許獲迪，于 洋

（1.對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 國(guó)際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院，北京 100029；2.國(guó)網(wǎng)北京經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，北京 100052）

一、引言

動(dòng)態(tài)因子模型（Dynamic Factor Model， DFM）是一種對(duì)經(jīng)濟(jì)變量的維度進(jìn)行壓縮，提取經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象背后的“隱性推動(dòng)因素”進(jìn)行相關(guān)分析和預(yù)測(cè)的模型（John Geweke，1977），是收縮模型（shrinking methods）中的一種。動(dòng)態(tài)因子模型可提取動(dòng)態(tài)因子作為宏觀經(jīng)濟(jì)的領(lǐng)先指數(shù)和同步指數(shù)，從而發(fā)展出了“自動(dòng)領(lǐng)先指數(shù)”（Automatic Leading Indicator， ALI）模型，即將提取出的動(dòng)態(tài)因子放入向量自回歸（VAR）模型中對(duì)經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)。

近10年，動(dòng)態(tài)因子模型已經(jīng)成為使用大量預(yù)測(cè)變量來(lái)預(yù)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)的主要研究框架。這些大規(guī)模的動(dòng)態(tài)因子模型一般使用幾十個(gè)甚至兩百多個(gè)變量來(lái)預(yù)測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)序列，研究結(jié)果表明，大規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型在短期預(yù)測(cè)方面優(yōu)于宏觀經(jīng)濟(jì)計(jì)量結(jié)構(gòu)模型（Macroeconometric structural models，MESMs）、ARMA（Auto-Regressive and Moving Average Model）、VAR 等傳統(tǒng)的時(shí)間序列模型和其他Shrinking Methods［1］。理論上，大規(guī)模的DFM能夠具有如此的優(yōu)勢(shì)主要是因?yàn)椋?］：通過(guò)提取動(dòng)態(tài)因子，DFM能夠很好地利用其他模型難以容納和處理的大規(guī)模多維度的信息，這將海量數(shù)據(jù)從一個(gè)軟肋變?yōu)榱藘?yōu)勢(shì)；但是該理論優(yōu)勢(shì)在實(shí)踐中并未完全得以確認(rèn)［3］，大規(guī)模DFM的預(yù)測(cè)效果并非總是令人滿意。原因可能在于，構(gòu)造模型時(shí)，大規(guī)模的動(dòng)態(tài)因子模型更容易引入不合適的變量，涵蓋冗余信息和不必要的波動(dòng)，降低預(yù)測(cè)的精確度，某些變量的組合甚至導(dǎo)致海塞矩陣非半負(fù)定，因此動(dòng)態(tài)因子模型涵蓋的變量并非越多越好［4］。另外，大規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型運(yùn)行代價(jià)大，對(duì)軟硬件要求高，甚至33個(gè)預(yù)測(cè)變量以上的動(dòng)態(tài)因子模型在目前通用的Stata等商業(yè)軟件上無(wú)法運(yùn)行。上述情況在一定程度上使得大規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型的應(yīng)用受到限制。

應(yīng)用動(dòng)態(tài)因子模型的另一個(gè)方向是小規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型［5］，即采用3—5個(gè)變量，提取一個(gè)動(dòng)態(tài)因子來(lái)預(yù)測(cè)目標(biāo)序列，這類研究也取得了很好的預(yù)測(cè)效果。相對(duì)于大規(guī)模DFM，小規(guī)模DFM易于調(diào)試，運(yùn)行效率高。可是，小規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型和傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型、時(shí)間序列模型一樣，僅選取少量變量，選擇哪些變量則成為一個(gè)問(wèn)題［6］。目前還沒(méi)有文獻(xiàn)把小規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型放到與其他模型對(duì)比的情景下，分析和探討其預(yù)測(cè)效果和應(yīng)用前景。

