韓欣利，潘麗君

（1. 南京郵電大學(xué)理學(xué)院，南京210046；2. 南京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)系，南京211106）

一類Lotka-Volterra系統(tǒng)的平均持續(xù)生存性

韓欣利1，潘麗君2

（1. 南京郵電大學(xué)理學(xué)院，南京210046；2. 南京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)系，南京211106）

研究了非自治捕食被捕食Lotka-Volterra系統(tǒng)的平均持續(xù)生存性。通過引入新的研究方法，建立了一系列關(guān)于Lotka-Volterra系統(tǒng)正解的平均持續(xù)生存性的積分形式的新準(zhǔn)則，并研究了一致弱平均持續(xù)生存性和弱平均持續(xù)生存性的等價性。

非自治；捕食被捕食；Lotka-Volterra系統(tǒng)；平均持續(xù)生存性

0 引言

兩種群Lotka-Volterra系統(tǒng)是Guass和Witt在1935年建立的，兩種群非自治捕食被捕食系統(tǒng)形如（詳見文獻(xiàn)[1～6]及其中所引用的文獻(xiàn)）

從生物學(xué)的角度看，平均持續(xù)生存性是指從平均的角度看某一種群在未來時間里數(shù)量大于零，即該種群不會滅絕。而在數(shù)學(xué)上，種群的平均持續(xù)生存性具有嚴(yán)格而規(guī)范的定義。

設(shè)x( t)=(x1( t),x2( t ))是系統(tǒng)（0.1）的任意一個正解，則

（1）種群xi( i=1,2) 稱為弱平均持續(xù)生存的（WAP），若

（2）種群xi( i=1,2) 稱為強(qiáng)平均持續(xù)生存的（SAP），若

（3）種群xi( i=1,2) 稱為一致弱平均持續(xù)生存的（UWAP），若存在一個不依賴于系統(tǒng)（0.1）的正常數(shù)m>0, 使得

（4）種群xi( i=1,2) 稱為一致強(qiáng)平均持續(xù)生存的（USAP），若存在一個不依賴于系統(tǒng)（0.1）的正常數(shù)m>0,使得

研究種群的平均持續(xù)生存性對于研究動物種群的增長規(guī)律，特別是在動物保護(hù)和生態(tài)環(huán)境的治理和開發(fā)等領(lǐng)域都有著重要的作用。本文主要研究非自治捕食被捕食Lotka-Volterra系統(tǒng)（0.1）的平均持續(xù)生存性。通過引入新的研究方法，建立一系列關(guān)于Lotka-Volterra系統(tǒng)（0.1）的正解平均持續(xù)生存性的積分形式的新準(zhǔn)則，并研究一致弱平均持續(xù)生存性和弱平均持續(xù)生存性的等價性。本文的安排如下：在第1節(jié)中，我們將給出預(yù)備知識與基本假設(shè)；在第2節(jié)中，我們將陳述并證明關(guān)于平均持續(xù)生存的主要結(jié)論。

1 預(yù)備知識

1.1 基本假設(shè)

1.2 重要引理

在本節(jié)的最后我們將給出本文需要用到的兩個引理。

首先，我們考慮如下單種群非自治的Logistic系統(tǒng)：

我們有如下的結(jié)論。

引理1.1 如果系統(tǒng)（1.1）滿足下列假設(shè)：

（i）存在常數(shù)01M>, 使得對系統(tǒng)（1.1）的一切正解1()x t都有

引理1.1的證明詳見文獻(xiàn)[5]中的引理1。

引理1.2的證明詳見文獻(xiàn)[3]中的引理4。

2 平均持續(xù)生存性

設(shè)10()xt是系統(tǒng)（1.1）的一個固定的正解。關(guān)于系統(tǒng)（0.1）的平均持續(xù)生存性，我們有如下的結(jié)論。

定理2.1 假設(shè)(LV1),(LV2),(LV4)和(LV5)成立，則對于系統(tǒng)（0.1），有

其中x10為系統(tǒng)(1.1)的正解。

證明 首先考慮單種群非自治的Lotka-Volterra系統(tǒng)（1.1）。由(LV1)和(LV4)，系統(tǒng)（1.1）滿足引理1.1的所有條件，因此，若( t)和(t)是系統(tǒng)（1.1）的任意兩個正解，則(t ))=0, 并且存在與任意正解t)無關(guān)的常數(shù)M0>1, 使得

由(2.2)和系統(tǒng)(1.1)的全局漸近穩(wěn)定性，并根據(jù)比較定理可以得到：對任意的ε>0, 存在常數(shù)T=T(ε)>0,使得對一切t≥T都有

由(2.1), (2.3)以及(LV5)知，系統(tǒng)(2.1)的所有正解均在R+0上有定義且最終有界，設(shè)其界為M=max{L1, K}。

下面我們將分兩部分給出定理2.1的證明：

（I）對一切t≥0, 有x1( t)≥x10(t)。

結(jié)合(2.3)可知, 對任意的ε>0, 都存在常數(shù)T=T(ε)>0,使得對一切t≥T都有x10(t)≤x1( t)≤x10(t)+ε,這表明lti

