王忠善，何 欣，付亮亮，田富湘

（中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033）

引 言

反射鏡作為空間相機的關(guān)鍵部件，其支撐技術(shù)是空間相機工程應(yīng)用的關(guān)鍵。為保證成像質(zhì)量，必須對反射鏡面型精度及其動態(tài)特性特別是一階頻率都有較高要求［1］。支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計問題一般具有不可重復(fù)的高度非線性特點，變量很多而且關(guān)系復(fù)雜，很難用確切的數(shù)學(xué)、力學(xué)模型來描述。一般工程中都需要依靠有限元分析來進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，但是結(jié)構(gòu)選型和設(shè)計的重復(fù)性工作，需要大量結(jié)構(gòu)分析的計算量，僅靠輸入?yún)?shù)進行有限元計算來得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)的方法顯然是不現(xiàn)實的。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在處理這個問題方面有著傳統(tǒng)方法無法比擬的優(yōu)越性，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對輸入節(jié)點沒有限制，它適合解決結(jié)構(gòu)工程中諸多影響因素的問題，神經(jīng)元中的激活函數(shù)本身可以選用非線性函數(shù)，它能處理非常復(fù)雜的非線性問題，因此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用是可行的?，F(xiàn)利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高度非線性逼近能力來對空間反射鏡支撐結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計，構(gòu)造一個網(wǎng)絡(luò)虛擬函數(shù)對結(jié)構(gòu)參數(shù)與結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的非線性關(guān)系進行模擬，通過有導(dǎo)師的學(xué)習(xí)方法不斷優(yōu)化虛擬函數(shù)，最終找到一個從結(jié)構(gòu)參數(shù)到結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的非線性映射，再從此非線性映射結(jié)果中找出使輸出結(jié)果最優(yōu)的輸入解。

1 反射鏡支撐結(jié)構(gòu)設(shè)計

優(yōu)化的反射鏡尺寸為φ210mm，厚度20mm。反射鏡輕量化后的結(jié)構(gòu)見圖1（文中沿用此坐標(biāo)系）。

基于反射鏡撓性安裝的原理，文中采用背部周邊撓性支撐方式，定位原理如圖2所示。三個只提供徑向柔性的結(jié)構(gòu)按等邊三角形組合作用形成對反射鏡的支撐，每個單獨的柔性結(jié)構(gòu)在軸向是剛性的［2］，這樣組合限制了反射鏡的軸向（z向）平移和在鏡面平面內(nèi)的兩向轉(zhuǎn)動（繞x、y軸），每個單獨的柔性結(jié)構(gòu)在切向是剛性的，這樣組合限制了反射鏡沿x、y軸的平移和繞鏡面法向z軸的轉(zhuǎn)動。

圖1 反射鏡輕量化結(jié)構(gòu)Fig.1 Lightweighting structure of mirror

圖2 共面徑向柔性定位原理圖Fig.2 Principle diagram of coplanar radial flexible mounting

為符合上面的定位原理，綜合考慮幾何尺寸、工藝性能和重量等要求，設(shè)計的柔性支撐結(jié)構(gòu)如圖3所示。為使柔性結(jié)構(gòu)在軸向提供足夠的剛度并避免反射鏡沿其法線方向平移，柔性結(jié)構(gòu)在軸向要有一定的高度。這樣即使由于溫度變化引起了反射鏡的徑向伸縮運動，也不會在反射鏡內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力［3］。為了充分適應(yīng)反射鏡的溫度變形，應(yīng)謹慎選取柔性結(jié)構(gòu)的徑向厚度和切向的長度，從而既使反射鏡面形達標(biāo)，又能保證反射鏡組件的動態(tài)剛度特性。

