚至階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)這類非參數(shù)模型，也可直接作為預(yù)測模型使用。此外，非線性系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)的模型，只要具備上述功能，也可在對這類系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測控制時作為預(yù)測模型使用。

預(yù)測模型具有顯示系統(tǒng)未來動態(tài)行為的功能，對于不同的控制策略可用預(yù)測模型計算出不同的輸出預(yù)測軌跡，從而作為選擇最優(yōu)控制策略使系統(tǒng)某個性能指標(biāo)優(yōu)化的基礎(chǔ)。

1.2 滾動優(yōu)化

預(yù)測控制是一種基于優(yōu)化的控制算法，它是通過某一性能指標(biāo)的最優(yōu)來確定未來的控制作用［5］。這一性能指標(biāo)涉及到系統(tǒng)未來的行為，例如，通?？扇ο筝敵鲈谖磥淼牟蓸狱c上跟蹤某一期望軌跡的方差為最小;但也可取更廣泛的形式，例如要求控制能量為最小而保持輸出在某一給定范圍內(nèi)等。性能指標(biāo)中涉及到的系統(tǒng)未來的行為，是根據(jù)預(yù)測模型由未來的控制策略決定的。

需要強調(diào)的是，預(yù)測控制中的優(yōu)化與傳統(tǒng)意義下的離散最優(yōu)控制有很大的差別，這主要表現(xiàn)在預(yù)測控制中的優(yōu)化通常是一種有限時段的滾動優(yōu)化。在每一采樣時刻，優(yōu)化性能指標(biāo)只涉及到從該時刻起到未來有限的時間內(nèi)，而到下一采樣時刻，這一優(yōu)化時段向前推移一個時刻點。因此，預(yù)測控制不是用一個對全局相同的優(yōu)化性能指標(biāo)，而是在每一時刻有一個相對該時刻的優(yōu)化性能指標(biāo)。不同時刻優(yōu)化性能指標(biāo)的相對形式是相同的，但其絕對形式是不同的。因此在預(yù)測控制中，優(yōu)化不是一次離線進(jìn)行的，而是反復(fù)在線進(jìn)行的，這就是滾動優(yōu)化的含義，也是預(yù)測控制區(qū)別于傳統(tǒng)最優(yōu)控制的根本點。滾動優(yōu)化過程如圖2所示。

圖2 滾動時域優(yōu)化原理Fig.2 The principle of RHC optimization

1.3 反饋校正

預(yù)測控制是一種閉環(huán)控制算法。在通過最優(yōu)確定了一系列未來的控制作用后，為了防止模型失配或環(huán)境干擾引起控制對理想狀態(tài)的偏離，預(yù)測控制只實現(xiàn)當(dāng)前時刻的控制作用。到下一采樣時刻，首先檢測對象的實際輸出，并利用這一實時信息對基于模型的預(yù)測控制進(jìn)行修正，然后再進(jìn)行新的優(yōu)化。

反饋校正的形式可以在保持預(yù)測模型不變的基礎(chǔ)上，對未來的誤差做出預(yù)測并加以補償，也可以根據(jù)在線辨識的原理直接修改預(yù)測模型。預(yù)測控制都把優(yōu)化建立在系統(tǒng)實際的基礎(chǔ)上，并力圖在優(yōu)化時對系統(tǒng)未來的動態(tài)行為做出比較準(zhǔn)確的預(yù)測。因此，預(yù)測控制中的優(yōu)化不僅基于模型，而且利用了反饋信息，因而構(gòu)成了閉環(huán)優(yōu)化［5－6］。

本文以研究非線性系統(tǒng)的滾動時域控制是否存在最優(yōu)解進(jìn)行展開分析，利用凸優(yōu)化理論中的基本知識分別推導(dǎo)出此最優(yōu)化問題在無和有集合約束條件下存在最優(yōu)解的充要條件，并將此充要條件與經(jīng)典優(yōu)化理論中現(xiàn)有的FJ最優(yōu)條件進(jìn)行對比，得出該充要條件的優(yōu)勢。

