王瑞萍 皮佑國(guó)

（1.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院 廣州 510403 2.華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院 廣州 510641）

1 引言

PID控制作為線性最佳控制在工業(yè)過(guò)程控制中得到了廣泛的應(yīng)用。PID控制器依據(jù)對(duì)象模型進(jìn)行設(shè)計(jì)，方法規(guī)范成熟，簡(jiǎn)單實(shí)用，是該控制律得以廣泛應(yīng)用的根本原因。然而，控制對(duì)象的現(xiàn)有模型往往是忽略許多時(shí)變、非線性等因素而簡(jiǎn)化得到的。對(duì)于高性能的控制系統(tǒng)，上述簡(jiǎn)化忽略的因素將直接影響系統(tǒng)的性能。為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的高性能控制，人們一般從建立更加貼近實(shí)際對(duì)象的模型和改變控制器的適應(yīng)性兩個(gè)方向進(jìn)行研究[1-7]。

有學(xué)者將分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)引入控制系統(tǒng)，認(rèn)為“實(shí)際系統(tǒng)通常大都是分?jǐn)?shù)階的”[2]，但是對(duì)于分?jǐn)?shù)階建模，除有分?jǐn)?shù)階電容器的模型外[3]，尚未取得重大突破。在控制方面，越來(lái)越多的研究者關(guān)注分?jǐn)?shù)階微積分理論[4,5]和它在自動(dòng)控制領(lǐng)域的應(yīng)用[6-8]，想通過(guò)采用分?jǐn)?shù)階控制器來(lái)達(dá)到提高系統(tǒng)控制性能的目的[7,8]。近年來(lái)，有學(xué)者利用分?jǐn)?shù)階的相關(guān)特性，采用分?jǐn)?shù)階控制器控制整數(shù)階對(duì)象，取得了一系列的研究成果。1993年，Oustaloup提出了 CRONE控制器[9]，1994年 Dorcak提出了 PDμ控制器[10]，1999年I.Podlubny將傳統(tǒng)的整數(shù)階PD控制器推廣到了分?jǐn)?shù)階情形，提出了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器[11]。其中積分與微分的階次是實(shí)數(shù)，并得出 PIλDμ控制器性能優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制器、且對(duì)參數(shù)變化的敏感性較小的結(jié)論。之后許多學(xué)者在分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制器的參數(shù)整定方面作了相關(guān)研究，如：Monje等提出了一種PIλDμ控制器的參數(shù)整定方法[12]，使系統(tǒng)具有“隔離阻尼”（iso-damping）特性，且有較好的干擾抑制作用，并將所提方法應(yīng)用于液位系統(tǒng)；Zhao CN等針對(duì)一類(lèi)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)給出了一種根據(jù)增益裕量和相位裕量進(jìn)行分?jǐn)?shù)階 PIλDμ參數(shù)設(shè)計(jì)的方法[13]等。

本文以三相交流永磁同步電動(dòng)機(jī)作為控制對(duì)象，研究分?jǐn)?shù)階比例積分（FO-PI）速度控制策略。將電流環(huán)校正后的對(duì)象作為等效對(duì)象，專注分?jǐn)?shù)階比例積分（FO-PI）速度控制，研究該系統(tǒng)的速度跟隨性能。為了公平地評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)階控制器的控制性能，與按照最佳設(shè)計(jì)的整數(shù)階比例積分（IO-PI）控制器的速度系統(tǒng)的跟隨性能進(jìn)行比較。

本文的主要貢獻(xiàn)在于：①首次將分?jǐn)?shù)階速度控制器應(yīng)用到三相交流永磁同步電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)中；②在Matlab/Simulink環(huán)境下進(jìn)行仿真，研究FO-PI控制器在階躍速度給定下的速度跟隨性能以及達(dá)到的相關(guān)性能指標(biāo)，并與按照最佳設(shè)計(jì)的 IO-PI控制器的速度跟隨性能進(jìn)行比較；③用自制驅(qū)動(dòng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到FO-PI控制器在階躍速度給定下的速度跟隨性能以及達(dá)到的相關(guān)性能指標(biāo)，并與按照最佳設(shè)計(jì)的IO-PI控制器跟隨性能進(jìn)行比較。