通貨膨脹率不論在理論上或?qū)嵺`中都是一個(gè)重要的宏觀經(jīng)濟(jì)變量，也是眾多研究在比較宏觀經(jīng)濟(jì)變量預(yù)測(cè)效果時(shí)通用的標(biāo)準(zhǔn)變量。然而，由于通貨膨脹集中體現(xiàn)了國(guó)際經(jīng)濟(jì)、金融危機(jī)等難以預(yù)料的沖擊，該數(shù)據(jù)成為公認(rèn)的難以預(yù)測(cè)的宏觀經(jīng)濟(jì)變量之一［2］。本文正是將通貨膨脹率作為中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)變量的代表，采用小規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型預(yù)測(cè)中國(guó)通貨膨脹，并且就此探討小規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型的一些特性和在實(shí)踐中的適用性。

二、模型原理與變量

（一）動(dòng)態(tài)因子模型原理

動(dòng)態(tài)因子模型從若干變量中提取潛在的、觀察不到的共同趨勢(shì)，并利用這個(gè)共同趨勢(shì)，即動(dòng)態(tài)因子，對(duì)經(jīng)濟(jì)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)。目前，動(dòng)態(tài)因子模型廣泛應(yīng)用于預(yù)測(cè)美國(guó)、英國(guó)和歐洲的宏觀經(jīng)濟(jì)變量。下面我們首先簡(jiǎn)要介紹動(dòng)態(tài)因子模型。令

其中，yt是內(nèi)生變量組成的k維向量，ft是不可觀測(cè)的因子組成的n維向量，xt是外生變量組成的矩陣，擾動(dòng)vt、et獨(dú)立同分布。在動(dòng)態(tài)因子模型中，內(nèi)生變量組成的向量受到一些不可觀測(cè)的因子以及外生變量的影響。不可觀測(cè)的因子及擾動(dòng)具有向量自回歸的結(jié)構(gòu)。

（二）變量選擇

本文的預(yù)測(cè)目標(biāo)為通貨膨脹率。鑒于消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)是各國(guó)計(jì)算通貨膨脹率的主要指標(biāo)，本文選擇以消費(fèi)者價(jià)格指數(shù)表示的年通貨膨脹率為預(yù)測(cè)變量。

DFM系數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型模型，其解釋變量的選取并不受經(jīng)濟(jì)理論的嚴(yán)格約束，然而，其變量的選取并不是隨意的。首先，DFM是從對(duì)數(shù)線性化宏觀經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)模型，包括動(dòng)態(tài)隨機(jī)一般均衡模型中自然演變出來(lái)的［2］，參考相關(guān)理論和基于理論的MESMs所包含的變量有助于變量選取。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)依靠直覺(jué)并嘗試對(duì)變量進(jìn)行調(diào)整，增加更合適的信息或者去除多余的信息，以提取更有解釋力的動(dòng)態(tài)因子，達(dá)到更好的預(yù)測(cè)效果。其次，有些變量放在一起時(shí)，必有其中之一不顯著，甚至導(dǎo)致海塞矩陣非半負(fù)定，使得模型不能運(yùn)行［5］。例如進(jìn)口和出口，因?yàn)樗鼈冎g有太強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，對(duì)于這些變量要?jiǎng)h除其中一些使其不再有沖突。

依照上述原則，參照Qin的MESMs模型，刪去了有沖突的變量，并且通過(guò)增刪變量試探調(diào)整，采用八組變量濾出八個(gè)動(dòng)態(tài)因子，每組變量在3—5個(gè)之間。這八個(gè)因子與該MESMs模型涵蓋的八個(gè)模塊一一對(duì)應(yīng)。選擇參考Qin的模型作為參照的原因是：Qin在另一篇文章中提供了該MESMs模型和在此基礎(chǔ)上的ALI模型預(yù)測(cè)結(jié)果，可與本文的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

（三）數(shù)據(jù)來(lái)源

本文共選用27個(gè)變量，所有變量均選自中經(jīng)網(wǎng)數(shù)據(jù)庫(kù)，數(shù)據(jù)的樣本期為1999年1月至2011年12月。其中，2011年1月至2011年12月的數(shù)據(jù)用來(lái)做樣本外預(yù)測(cè)。該數(shù)據(jù)包含：（1）月度數(shù)據(jù)；（2）季度數(shù)據(jù)；（3）近期數(shù)據(jù)完整而遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)有缺失，如“高新技術(shù)產(chǎn)品進(jìn)口額_累計(jì)”從2000年1月才開(kāi)始統(tǒng)計(jì)的；（4）在固定觀測(cè)期缺失變量的數(shù)據(jù)，如財(cái)政方面的數(shù)據(jù)普遍缺少12月的數(shù)值。具體見(jiàn)表1。