2 基于凸優(yōu)化的最優(yōu)解判定準(zhǔn)則

利用凸優(yōu)化理論中的拉格朗日乘子和最優(yōu)性的KKT［7］(Karush－Kuhn－Tucker)或 FJ(Fritz John)來考慮非線性系統(tǒng)滾動時域控制的最優(yōu)解存在問題的充要條件。

2.1 非線性系統(tǒng)中優(yōu)化問題的描述

考慮如下的非線性模型

式中:f:Rn×Rm→Rn，為一給定的非線性函數(shù);x∈Rn，為系統(tǒng)的狀態(tài);u∈Rm，為系統(tǒng)的控制輸入;i為系統(tǒng)的初始時刻。在優(yōu)化問題中，式(1)通常稱為等式約束。同樣，可增加關(guān)于對系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)控制輸入的約束條件，此類約束條件通常是以集合約束的形式出現(xiàn)。

式中:U?Rm，X?Rn，Xf?Rn稱為對應(yīng)的集合;N 為優(yōu)化時域水平。通常取U為緊集，X和Xf均為閉集。非線性系統(tǒng)的滾動時域控制可歸納為如下的最優(yōu)化問題

式中:{xk}={xi，…，xi+N}，{uk}={ui，…，ui+N－1}分別稱為狀態(tài)和控制輸入序列;VN({xk}，{uk})為優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)

式中:F(xi+N)為關(guān)于終端狀態(tài)的加權(quán)項;L(xk，uk)為關(guān)于中間狀態(tài)和控制輸入的連續(xù)函數(shù)。此處用一般形式來表示F和L，而不采用二次式的特殊形式。從式(4)中可知:約束條件有兩種，一種為等式約束，另一種為集合約束，而集合約束可轉(zhuǎn)化為一簇線性矩陣不等式。

2.2 無集合約束時的最優(yōu)性條件

假設(shè)目標(biāo)函數(shù)和狀態(tài)方程不顯式地依賴時間(即各個表達(dá)式不是關(guān)于時間的顯函數(shù)，時間以隱函數(shù)的形式出現(xiàn)在表達(dá)式中)。令初始時刻i=0，在無集合約束時的最優(yōu)化問題為

式中，{xk}={x0，…，xN}，{uk}={u0，…，uN－1}，f:Rn×Rm→Rn，L:Rn×Rm→R 為關(guān)于各自變量的可微函數(shù)。為了利用最優(yōu)化理論中的FJ和KKT最優(yōu)充要條件來推導(dǎo)式(5)的最優(yōu)狀態(tài)}和最優(yōu)控制輸入，定義一新的變量

矢量x中包含了最優(yōu)化問題中所有的優(yōu)化變量，利用定義的優(yōu)化矢量x可將式(5)中的狀態(tài)方程合并為一個(N+1)n階的矩陣約束

根據(jù) xk，uk和 f(xk，uk)的維數(shù)可令

定義一階的雅可比矩陣為

根據(jù)h(x)的構(gòu)造方法，可計算矢量值函數(shù)h(x)的(N+1)n×［(N+1)n+Nm］階的雅可比矩陣為

對于初始狀態(tài)約束方程引入拉格朗日乘子λ－1∈Rn，而對于狀態(tài)方程也引入拉格朗日乘子 λk，{λk}={λ0… λN－1}，λk∈Rn，構(gòu)造實值的拉格朗日函數(shù)為［8］

