倪瑞遙，陳家璧，莊松林

（上海理工大學(xué) 光電信息與計算機工程學(xué)院，上海 200093）

引 言

隨著年齡的增長，人們眼睛的調(diào)焦能力逐漸減弱，成為通俗意義上的老花眼。傳統(tǒng)的矯正方法是佩戴正光焦度鏡片即老花鏡，但這種方法不能兼顧矯正近視眼。人們需要一副兼顧遠(yuǎn)近的眼鏡，由此單光鏡逐漸發(fā)展成雙光鏡和三光鏡，但由于其觀察中距離效果不佳，每個區(qū)域的聚焦范圍有限，不能獲得全程的連續(xù)視覺，在分界線處存在“像跳”的現(xiàn)象，給使用者帶來不便。在這種需求下，漸變焦眼鏡應(yīng)運而生。漸變焦鏡片是一種光焦度由上而下逐漸增加的鏡片，只用一塊鏡片就可以提供連續(xù)的由遠(yuǎn)而近都較清晰的視覺。

1907年美國人Owen Aves首次提出漸變焦鏡片的構(gòu)思［1］：鏡片由前后兩個曲面構(gòu)成，將前面設(shè)計成球面形式，將后面設(shè)計為垂直（子午線）方向為彈道曲線狀的曲面形式。1910年Henry Orford Gowlland提出了使用非球面技術(shù)解決鏡片漸進的思想，但由于技術(shù)限制，并沒有獲得實際應(yīng)用。1920年，伯萊恩和考涅特提出了新曲面的概念，即鏡片的兩個曲面由彎曲度自上而下逐漸加大的鏡面構(gòu)成，從而實現(xiàn)鏡度自上而下逐漸增加的目的［2－3］。但是，這兩種鏡片有同樣的明顯缺陷：像差太大，超出人眼所能承受的限度，無法佩戴使用。

法國依視路公司的光學(xué)工程師Bernard Maitenaz于1958年獲得了突破性進展，第一次描述了這種鏡片的加工方法，同年，依視路公司研制出真正適合臨床佩戴的第一副漸變焦眼鏡，1959年依視路正式命名這種鏡片為Varilux I，并將其投入市場一舉獲得成功［4］。

而后，1972年依視路又推出了第二代的生理性漸進鏡片，相比第一代著重提高了中距離的視效，強調(diào)視覺均衡，而第三代的多樣化設(shè)計漸進鏡片則尋找了多種加光度的合理曲面，以解決不同年齡的老視者的需求，1993年推出了第四代以使佩戴者得到更接近正常生理狀態(tài)的舒適型漸進鏡片，2000年已經(jīng)推出第五代全景超視漸進鏡片以期佩戴者得到更完美的空間視覺和知覺［5－6］。

正是漸變焦眼鏡市場有很好的發(fā)展前景，所以國內(nèi)外很多學(xué)者都進行了相關(guān)的研究工作，包括用哈特曼傳感器進行一些測量工作［7］、比較各種漸變焦鏡片的設(shè)計方法［8］和對漸變焦子午線的相關(guān)研究［9］。但是大多學(xué)者都只是進行了一些分析工作，關(guān)于漸變焦鏡片的詳細(xì)設(shè)計方法和研制報告并不多見。文中介紹了漸變焦眼鏡片的結(jié)構(gòu)和原理，給出其子午線上光焦度分布和面型的設(shè)計方法，并分析子午線光焦度分布設(shè)計在漸變焦鏡片研制中的作用。

1 漸變焦眼鏡片的結(jié)構(gòu)

漸變焦鏡片可以近似看成由若干個視球在垂直方向連接而成（圖1）。當(dāng)然，漸變焦鏡片結(jié)構(gòu)是任意點的光焦度平滑連接而成的曲面結(jié)構(gòu)，正是這一連續(xù)的曲面結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了鏡片上的光焦度的漸進變化，使?jié)u變焦鏡片佩戴者的視野不再被割斷而是連續(xù)的，從而佩戴者在視覺范圍內(nèi)可以得到自然的視覺生理狀態(tài)。