變量處理方面，對(duì)所有非百分比或比率的數(shù)據(jù)取自然對(duì)數(shù)，并對(duì)所有宏觀實(shí)體經(jīng)濟(jì)變量采用X-12方法進(jìn)行季節(jié)調(diào)整［6］。所有變量都采取年增長(zhǎng)率的形式，考慮到動(dòng)態(tài)因子模型主要關(guān)注短期預(yù)測(cè)，直接取增長(zhǎng)率即可滿足采用狀態(tài)空間模型進(jìn)行卡爾曼濾波對(duì)變量的平穩(wěn)性要求，因此略去了變量間長(zhǎng)期協(xié)整關(guān)系帶來(lái)的修正作用。對(duì)于季度數(shù)據(jù)，為了將其轉(zhuǎn)化為月度數(shù)據(jù)，我們簡(jiǎn)單地假設(shè)其中每個(gè)月的年增長(zhǎng)率與該月所處季度的相同，并且，我們參照Stock和Watson的做法，對(duì)所有變量都進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化。

表1 變量列表

三、實(shí)證分析

本文采用以下步驟來(lái)進(jìn)行實(shí)證分析：首先，采用小規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型，根據(jù)理論和相關(guān)MSEMs濾出八個(gè)動(dòng)態(tài)因子分別預(yù)測(cè)中國(guó)通貨膨脹率，并比較其預(yù)測(cè)效果。其中，先與大規(guī)模的MESMs、ALI和動(dòng)態(tài)因子模型比較；然后進(jìn)一步與其他采用少量變量的傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型比較，此處選用VAR模型作為傳統(tǒng)時(shí)間序列模型的代表。其次，嘗試對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化和改進(jìn)。再次，根據(jù)實(shí)證結(jié)果討論模型的特性和適用性。

如前所述，依靠理論、直覺(jué)和變量間的比較與調(diào)整，從數(shù)據(jù)庫(kù)中篩選出8組變量，每組變量在3—5個(gè)，分別提取一個(gè)動(dòng)態(tài)因子來(lái)預(yù)測(cè)中國(guó)通貨膨脹率。變量和因子之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表2所示：

表2 因子與變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系

為了便于與其他模型比較，首先簡(jiǎn)單地統(tǒng)一采用p=1，q=2來(lái)構(gòu)建模型，并以此作為下一步優(yōu)化的基準(zhǔn)模型。采用MSE和RMSE來(lái)衡量每個(gè)單因子模型的樣本外一步預(yù)測(cè)的效果，如表3所示：

表3 單因子動(dòng)態(tài)因子模型對(duì)中國(guó)通貨膨脹率預(yù)測(cè)結(jié)果

可以看出，上述八個(gè)單因子模型的預(yù)測(cè)效果較為接近，RMSE在0.85—0.89之間，MSE在0.72—0.98之間。下面將這個(gè)初步的結(jié)果與各類大規(guī)模模型（MSEMs、ALI和DFM），以及小規(guī)模時(shí)間序列模型（VAR）比較。

1.對(duì)比大規(guī)模模型

首先，該結(jié)果優(yōu)于Qin的MSEMs。Qin的同一篇文章還在四種情景中應(yīng)用ALI模型預(yù)測(cè)中國(guó)的季度通貨膨脹率，表3的結(jié)果優(yōu)于其中兩種。鑒于季度預(yù)測(cè)的效果普遍優(yōu)于月度預(yù)測(cè)，并且Qin的研究還采取了引入ECM項(xiàng)等一系列優(yōu)化方法，若不考慮這些額外的優(yōu)化手段，在同一標(biāo)準(zhǔn)下，小規(guī)模DFM的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于20多個(gè)變量的普通ALI模型。