在計算偏導(dǎo)之前，引入一個哈密爾頓函數(shù)H:Rn×Rm×Rn→R 為

式中:L(xk，uk)為目標(biāo)函數(shù)中的各步加權(quán);f(xk，uk)為狀態(tài)方程右邊的矢量值函數(shù)。因

式中，k=0，1，…，N －1。

由式(16)可得，無集合約束最優(yōu)化問題存在最優(yōu)解的充要條件，為定理1。

定理1在無集合約束下的式(5)中，最優(yōu)序列，和存在的充要條件為存在一個最優(yōu)拉格朗日乘子矢量使得以下各式成立。

1)狀態(tài)方程。

2)伴隨方程。

3)邊界條件。

4)哈密爾頓條件。

2.3 集合約束時的最優(yōu)性條件

集合約束下的最優(yōu)化問題可歸納為

同樣有{xk}={x0，…，xN}，x∈Rn;{uk}={u0，…，uN－1}，u∈Rm分別為狀態(tài)和控制序列;U為關(guān)于控制輸入的給定約束集;hN:Rn→Rl為關(guān)于終端狀態(tài)xN的矢量值函數(shù)。對式(17)所示的最優(yōu)化問題，需要施加如下的假設(shè)條件:

1)函數(shù)F(x)為二次連續(xù)可微函數(shù);

2) 對任意的 u∈U，函數(shù) f(x，u)和 L(x，u)為對變量x的二次連續(xù)可微函數(shù);

3)終端約束條件hN(x)為二次可微函數(shù)，且滿足對所有x∈Rn都有其雅可比矩陣是行滿秩;

類似于無集合約束時的最優(yōu)化問題，定義如下的哈密爾頓函數(shù)

式中:η 為一實數(shù);λk，k=0，1，…，N －1 為 Rn中的某個矢量。類似可得在集合約束條件下最優(yōu)解存在的充要條件，為定理2。

定理2對于集合約束下的最優(yōu)化問題式(17)，存在最優(yōu)序列和的充要條件是存在一個矢量序列及一個實數(shù) η*，使得以下條件都成立。

1)伴隨方程。

2)邊界條件。存在實數(shù)β≥0和矢量γ∈Rl使得

3)哈密爾頓函數(shù)的最小化。

復(fù)合狀態(tài) ξk的初始狀態(tài) ξN應(yīng)屬于集合{ξ∶。需要最小化的目標(biāo)函數(shù)式(23)改寫為僅關(guān)于終端狀態(tài) ξN的函數(shù)，即:VN({xk}，{uk})=zN+F(xN)=g0(ξN)。

對于非線性系統(tǒng)，將非線性函數(shù)f(x，u)，L(x，u)和hN(x)分別都在最優(yōu)序列處進(jìn)行線性化得到非線性方程的線性近似表達(dá)式［9］，即考慮

對應(yīng)的約束條件為

目標(biāo)函數(shù)為

利用凸優(yōu)化理論中的分離定理可知［10］:兩集合和在點處存在一個超平面以達(dá)到分離。即存在一個非零矢量使得

由η*=β可見，定理2中的式(19)明顯滿足。又由式(29)知，因，即不全為 0 。聯(lián)合式(28)和式(29)得

根據(jù)定義的3個矩陣將式(30)和式(31)合并為A1d＜0，A2d=0。根據(jù)凸優(yōu)化理論中的FJ最優(yōu)性充要條件可知，存在一個非零矢量［qTνT］T，q∈R2，ν∈Rl，q ＞0，使得

式(32)包含著

至此給出了在有或無集合約束條件下最優(yōu)化問題存在最優(yōu)解的充要條件，而最優(yōu)化問題的求解可通過文獻(xiàn)［11］中的橢球優(yōu)化算法來求解。在求解最優(yōu)控制輸入序列時僅取序列中的第1個元素作用于實際的系統(tǒng)(線性或非線性)。聯(lián)合上述的優(yōu)化過程和選取第1個元素的過程為本文陳述的滾動時域預(yù)測控制方法，考慮將上面的推導(dǎo)過程與直接應(yīng)用經(jīng)典優(yōu)化理論中的相關(guān)最優(yōu)性條件進(jìn)行比較。

