沈志萍， 鄔依林， 劉 嶼

(1.新鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河南 新鄉(xiāng) 453000; 2.華南理工大學(xué)，a.自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院;b.精密電子制造裝備教育部工程研究中心，廣州 510640; 3.廣東第二師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣州 510310)

0 引言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control Systems，NCS)的特征是系統(tǒng)各組件(傳感器、控制器、執(zhí)行器)之間可以通過網(wǎng)絡(luò)交換信息。在過去幾年中，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在移動(dòng)傳感器網(wǎng)絡(luò)、制造系統(tǒng)、遙操作機(jī)器人、汽車、航天器等領(lǐng)域已有廣泛的應(yīng)用。物聯(lián)網(wǎng)產(chǎn)業(yè)的興起和逐漸進(jìn)入應(yīng)用階段，以及計(jì)算機(jī)、通信和電子技術(shù)的飛速發(fā)展，為網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的發(fā)展提供了物質(zhì)準(zhǔn)備。例如微型化、智能化傳感器的進(jìn)步，使得價(jià)格越來(lái)越低、計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)處理能力越來(lái)越強(qiáng);網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的不斷發(fā)展，使得構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)且功能強(qiáng)大，足以控制復(fù)雜的對(duì)象或過程，其應(yīng)用前景及應(yīng)用價(jià)值將更加誘人，這也是近十年來(lái)國(guó)內(nèi)外網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)研究一直十分熱門的主要原因。與傳統(tǒng)控制系統(tǒng)和控制方法相比，由于網(wǎng)絡(luò)本身存在著一些信息約束固有本質(zhì)，如延時(shí)、數(shù)據(jù)傳輸率和信噪比受限、量化的影響等，使得基于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件、性能分析和魯棒性條件需要重新建立，當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外對(duì)這些問題的研究成果主要還集中在系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析上，而對(duì)系統(tǒng)性能分析等重要問題的進(jìn)一步研究正在努力推進(jìn)中［1－6］。在不同文獻(xiàn)中，輸入信道的信息約束源于不同形式，如數(shù)據(jù)傳輸率［7－8］、量化［9－10］、信噪比受限［11］、延時(shí)［12］等。本文將這些源于不同形式信息約束模擬為白噪聲隨機(jī)過程，統(tǒng)一為系統(tǒng)隨機(jī)不確定性參數(shù)來(lái)處理，進(jìn)而得到系統(tǒng)的隨機(jī)模型，研究具有這種隨機(jī)模型的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的均方可鎮(zhèn)定問題，獲得均方可鎮(zhèn)定的充要條件。其潛在益處在于，不僅可以補(bǔ)充網(wǎng)絡(luò)控制理論的基本理論和方法，也可以為研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)提供一個(gè)基本的理論基礎(chǔ)。

1 問題的描述

考慮如圖1所示的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)方程為

圖1 具有乘性信道網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure of networked control system over multiplicative channel

圖1 中，輸入信道建模成乘性信道ξ(k)，可以是確定性函數(shù)或具有某種數(shù)理統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)函數(shù)。對(duì)于文獻(xiàn)［10］中的對(duì)數(shù)量化器而言，輸入信道ξ(k)=1+Δ，‖Δ‖≤δ為相對(duì)量化誤差，ξ(k)是一個(gè)非線性的、時(shí)變的、具有確定邊界的不確定函數(shù)，即輸入信道模型為一個(gè)具有確定扇區(qū)邊界的函數(shù)，文獻(xiàn)［10］解決了這種模型信道下系統(tǒng)的均方可鎮(zhèn)定問題。不難看出，文獻(xiàn)［6］中ξ(k)只是隨機(jī)函數(shù)的一種特例。因此當(dāng)ξ(k)為具有某種數(shù)理統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)函數(shù)時(shí)，輸入信道模型更具一般性和泛化性，本文考慮該種模型下系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定時(shí)的充要條件。為此，針對(duì)ξ(k)提出如下假設(shè)。

假設(shè)1 ξ(k)為一個(gè)離散的白噪聲隨機(jī)過程，具有如下數(shù)理統(tǒng)計(jì)特性:E{ξ(k)}= μ≠0，var{ξ(k)}=σ2＜ +∞。

定義1隨機(jī)系統(tǒng)［9］

式中，ω(k)為有界隨機(jī)過程，如果M(k)=E{x(k)x′(k)}對(duì)所有的k是適定的，且有，則系統(tǒng)(2)是均方穩(wěn)定的。

定義2系統(tǒng)(1)中乘性信道ξ(k)的均方容量為

引理1均方小增益定理［14］。對(duì)于BS中任意范數(shù)有界隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)T1，圖2所示的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)是均方穩(wěn)定的充要條件，為:‖T2‖2＜1。