→m∞(x1( t)?x10(t ))=0, 由此可得

由系統(tǒng)（0.1）的第2個方程，并根據(jù)微分中值定理可得

因此，由（2.5）～（2.7）以及定理2.1的條件（1），有

由（2.5）～（2.7）以及定理2.1的條件（2），有

（II）存在常數(shù)T>0，使得x1( T)

由（3.2）及比較定理可得，對一切t≥T，有x( t)

并且根據(jù)微分中值定理可得

因此，根據(jù)（2.8）知，當(dāng)tT≥時，

現(xiàn)在考慮系統(tǒng)（0.1）的第2個方程，由（2.9）并根據(jù)微分中值定理可得，對一切tT≥,

進(jìn)而由(LV2)和（2.9），還可以得到，對一切tT≥,

因此，對一切tT≥, 有

顯然，存在常數(shù)1M，使得

由（2.1），（2.10），（2.11）以及1()x t和2()x t在0R+上的有界性，有

由不等式（2.10）可得

于是，由（2.12），（2.13）以及定理3.1的條件（1）可得：

這表明種群x2是一致弱平均持續(xù)生存的。

由不等式（2.10），我們還可以得到

于是，由（2.12），（2.13）以及定理2.1的條件（2）可得

這表明種群x2是一致強(qiáng)平均持續(xù)生存的。

因此，由（I）和（II）兩部分可知，定理2.1的結(jié)論成立。

定理3.2 假設(shè)(LV1)和(LV3)～(LV5)成立。若對于系統(tǒng)（0.1），種群x2是弱平均持續(xù)生存的，則(?b( s)+a(s) x(s))ds >0, x(t)是系統(tǒng)（1.1）一個固定的正解。2211010

2

由（2.14）以及種群2x的有界性我們還能得到

由微分中值定理有

類似于定理2.1的證明，接下來我們將分兩部分來給出定理2.2的證明。

（I）對一切t≥0都有x1( t)≥x10(t)。

從而，由（2.14）～（2.16）和(LV3)知，對上述的時間序列, 有

(II) 存在常數(shù)T≥0, 使得x1( T)

由（2.2）并根據(jù)比較定理可得，對一切t≥T, 都有x1( t)

因此，由（2.14）和（2.15）知：對上述的時間序列{tn}，有

從而，由（I）和(II)兩部分可知，定理2.2的結(jié)論成立。

結(jié)合定理2.1與2.2，我們有下面的結(jié)論：

定理2.3 假設(shè)(LV1)(LV5)～成立。對于系統(tǒng)（0.1），下面的陳述式等價的：

（1）種群2x是弱平均持續(xù)生存的。

（2）種群2x是一致弱平均持續(xù)生存的。

[1] TENG Z D. Uniform persistence of the periodic predator-prey Lotka-Volterra systems[J]. Appl. Anal., 1999,72(3-4): 339-352.

[2] 韓欣利. 一般非自治捕食被捕食Kolmogorov型系統(tǒng)研究[D]. 烏魯木齊: 新疆大學(xué)理學(xué)院, 2004.

[3] ELLERMEYER S F, PILYUGIN S S, REDHEFFER R. Persistence criteria for a chemostat with variable nutrient input[J]. J. Diff. Equations, 2001, 171(1): 132-147.

[4] 滕志東, 陳蘭蓀. 非自治競爭Lotka-Volterra系統(tǒng)的持續(xù)生存和全局穩(wěn)定[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報A輯(中文版), 1999, 14(2): 141-146.

[5] TENG Z D, LI Z M, JIANG H J. Permanence criteria in nonautonomous predator-prey Kolmogorov systems and its applications[J]. Dynamical System, 2004, 19(2): 171-194.

[6] XIAO D M, RUAN S G. Global analysis in a predator-prey system with nonmonotonic functional response[J]. SIAM J. Appl. Math., 2001, 61(4): 1445-1472.

On the Average Persistence of A Lotka-Volterra System

HAN Xin-li, PAN Li-jun
( 1. School of Science, Nanjing University of Posts & Telecommunications, Nanjing 210046, P. R. China; 2. Department of Mathematics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, P. R. China )

The average persistence of a nonautonomous predator-prey Lotka-Volterra system is investigated. By introducing a new method, a series of new criteria on the average persistence of the Lotka-Volterra system is constructed. Also, the equivalence of the uniformly weak average persistence and weak average persistence are studied.

nonautonomous; predator-prey; Lotka-Volterra system; average persistence

O175.13

A

1001-4543(2012)04-0307-08

2012-10-31;

2012-12-07

韓欣利（1978－），男，山東煙臺人，講師，博士，主要研究方向為常微分方程研究，電子郵箱xinlihan@126.com。

江蘇省高校自然科學(xué)研究項目（No. 12KJB110017）；南京郵電大學(xué)引進(jìn)人才基金（No. NY208028和No. NY211140）南京航空航天大學(xué)科研基金（No. NN2012048）