漸變焦眼鏡片一般分為視遠(yuǎn)區(qū)、視近區(qū)、中間過渡區(qū)和像散區(qū)4個區(qū)域，如圖2所示。視遠(yuǎn)區(qū)A為位于漸變焦鏡片上半部分的寬闊區(qū)域，在人眼處于放松平視狀態(tài)下矯正視遠(yuǎn)能力，提供清晰、寬闊的視野。視近區(qū)C對于大多數(shù)漸變焦鏡片來說位于視遠(yuǎn)參考圈中心下方約10～18mm，具體位置因漸變焦鏡片使用類型、設(shè)計方法以及校正老視程度、人眼瞳距和用眼習(xí)慣等的不同而有相應(yīng)的差異。漸變區(qū)B是連接視遠(yuǎn)區(qū)和視近區(qū)的中間區(qū)域，也是漸變焦鏡片設(shè)計的核心，為漸變焦鏡片區(qū)別于雙光鏡的主要特征區(qū)域。根據(jù)不同的設(shè)計樣式，漸變區(qū)可以是線性變化，或呈其他函數(shù)形式變化。文中的設(shè)計方法是后者，這樣的設(shè)計可以使?jié)u變鏡的視近區(qū)位置較高、寬度較大，改善視覺效果好。

圖1 鏡片矢狀剖面與多球面關(guān)系Fig.1 Relation of sagittal section to spherical

圖2 漸變焦眼鏡的分區(qū)示意圖Fig.2 Areas of progressive power spectacles

像散區(qū)D1和D2為鏡片兩側(cè)存在像差的區(qū)域，由于鏡片表面曲率變化導(dǎo)致的像差，主要為散光和棱鏡像差，在一定程度上會干擾視覺、產(chǎn)生視覺模糊或變形，影響佩戴者對鏡片的適應(yīng)。這些像差是漸變焦眼鏡與生俱來的，它的存在無論是從設(shè)計上還是從工藝上都無法完全消除。鏡片兩側(cè)的像差始終會造成視物變形，尤其當(dāng)眼睛由漸變區(qū)向旁邊看時更甚。

2 漸變焦眼鏡片的設(shè)計方法

2.1 子午線設(shè)計

漸變焦眼鏡片為一個平凹（凸）薄透鏡，其前表面為平面（當(dāng)需要將前表面制作成凸面時則另一面為平面）。如圖3所示為平凸薄透鏡，定義一個右手直角坐標(biāo)系o－xyz，坐標(biāo)面xoy和鏡片后表面相切于幾何中心點o，x軸豎直向下，y軸垂直紙面向外，z軸指向人眼，鏡片的前表面為平面，對于光焦度沒有貢獻，不予考慮。若鏡片材料的折射率為n，則漸變面上任意點的光焦度等于此點處的曲率和鏡片與空氣折射率之差（n－1）的乘積。

考慮子午線的情況，從視遠(yuǎn)區(qū)參考點F到視近區(qū)參考點N曲率半徑逐漸變化。設(shè)F點相對o點沿x軸向上偏移長度為L，F(xiàn)，N 之間的距離為h，子午線MM′上任一點Q（u，0，z）的曲率和其x軸坐標(biāo)值u｛u∈［－L，－L＋h］｝的關(guān)系一般可以由下面的 N 階多項式［10－12］表示：

圖3 漸變焦鏡片子午線構(gòu)造原理圖Fig.3 The principal vertical meridian of progressive power spectacles

式（1）中，rF、rN和rQ分別表示F，N和Q點曲率半徑，Cn為待定系數(shù)。

從式（1）可知通過取不同的階次能夠得到不同的子午線光焦度漸增方式，設(shè)子午線上任意一點Q的曲率半徑為rQ，在Q點處的曲線法線上取一點q（見圖3），使Qq＝rQ，以q為圓心，rQ為半徑作一個圓與子午線相切于Q點，這個圓叫做子午線在點Q處的曲率圓。所以，總可以把子午線上任意一點Q看成在一系列球面的某一個球面上，這些球面的曲率半徑從rF逐漸變化成rN。當(dāng)任意點Q在子午線上移動時，相應(yīng)的曲率中心q的軌跡曲線mm′稱為子午線的漸屈線。所以，任意點Q對應(yīng)的曲率中心q位于子午線的漸屈線mm′上，長度Qq即為Q處的曲率半徑，直線Qq垂直于子午線而與mm′相交于點q。