注1:若引理1中T1為隨機(jī)乘性增益，協(xié)方差為，則圖2所示的關(guān)聯(lián)系統(tǒng)是均方穩(wěn)定的充要條件，為:

圖2 均方小增益定理Fig.2 Mean square small gain theorem

2 主要結(jié)果

定理1線性時(shí)不變離散系統(tǒng)(1)均方可鎮(zhèn)定的充要條件為

表示A矩陣不穩(wěn)定的特征值。

證明 系統(tǒng)(1)可重寫為

進(jìn)而，系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)換為

其中，乘性信道模型ξ(k)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換如圖3所示。

圖3 乘性信道轉(zhuǎn)換形式Fig.3 Converted form of the multiplicative channel

而

注:真實(shí)世界中的白噪聲高斯隨機(jī)過程Δ就可滿足式(7)。

進(jìn)一步，具有乘性信道網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)由圖1可轉(zhuǎn)化為圖3。

圖4中，w(k)到z(k)的傳遞函數(shù)Gzw為

進(jìn)而

由于圖1和圖4是等效的，因而系統(tǒng)(1)的均方可鎮(zhèn)定性問題可等效為結(jié)構(gòu)圖4的均方鎮(zhèn)定性問題。

圖4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)等效圖Fig.4 The equivalent structure of the system

為證明需要，先考慮如下一最小能量LQR控制問題。

考慮如下系統(tǒng)最小能量LQR控制問題

下面采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解系統(tǒng)(10)最小能量LQR控制問題。設(shè)

利用經(jīng)典動(dòng)態(tài)規(guī)劃法可得

其中，P滿足下列Riccati方程。

進(jìn)而，最小能量代價(jià)為

對(duì)任意x0上述恒成立，當(dāng)x0=B時(shí)，有

進(jìn)而將式(15)代入式(10)

由Parseval定理及Fourier變換，式(16)可變換為

由式(9)和式(17)可得

下面來(lái)求解J(B)。

不失一般性，假設(shè)系統(tǒng)是反穩(wěn)定的(即系統(tǒng)的特征根均位于單位圓外或單位圓上)，考慮如下系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形式。

從而

Pnn為P矩陣的第n行、第n列元素(即最后一行、最后一列元素)，且系統(tǒng)開環(huán)特征方程為

由LQR控制問題［15］可知，可通過設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器，將系統(tǒng)單位圓外的不穩(wěn)定的特征根鏡像配置到單位圓內(nèi)，即系統(tǒng)閉環(huán)特征方程具有下列形式

對(duì)應(yīng)的閉環(huán)特征矩陣Ac為

從而求得

由最小能量控制必在鏡像極點(diǎn)上可知

即

易得

所以由式(18)可得

由引理1可知，系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的充要條件是

注2:不等式(29)右邊一項(xiàng)為系統(tǒng)Gzw所能容許的隨機(jī)變量的最大協(xié)方差，通常也稱為最大均方穩(wěn)定域度［16］。注3:在證明定理1的過程中，只考慮了系統(tǒng)A反穩(wěn)定的情形，但對(duì)于系統(tǒng)部分特征根穩(wěn)定情形也同樣成立。注4:證明中只考慮了能控標(biāo)準(zhǔn)型;若非能控標(biāo)準(zhǔn)型，可通過等價(jià)的坐標(biāo)變換化成能控標(biāo)準(zhǔn)型。

3 應(yīng)用

分析各種形式乘性噪聲情形下，系統(tǒng)可鎮(zhèn)定的充要條件，與現(xiàn)有文獻(xiàn)相應(yīng)問題求解的結(jié)論是一致的。

3.1 擦除信道

3.2 扇形邊界

4 結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用小增益理論、Parseval定理及Fourier變換，將求解基于系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定要求的乘性信道均方容量的問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)最小能量LQR控制問題，采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法和鏡像極點(diǎn)配置法，得到了單輸入系統(tǒng)情況下，用系統(tǒng)Mahler測(cè)度表示的乘性信道均方容量的構(gòu)成系統(tǒng)均方可鎮(zhèn)定的充要條件，并給出了證明。文中用信道容量給出系統(tǒng)可鎮(zhèn)定條件，較傳統(tǒng)用線性矩陣不等式表示的可鎮(zhèn)定條件具有明顯的優(yōu)勢(shì)，很容易判定系統(tǒng)是否可鎮(zhèn)定，給網(wǎng)絡(luò)工作者帶來(lái)了方便。

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