該柔性支撐結(jié)構(gòu)主要提供徑向柔性和切向剛性、軸向剛性，如圖4所示。

圖3 柔性支撐結(jié)構(gòu)Fig.3 The flexible structure

圖4 柔性結(jié)構(gòu)參數(shù)圖Fig.4 Parameter of the flexible structure

柔性環(huán)節(jié)優(yōu)化問題就是三個方向剛度匹配的問題，即保證柔性懸臂長度l和最薄處橫截面寬度b和高度h三個尺寸參數(shù)的優(yōu)化組合，使得反射鏡面形和動態(tài)剛度達到要求。從柔性支撐的結(jié)構(gòu)形式和分析結(jié)果都可以看出，柔性環(huán)節(jié)的高度對鏡面面形及一階頻率影響最不敏感，而且限于反射鏡空間位置約束，柔性環(huán)節(jié)的高度參數(shù)變化范圍有限，因此根據(jù)設(shè)計經(jīng)驗取為12mm。下文的優(yōu)化主要針對柔性環(huán)節(jié)的寬度和長度這兩個參數(shù)。

圖5 基本神經(jīng)元模型Fig.5 Basic neuron model

2 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的柔性環(huán)節(jié)優(yōu)化設(shè)計

2.1 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)確定

作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本單元的神經(jīng)元模型有三個要素：一組連接、一個求和單元和一個非線性作用函數(shù)。其模型如圖5所示。

用數(shù)學(xué)式表達為：

式（1）中，xi表示輸入，yk表示輸出，βik表示連接權(quán)值，φ（）表示激活函數(shù)。

從作用效果看前饋網(wǎng)絡(luò)主要是函數(shù)映射，可以用于模式識別和函數(shù)逼近。考慮文中的應(yīng)用，選擇前饋網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，其拓撲結(jié)構(gòu)為有向無環(huán)的前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，各神經(jīng)元接收前一層的輸入，并輸出給下一層，沒有反饋。節(jié)點分為兩類，即輸入單元和計算單元，每一個計算單元可以有任意多個輸入，但只有一個輸出（它可以耦合到任意多個其他節(jié)點作為其輸入），輸入層和輸出層節(jié)點與外界相連，其他中間層為隱含層。

在已經(jīng)確定反射鏡結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，考慮支撐結(jié)構(gòu)柔性參數(shù)對反射鏡面型精度一階及動態(tài)特性的影響，因此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入為柔性環(huán)節(jié)的厚度、高度和長度，輸入層神經(jīng)元數(shù)為3，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出為反射鏡面型rms值及反射鏡組件一階模態(tài)頻率，故輸出層神經(jīng)元數(shù)為2。

對于3層前饋網(wǎng)絡(luò)，有以下的萬能逼近定理：只要隱含層節(jié)點數(shù)足夠多，能以任意精度逼近有界域上的任意非線性連續(xù)函數(shù)［4］。顯然，這是一個存在性結(jié)論。在設(shè)計BP網(wǎng)絡(luò)時可參考這一點，應(yīng)優(yōu)先考慮3層前向網(wǎng)絡(luò)（即有1個隱層）?？吭黾与[含層節(jié)點數(shù)來獲得較低的誤差，其訓(xùn)練效果要比增加隱含層數(shù)更容易實現(xiàn)。根據(jù)經(jīng)驗隱含層神經(jīng)元數(shù)一般不能少于輸入與輸出神經(jīng)元數(shù)之和［5］。采用單隱含層結(jié)構(gòu)，隱含層神經(jīng)元數(shù)為10。

隱含層激勵函數(shù)選擇廣泛應(yīng)用的Sigmoid函數(shù)，即：

式（2）中，u表示隱含層節(jié)點的輸入。

輸出節(jié)點的激活函數(shù)根據(jù)應(yīng)用的不同而異，如果前向網(wǎng)絡(luò)用于函數(shù)逼近，則輸出層節(jié)點應(yīng)該用線性函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)用作非線性虛擬函數(shù)逼近，所以輸出層節(jié)點選擇線性函數(shù)。前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)如圖6所示。

2.2 柔性環(huán)節(jié)樣本參數(shù)確定

在已經(jīng)確定反射鏡結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，考慮支撐結(jié)構(gòu)柔性參數(shù)對反射鏡面型精度及一階動態(tài)頻率特性的影響，利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立非線性映射關(guān)系，尋找極小值求得最優(yōu)解，獲取最優(yōu)結(jié)構(gòu)。