2.4 最優(yōu)性條件的比較

考慮如下的最優(yōu)化問題

式中:{xk}={x0，…，xN}，x∈Rn，{uk}={u0，…，uN－1}，u∈Rm分別稱為狀態(tài)和控制輸入序列;xk+1=f(xk，uk)為狀態(tài)方程為初始狀態(tài);不等式gk(uk)≤0，k=0，1，…，N －1，gk:Rm→Rr，表示控制輸入uk滿足的條件，此處用線性矩陣不等式替換前面的集合約束uk∈U;gN(uN)≤0，表示對終端狀態(tài)的不等式約束;hN:Rn→Rl表示對終端狀態(tài)的等式約束。以下直接利用FJ最優(yōu)條件推導(dǎo)出最優(yōu)化問題式(35)存在最優(yōu)序列和的最優(yōu)條件。

其中各個量為

哈密爾頓函數(shù)定義為

根據(jù)凸優(yōu)化理論中的對偶可行條件或FJ條件可得定理3。

定理3原優(yōu)化問題存在最優(yōu)解的充要條件是存在一標(biāo)量 η*和矢量滿足如下的條件。

1)伴隨方程。

2)邊界條件。

3)哈密爾頓條件。

定理2是在假設(shè)條件下主要利用凸優(yōu)化分離定理得到的最優(yōu)性充要條件;而定理3是直接利用FJ條件得到的最優(yōu)性充要條件。對比可知:定理2中所需要的拉格朗日乘子的數(shù)量大大減少了，因定理3中額外需要的存在，這簡化了對最優(yōu)化問題是否存在最優(yōu)解的檢驗過程，尤為重要的是，在定理2的證明中還詳細(xì)給出了拉格朗日乘子及實數(shù) η*的取值方法，而在定理3中卻未給出任何相關(guān)的取值信息。

3 仿真算例

無人機航跡規(guī)劃是在綜合考慮無人機到達(dá)時間、油耗、威脅規(guī)避以及可飛行區(qū)域等因素的前提下，為無人機規(guī)劃出最優(yōu)或者滿意的飛行航跡，以保證圓滿地完成飛行任務(wù)，并安全返回基地［12］。

無人機的動靜態(tài)特性可通過在慣性坐標(biāo)系下一離散線性狀態(tài)空間模型表征，同時附加若干關(guān)于動態(tài)和慣性下的線性矩陣不等式約束條件。在無人機航跡規(guī)劃問題描述中，無人機狀態(tài)向量si由速度向量和位置向量構(gòu)成，si=［pivi］T∈R6。其中:位置向量 pi=［xi，yi，，速度向量記無人機初始狀態(tài)為，期望終端狀態(tài)為s，優(yōu)化時域長度為N，

f規(guī)劃時域N的長度依賴于可獲得的計算能力和可檢測環(huán)境的距離范圍。設(shè)第i步的代價函數(shù)L(si，ui)為一分段線性函數(shù)形式，ui表示輸入控制矢量，即需要設(shè)計的優(yōu)化變量，ui為無人機的參考速度或者加速度等可控變量。終端分段線性代價函數(shù)記為F(sN)。從而得到在N時間段內(nèi)最優(yōu)航跡規(guī)劃問題為

式中:(xi，yi)表示無人機的位置坐標(biāo);S表示狀態(tài)變量集;U表示控制輸入集;Θ表示在已知飛行范圍內(nèi)的障礙區(qū)域。此時只約束位置矢量中的前兩個變量，這常見于二維平面中的障礙物約束，若增加位置矢量中關(guān)于zi的約束即為三維空間中的地形區(qū)域約束。

考慮二維平面中矩形障礙物的左下角頂點坐標(biāo)為(xmin，ymin)，右上角頂點坐標(biāo)為(xmax，ymax)。因無人機要避開矩形障礙物，從而無人機的每一個軌跡點(xi，yi)都應(yīng)該滿足的約束條件為