不失一般性，再將表3的MSE數(shù)值與Stock的超大規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型（含200多個(gè)變量）的預(yù)測(cè)結(jié)果比較。Stock的研究同樣在不同的情景中包含了一系列優(yōu)化手段，而表3中的結(jié)果同樣優(yōu)于其中一半以上的情景，為了簡(jiǎn)便此處不展開(kāi)。

大規(guī)模的動(dòng)態(tài)因子模型因變量眾多，在選擇時(shí)難以排除變量間的沖突，或者是變量帶來(lái)的冗余信息；而小規(guī)模的則方便控制和調(diào)試，從而可以納入適當(dāng)?shù)男畔⒘?。由此可?jiàn)，小規(guī)模的動(dòng)態(tài)因子模型確實(shí)能以較小的變量選擇和程序運(yùn)行代價(jià)，獲得很好的預(yù)測(cè)效果。

2.對(duì)比小規(guī)模模型

下表分別列出了八個(gè)單因子的DFM模型（p=1，q=2）和分別采用八組與小規(guī)模DFM相同變量的VAR模型（lags=2）預(yù)測(cè)通貨膨脹率的RMSE（見(jiàn)表4）。

表4 單因子動(dòng)態(tài)因子模型和VAR模型的比較

預(yù)測(cè)結(jié)果表明，單因子的動(dòng)態(tài)因子模型預(yù)測(cè)效果整體優(yōu)于VAR模型。逐個(gè)因子比較，僅有P&W因子的VAR預(yù)測(cè)效果優(yōu)于DFM，而且該數(shù)值比其他因子的DFM預(yù)測(cè)都要差，這主要是由于P&W因子自身的特殊性造成的。由后文可知，當(dāng)P&W因子的DFM預(yù)測(cè)調(diào)整到p=1，q=1時(shí)，RMSE為0.88，優(yōu)于此處的VAR預(yù)測(cè)。

另外，DFM預(yù)測(cè)的RMSE較為接近，而八個(gè)VAR模型的預(yù)測(cè)效果則差別較大，RMSE從0.90到1.22。這說(shuō)明在小數(shù)據(jù)集的情況下，普通的時(shí)間序列模型在變量選擇上遠(yuǎn)比動(dòng)態(tài)因子模型敏感，采用小規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型構(gòu)建更為容易，而且能夠獲得更穩(wěn)健、更好的預(yù)測(cè)效果。這是因?yàn)閯?dòng)態(tài)因子模型關(guān)注經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象背后的“隱性因子”，使得隱藏在變量背后的共同推動(dòng)因素得以顯現(xiàn)，而摒除了每個(gè)變量的冗余信息，因此，該做法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的僅采用少量變量直接進(jìn)行預(yù)測(cè)的做法。Shrinking Method濾出共同趨勢(shì)的優(yōu)勢(shì)不僅僅顯現(xiàn)在大數(shù)據(jù)集上，該優(yōu)勢(shì)在小規(guī)模動(dòng)態(tài)因子模型上也體現(xiàn)得十分明顯。

［1］杜勇宏，王健，王汝芳.動(dòng)態(tài)因子模型與ARMA模型的比較[J]. 統(tǒng)計(jì)與決策，2011，（5）：31—32.

［2］James H.Stock，Mark W.Watson.Generlized Shrinkage methods for forecasting using many predictors[R].EOMMS：JBES09—255，2010.

［3］Eichmeier，Ziegler How successful are dynamic factor models at forecasting output and inflation？ A meta-analytic approach[J].Journal of Forecasting，2008，（3）：237—265.

［4］Marcellino，M.，Stock，J.H.，M.W.Watson.Macroeconomic Forecasting in the Euro Area：Country Specific Versus Euro Wide Information[J].European Economic Review，2003，（47）：75—122.

［5］Geriach， S.，M.S.Yiu.A Dynam ic factor for Current-quarter Estimates pf Economic Activity in Hong Kong[R].HKIMR Working Paper No.16，2004.

［6］何啟志，范從來(lái).中國(guó)通貨膨脹的動(dòng)態(tài)特征研究[J].經(jīng)濟(jì)研究，2001，（7）：91—101.