為了獲取網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，建立訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)如表1所示，表中數(shù)據(jù)均由有限元分析軟件計算得到。由計算可知，在y向重力載荷與5℃溫升載荷作用下，數(shù)據(jù)較差，所以文中訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)就采用此工況下的計算結(jié)果［6］。如若采用更多的樣本數(shù)據(jù)，使有限元分析計算量變大，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬非線性失去意義，而且網(wǎng)絡(luò)泛化結(jié)果也表明下面的樣本數(shù)量足夠。

圖6 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Topology structure of neural network

表1 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練樣本Tab.1 Artificial neural network training samples

2.3 MATLAB人工BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)

MATLAB工具箱提供了方便的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，可以實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的創(chuàng)建、初始化、和訓(xùn)練。用MATLAB實現(xiàn)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模擬主要包括：（1）數(shù)據(jù)歸一化；（2）數(shù)據(jù)分類，主要包括打亂數(shù)據(jù)順序；（3）建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，包括設(shè)置多少層網(wǎng)絡(luò)，設(shè)置隱含層的傳輸函數(shù)等；（4）指定訓(xùn)練參數(shù)進行訓(xùn)練；（5）完成訓(xùn)練后，就可以調(diào)用訓(xùn)練結(jié)果，輸入測試數(shù)據(jù)，進行測試；（6）數(shù)據(jù)進行反歸一化；（7）誤差分析、結(jié)果預(yù)測、作圖等。

2.4 利用網(wǎng)絡(luò)泛化求得輸入最優(yōu)解

根據(jù)指標(biāo)要求鏡面面形值越小、一階頻率越大說明反射鏡支撐結(jié)構(gòu)性能越優(yōu)，采取一階頻率與鏡面面形的差值作為判斷值，即此差值最大值所對應(yīng)的輸入就是參數(shù)最優(yōu)解?？紤]頻率值和面形的綜合影響，為使頻率值和面形值在同一數(shù)量級進行比較，程序中采用加權(quán)差值Δ＝0.025h－rms。

利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)高度的非線性逼近能力，對輸入?yún)?shù)細分量化，輸入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算擬合給出輸出結(jié)果。得到輸入?yún)?shù)和輸出判斷值即一階頻率與鏡面面形的加權(quán)差值Δ的關(guān)系如圖7所示。

用MATLAB編制程序可知在輸出判斷值最大點的輸入值為b＝3.6mm，l＝29mm。

2.5 有限元分析驗證最優(yōu)解

為充分驗證此非線性網(wǎng)絡(luò)的泛化能力，將得到的最優(yōu)解再建立有限元模型進行分析，計算結(jié)果見表2，一階振型云圖如圖8所示。從表中可看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合的結(jié)果和工程分析的結(jié)果相差較小，在5%以內(nèi)。

圖7 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬輸入輸出非線性關(guān)系Fig.7 Nonlinearity between input and output by artificial neural network

圖8 一階振型云圖Fig.8 The first step vibration shape

表2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬結(jié)果和工程分析結(jié)果對比Tab.2 Comparison artificial neural network simulation result with finite element analysis

3 結(jié) 論

在反射鏡組件設(shè)計中，確定合理的支撐結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。文中對某工程項目中的一種小型反射鏡提出了一種支撐方案，采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性模擬能力模擬反射鏡組件輸出要求和支撐柔性結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的非線性關(guān)系，用MATLAB編制程序得到此非線性映射網(wǎng)絡(luò)，并最終找到最優(yōu)解。這樣不但可以大大簡化工作量巨大的有限元分析工作，而且計算結(jié)果表明通過網(wǎng)絡(luò)模擬的結(jié)果和工程分析的結(jié)果很接近，精確度足夠工程應(yīng)用。需要注意的是，網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本需要根據(jù)具體結(jié)構(gòu)特性謹慎選取，既要考慮參數(shù)可能遍布的范圍，又不能使計算量過大，使設(shè)計周期變長。

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