2 控制對(duì)象、控制器和設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

2.1 控制對(duì)象

本文采用的交流永磁同步電動(dòng)機(jī)的參數(shù)如下：相電樞電阻為 R=0.29Ω，轉(zhuǎn)矩常數(shù) K=1.83N·m/A(rms)，電氣性時(shí)間常數(shù) t=19ms，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.003 41kg·m2。采用矢量控制策略，令id=0后，轉(zhuǎn)速-轉(zhuǎn)矩控制為一典型的電流、轉(zhuǎn)速雙閉環(huán)控制。電流環(huán)采用PI調(diào)節(jié)器，參數(shù)整定后，得到電流閉環(huán)等效的慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)為T(mén)=0.001 12s。進(jìn)而得到控制對(duì)象的等效模型為

由于式（1）中的系統(tǒng)增益k可以轉(zhuǎn)移到控制器的Kp中去，而不影響整個(gè)控制系統(tǒng)的系統(tǒng)增益，所以，不失一般性，將對(duì)象（1）中的系統(tǒng)增益規(guī)范化為1。

2.2 分?jǐn)?shù)階控制器與整數(shù)階控制器

為了進(jìn)行比較，分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階控制器都采用PI控制器。分?jǐn)?shù)階比例積分控制器具有如下形式

顯然，這是通用的包含積分階次λ 和微分階次的μ 的分?jǐn)?shù)階 PIλDμ控制的一種特殊形式（μ=0）。整數(shù)階PI控制器具有如下形式

式中，Kp1和Ki1分別為比例和積分增益。

2.3 設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

假定截止頻率ωc和相位裕度φm已知。為了滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性的要求，由截止頻率和相位裕度的基本定理得到如下三個(gè)關(guān)于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)的相位和幅值的準(zhǔn)則[14]：

（1）相位裕度準(zhǔn)則

（2）系統(tǒng)增益變化的魯棒性準(zhǔn)則

在給定截止頻率處，相位的導(dǎo)數(shù)為零。也就是說(shuō)，相位 Bode圖在對(duì)應(yīng)截止頻率處是平的。即系統(tǒng)對(duì)開(kāi)環(huán)增益變化的魯棒性好以及對(duì)于階躍響應(yīng)的超調(diào)量應(yīng)幾乎不變。

（3）幅值準(zhǔn)則

3 FO-PI和IO-PI控制器的設(shè)計(jì)

由式（1）知，控制對(duì)象的幅值和相位的頻率為

3.1 分?jǐn)?shù)階控制器的設(shè)計(jì)

FO-PI控制器可寫(xiě)為

其幅值和相位的頻率表示為

由式（7）和式（10），根據(jù)相位裕度準(zhǔn)則，Gk(s)的相位可以表示為

由式（13）可得Ki和λ 之間的關(guān)系為

由式（15）可建立關(guān)于Ki和λ 之間的另一關(guān)系式為

顯然，由式（14）、式（16）和式（18）三個(gè)方程，可以得到三個(gè)參數(shù)Ki、λ 和Kp的解。

3.2 設(shè)計(jì)步驟

根據(jù)式（14）和式（16），采用作圖的方法來(lái)求解Ki和λ 。具體步驟如下

（1）給定系統(tǒng)截止頻率ωc=200rad/s。

（2）給定期望的相位裕度φm=45°。

（3）根據(jù)式（14）、式（16）畫(huà)出 Ki關(guān)于λ 的曲線，如圖1所示。

（4）通過(guò)曲線交點(diǎn)得到Ki和λ 的圖解值。

（5）根據(jù)式（18）計(jì)算Kp。

圖1 Ki與λ 的關(guān)系曲線Fig.1 Ki versus λ

通過(guò)圖1可以得到，λ=0.69，Ki=41.926 2。代入式（18）計(jì)算得 Kp=114.797 4。由設(shè)計(jì)出的分?jǐn)?shù)階FO-PI控制器畫(huà)出系統(tǒng)Bode圖如圖2所示?？梢钥吹剑到y(tǒng)的截止頻率和相位裕度都滿足設(shè)計(jì)要求；在截止頻率處，Bode圖中相位曲線是平的；并且滿足提出的三個(gè)準(zhǔn)則的要求。

