張瑞海

(天津科技大學理學院，天津300222)

1 引言

隨著微分動力學的發(fā)展，其作為一種研究實際問題的一種重要工具，已經(jīng)滲透到各個領域.本文考慮了生化反應中的一個動力系統(tǒng)

其中:ζ，a，b均為正常數(shù)，p，q 為正整數(shù).對于系統(tǒng)(1)好多學者已經(jīng)做了研究，如文獻[1－6]討論了a=0，p=1，q分別為 2，3，4，5，6 的情況，本文考慮了a=0，p=1，q=7的情況.進一步完善了系統(tǒng)(1)的定性分析.

根據(jù)系統(tǒng)的實際意義有 x＞0，y＞0，ζ＞0，b＞0.令并且仍以 x，y，t記 u，v，τ.則上式化為

即(1，1)為系統(tǒng)的惟一平衡點.并且

所以系統(tǒng)(3)在點A(1，1)處線性部分的特征方程為

該方程有兩個根

2 預備引理

引理1:

令 u=y－1，v=a(x－1)+y－1，則系統(tǒng)(3)化為

引入菲里波夫變換

引理2:

證明:Φ(z)=F1(z)－F2(z)令，則Φ(0)=F1(0)－F2(0)=0

其中:

注意到 －1＜u2＜0＜u1，從而 u1u2＜0，u1－u2＞0，經(jīng)計算M＞0，所以Φ'(z)＞0，也即Φ(z)=Φ(z)－Φ(0)=Φ'(z)z＞0，即 F1(z)＞F2(z).引理得證.

引理3:系統(tǒng)(3)在x＞0上沒有垂直漸近線.

證明:采用反證法，假設引理3不成立，則?x0＞0使得x→x0時y→±∞，而且;另一方面，注意到xy7－1，1－xy7均為連續(xù)函數(shù)，于是由系統(tǒng)(3)知不會有.矛盾，所以引理(3)成立.

3 主要結(jié)果及證明

證明:根據(jù)Bendixson環(huán)域定理，由引理1知，當a＞時，系統(tǒng)(3)的奇點A是不穩(wěn)定的.為了證明定理2，只要再構(gòu)造一個包圍正奇點A的外境界線Γ*，隨t的增加，使得系統(tǒng)(3)的軌線與Γ*相交時都從外部穿入外境界線Γ*內(nèi)部.

令 Γ1:1－xy7=0，Γ2:xy7－y=0

其圖形如圖1所示，則系統(tǒng)(3)相平面的第一象限被Γ1，Γ2分成了四個區(qū)域.容易判斷系統(tǒng)(3)在這四個區(qū)域中所確定的方向場分別為:

圖1 第一象限被Γ1，Γ2分成四區(qū)域圖

由方向場(1)知，存在y軸上的點B，使得系統(tǒng)(3)的過點B的正半軌一定向x軸的正向移動.又因為奇A點為系統(tǒng)(3)的不穩(wěn)定奇點，從而該正半軌不會趨向奇點A.直線y=0是系統(tǒng)(3)的積分直線，從而該正半軌也不會與x軸相交.由引理(3)知系統(tǒng)(3)在x＞0上沒有垂直漸近線，而Γ1，Γ2都以x軸為水平漸近線，由方向場理論知系統(tǒng)(3)的過點B的正半軌一定與Γ1，Γ2分別相交于C，D.然后過點D作平行于y軸直線DE.由向量場(3)知，在直線DE上，又注意到 y軸是 Γ1，Γ2的垂直漸近線，所以系統(tǒng)(3)的過點E的正半軌一定與Γ1，Γ2交于點F，G.最后過點G作x軸的平行線交y軸于點H，易知在直線GH上于是曲線

Γ*=BCDEFGHB

就構(gòu)成系統(tǒng)(3)的包圍正奇點的外境界線.定理2成立.

4 結(jié)語

對于系統(tǒng)(1)隨著的增大計算量也越來越大，本文在文獻基礎上考慮了a=0，p=1，q=7的情況.應用微分方程定性理論對其奇點進行了分類，得到了其極限環(huán)不存在存在的系數(shù)條件，進一步完善了系統(tǒng)(1)的定性分析.

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