式中，M為一個較大的正數(shù)?？紤]飛行時間最短和消耗燃料最少的代價函數(shù)為

式中:第1項為每步的離散狀態(tài)xi與期望的終端狀態(tài)xf之間偏離代價;第2項為燃料代價;第3項為實際終端狀態(tài)xN與期望終端狀態(tài)xf之間的偏離代價?；谏鲜龅暮唵握f明，在無人機從初始點x0到目標(biāo)點xf的最優(yōu)航跡規(guī)劃問題可歸納為如下的數(shù)學(xué)優(yōu)化問題

對數(shù)學(xué)優(yōu)化問題式(43)，利用凸優(yōu)化算法來進(jìn)行求解，首先需要把眾多的等式約束和不等式約束進(jìn)行合并。在每次優(yōu)化求解得到的N－1個最優(yōu)控制輸入序列中僅取第1項應(yīng)用于實際系統(tǒng)中，重復(fù)上述優(yōu)化過程。仿真中取

無人機的初始狀態(tài)為原點(0，0)，期望的終端狀態(tài)為(60，70)，各個矩陣障礙物的位置如圖3所示。

圖3 無人機從原點起飛到目的的路徑Fig.3 The path of the unmanned helicopters from origin to destination

采樣時間Δt=1，優(yōu)化時域N=6，對式(43)利用滾動時域策略進(jìn)行求解，得到無人機的最優(yōu)航跡路徑，見圖3。無人機從原點(0，0)處開始向東飛行，經(jīng)過24 s的飛行時間到達(dá)終點位置(60，70)。圖4表示代價函數(shù)隨著時間而逐漸遞減，充分說明由滾動時域控制中凸優(yōu)化迭代算法得到的最優(yōu)控制輸入序列是優(yōu)化問題的一個最優(yōu)解。

圖4 代價函數(shù)隨時間的遞減圖Fig.4 The decrease of cost function vertus time

4 結(jié)語

對于非線性系統(tǒng)的滾動時域控制，在無和有集合約束情況下，結(jié)合凸優(yōu)化理論給出非線性系統(tǒng)的滾動時域控制中最優(yōu)化問題存在全局最優(yōu)解的充要條件，將此充要條件和傳統(tǒng)經(jīng)典的最優(yōu)性條件進(jìn)行比較，得出最優(yōu)解存在的簡化檢驗過程。

［1］ GUARDABASSI G.Virtual reference direct method:An off－line approach to data－based control system design［J］.IEEE Transactions of Automatic Control，2000，45(5):954－959.

［2］ LENNART L.System identification:Theory for the user［M］.Prentice Hall，1999.

［3］ BAZANELLA A S.Iterative minimization of H2control performance criteria［J］.Automatica，2008，44(10):2549－2559.

［4］ CAMPI M C.Direct nonlinear control design:The virtual reference feedback tuning approach［J］.IEEE Transactions of Automatic Control，2006，51(1):14－27.

［5］ LECHINI A，CAMPI M C.Virtual reference feedback tuning for two degrees of freedom controllers［J］.Internation Journal ofAdaptiveControland SignalProcessing，2002，16(10):355－371.

［6］ PINTELON R，SCHOUKENS J.System identification:A frequency domainapproach［M］.New York:IEEE Press，2001.

［7］ BOYD S，VANDENBERGHE L.Convex optimization［M］.UK:Cambridge University Press，2008.

［8］ NOCEDAL J，WRIGHT S J.Numerical optimization［M］.Berlin:Springer－Verlag，2002.

［9］ 李向旭，張曾科，姜敏.兩軸穩(wěn)定平臺的模糊－PID復(fù)合控制器設(shè)計與仿真［J］.電光與控制，2010，17(1):69－72.

［10］ 王建宏，王道波.機載穩(wěn)定跟蹤平臺速率回路的內(nèi)模H∞控制［J］.電光與控制，2011，18(1):20－24.

［11］ 王建宏.基于先進(jìn)辨識的控制策略研究及其應(yīng)用［D］.南京:南京航空航天大學(xué)，2011.