3.3 IO-PI控制器的設(shè)計(jì)方法

針對(duì)式（1）中描述的運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)如式（3）中描述的IO-PI控制器，可得其頻率響應(yīng)為

圖2 采用FO-PI控制器的Bode圖Fig.2 Bode diagram with FO-PI controller

通過(guò)相位裕度準(zhǔn)則，G1k(j)ω的相位表示為

由魯棒性準(zhǔn)則得到

將Kil代入可知，等式不成立。這就意味著設(shè)計(jì)的 IO-PI控制器不能同時(shí)滿足相位裕度準(zhǔn)則和魯棒性準(zhǔn)則。

為了和傳統(tǒng)的整數(shù)階控制器進(jìn)行比較，根據(jù)2.1節(jié)給出的電動(dòng)機(jī)的參數(shù)且在滿足速度超調(diào)量σ≤5%的條件下，本文采用工程設(shè)計(jì)的方法來(lái)設(shè)計(jì)雙閉環(huán)系統(tǒng)的速度控制器的參數(shù)[15]，得到Kpl=2.3，Kil=33。

4 仿真研究

對(duì)于分?jǐn)?shù)階 PIλ分?jǐn)?shù)階算子 sλ采用 Oustaloup 遞推濾波器近似[16]。假設(shè)需要逼近的頻段為 （ωb, ωh），將 sλ視為一個(gè)連續(xù)的濾波器，則，用 Oustaloup算法近似的傳遞函數(shù)為

在仿真實(shí)驗(yàn)中，為實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階算子sλ的近似，將頻率范圍選擇為從0.000 1Hz到10 000Hz。在T,ωc, τ 和φm一定的情況下，分?jǐn)?shù)階 PIλ控制器的參數(shù)由3.2節(jié)得到。

PMSM 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖 3所示，主要包括PMSM、空間電壓脈寬調(diào)制（SVPWM）、電流調(diào)節(jié)器（ACR）和速度調(diào)節(jié)器（IOC/FOC）等。

圖3 PMSM控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Block diagram of PMSM servo control system

在Matlab/Simulink環(huán)境下，按照實(shí)際的永磁同步電機(jī)模型建模與仿真，采用相同的電流內(nèi)環(huán)，用階躍信號(hào)作為輸入，其放大的曲線如圖4所示。

圖4 階躍響應(yīng)曲線Fig.4 Step responses

為了更加直觀地比較整數(shù)階控制器和分?jǐn)?shù)階控制器的跟隨性能，表1列出了其主要性能指標(biāo)：上升時(shí)間 tr、超調(diào)量δ 和調(diào)節(jié)時(shí)間 ts（±2%穩(wěn)態(tài)值）?？梢?jiàn)，采用分?jǐn)?shù)階控制器的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)跟隨性能優(yōu)于采用整數(shù)階PI控制器的系統(tǒng)。

表1 跟隨性能指標(biāo)Tab.1 Tracking performance index

圖5為用正弦波和三角波作為輸入信號(hào)的系統(tǒng)速度輸出響應(yīng)和跟隨誤差。由圖5可見(jiàn)，用正弦波和三角波作為輸入信號(hào)時(shí)，采用分?jǐn)?shù)階控制器的系統(tǒng)跟隨性能優(yōu)于采用整數(shù)階PI控制器的系統(tǒng)。

圖5 采用FO-PI和IO-PI控制器的跟隨響應(yīng)和誤差曲線Fig.5 Tracking responses and error signals with FO-PI and IO-PI controllers

5 原型實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)方案如圖6所示，控制對(duì)象為日本三洋公司的永磁同步電動(dòng)機(jī)。伺服驅(qū)動(dòng)裝置為實(shí)驗(yàn)室自制，其中同步電動(dòng)機(jī)采用SVPWM控制策略，控制器采用DSP2812芯片。實(shí)驗(yàn)用Ti Code Composer Studio（CCS）軟件在PC上執(zhí)行。

圖6 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.6 Experiment plant of PMSM servo drive

根據(jù)3.2節(jié)得到的Kp是包含控制器和控制對(duì)象兩部分的比例增益，實(shí)驗(yàn)中經(jīng)過(guò)計(jì)算取 Kp=0.23。參考文獻(xiàn)[17]得到分?jǐn)?shù)階 PIλ控制器的一種數(shù)字實(shí)現(xiàn)算法。將分?jǐn)?shù)階PI控制器算法及其參數(shù)和整數(shù)階PI控制器算法及其參數(shù)在驅(qū)動(dòng)裝置的DSP中編程，實(shí)現(xiàn)速度控制器。電流環(huán)采用PI控制，其參數(shù)經(jīng)過(guò)一定調(diào)試后在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中保持不變。

實(shí)驗(yàn)中電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速采用標(biāo)幺值（pu值），即將速度的實(shí)際值除以其同單位的基值。本實(shí)驗(yàn)中pu=1，表示轉(zhuǎn)速為2000r/min。

試驗(yàn)中，首先研究在階躍信號(hào)作用下的系統(tǒng)跟隨性能，響應(yīng)曲線圖如圖7所示，采用±2%作為穩(wěn)態(tài)誤差限，可得跟隨性能指標(biāo)見(jiàn)表2。

圖7 階躍響應(yīng)曲線Fig.7 Step responses

表2 跟隨性能指標(biāo)Tab.2 Tracking performance index

圖8a、8b為在實(shí)驗(yàn)中采集到的采用整數(shù)階速度調(diào)節(jié)器的系統(tǒng)三角波速度給定及其輸出響應(yīng)波形和采用分?jǐn)?shù)階速度調(diào)節(jié)器的系統(tǒng)三角波速度給定及其輸出響應(yīng)波形。為了能直觀地比較整數(shù)階控制器和分?jǐn)?shù)階控制器的跟隨性能，用CCS軟件采集數(shù)據(jù)，然后通過(guò) Matlab軟件將采集到的數(shù)據(jù)顯示在同一個(gè)圖形中，如圖9所示。其中9a、9b、9c分別為采用三角波、梯形波和正弦波輸入時(shí)的速度響應(yīng)及其對(duì)應(yīng)的誤差曲線。

圖8 跟隨性能實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.8 Tracking performance experiment results

圖9 采用FO-PI和IO-PI控制器的跟隨響應(yīng)和誤差曲線Fig.9 Tracking responses and error signals with FO-PI and IO-PI controllers

從表2和圖7～圖9可以看出，采用分?jǐn)?shù)階速度調(diào)節(jié)器的運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的速度響應(yīng)時(shí)間要明顯快于采用整數(shù)階速度調(diào)節(jié)器的運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)。在參考輸入波形的轉(zhuǎn)折處，采用 IO-PI速度調(diào)節(jié)器的誤差要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于采用FO-PI速度調(diào)節(jié)器的誤差。從誤差曲線可以看出，采用 IO-PI速度調(diào)節(jié)器的轉(zhuǎn)速誤差都在50r（9%）左右，而采用FO-PI速度調(diào)節(jié)器的最大誤差在 15r（2%）左右。就響應(yīng)速度和跟隨性能來(lái)看，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明分?jǐn)?shù)階速度調(diào)節(jié)器的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)跟隨性能要優(yōu)于采用整數(shù)階速度調(diào)節(jié)器的系統(tǒng)。

6 結(jié)論

本文研究交流永磁同步電動(dòng)機(jī)的分?jǐn)?shù)階速度控制，在同等實(shí)驗(yàn)條件下，分別采用階躍輸入、三角波輸入和正弦波輸入，對(duì)采用FO-PI的速度控制系統(tǒng)與采用 IO-PI的速度控制系統(tǒng)的跟隨性能進(jìn)行了仿真研究和實(shí)驗(yàn)室原型實(shí)驗(yàn)研究；對(duì)于階躍信號(hào)輸入的速度響應(yīng)，以±2%作為穩(wěn)態(tài)誤差限測(cè)量系統(tǒng)的上升時(shí)間、超調(diào)量和過(guò)渡過(guò)程時(shí)間等系統(tǒng)性能指標(biāo)。理論分析和實(shí)驗(yàn)研究都表明：FO-PI速度控制器比IO-PI速度控制器具有更快的響應(yīng)速度和更好的跟隨性能，適合于更高跟隨性能要求的速度控制系統(tǒng)中作為速度控制器。

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