若用（ε，η，ζ）表示q點的坐標(biāo)，已知子午線上Q點的x坐標(biāo)值u和曲率半徑r，容易從幾何關(guān)系得出下面關(guān)系式：

每一個球面與子午線切點的x坐標(biāo)值u都不相同，所以從圓心坐標(biāo)和半徑可得到這一系列的球面方程為：

由式（1）和式（6）可以確定子午面內(nèi)光焦度變化方式和密切圓方程，下面進一步確定整個漸變焦的面型。

2.2 漸變焦眼鏡片的面型設(shè)計

首先在xoy坐標(biāo)面中定義一個光焦度分布函數(shù)ω（x，y），它滿足以下邊界條件：

漸變焦眼鏡的設(shè)計思想是在鏡片的漸變區(qū)做到光焦度平緩漸變，從而解決雙光鏡存在的視覺阻斷、跳躍等現(xiàn)象。若需要函數(shù)ω（x，y）平緩漸變，則要求其梯度的平均值達到最小，即下述函數(shù)的值最小：

根據(jù)變分法中的歐拉－拉格朗日公式可知，當(dāng)式（9）取最小值時，函數(shù)ω（x，y）必須滿足拉普拉斯方程［10－11］，即

分析到這里可發(fā)現(xiàn)等光焦度線需要滿足式（7）、式（8）式的邊界條件和式（10）的拉普拉斯方程。這樣的解很多，需要選擇與子午線正交的等光焦度線的曲線形式，等光焦度線可以是直線、拋物線、雙曲線、圓或橢圓，其曲線形式的選擇需要與鏡片佩戴者個性化設(shè)計要求相匹配?，F(xiàn)采用圓作為等光焦度線，如圖4所示。

設(shè)通過鏡面任一點總存在一個圓柱面和子午線相交，交點x坐標(biāo)值為u，并且沿著此柱面和坐標(biāo)面xoy的交線的光焦度值恒等于（u，0）處的光焦度，由式（7）、式（8）和式（10）聯(lián)立求解可得滿足條件的一個近似解［12－14］：

圖4 xoy坐標(biāo)下漸變焦鏡片的平面圖Fig.4 Veiw in vertical elevation（xoy）of progressive addition lens

對于－L到－L＋h之間的任意一個u值，總存在一個包含等曲率線的圓柱面。這些圓柱面在區(qū)間（h－L，－L）中與x軸只有一個交點，這些圓柱面和漸變鏡片表面相交處的曲率半徑為對應(yīng)光焦度ω（u，0）的常數(shù)。這些交點連起來就成為一條等曲率或者說是等光焦度的交線，這些交線構(gòu)成了整個漸變鏡片的表面。而且，根據(jù)前述證明，這些曲線組成的曲面是一個光滑連續(xù)漸變的曲面。

將式（11）代入式（2）～式（6）可得漸變焦鏡片表面上任意點的矢高表達式：

3 子午線上屈光度分布設(shè)計的比較

為了比較不同子午線屈光度分布對漸變焦鏡片的影響，選擇同一鏡片參數(shù)進行設(shè)計：視遠(yuǎn)點鏡片度數(shù)為1.0m－1，視遠(yuǎn)與視近之間的加光度數(shù)為1.5m－1，鏡片漸變區(qū)高度h＝18mm，視遠(yuǎn)點與鏡片中心點的間距L＝7mm。鏡片直徑為60mm，折射率n＝1.498。

根據(jù)式（1）所定義的子午線的N 次多項式，分別取N＝8、N＝4、N＝1設(shè)計出3種不同的子午線屈光度分布，如圖5所示。三種子午線在視遠(yuǎn)點和視近點有相同的屈光度值，曲線1為N＝4時子午線屈光度分布；曲線2為N＝8時子午線屈光度分布；曲線3為N＝1時，子午線屈光度分布（呈線性變化）。從圖中可以看出，與曲線1相比，曲線2的屈光度在視遠(yuǎn)點和視近點之間變化較快，而在視遠(yuǎn)點和視近點附近皆有比較緩慢的穩(wěn)定變化趨勢。曲線3為線性變化，在整個子午線上無屈光度緩慢變化的區(qū)域［15］。

圖5 三種子午線屈光度分布圖Fig.5 Power curves for three kinds of the meridian line

由此可知，線性變化的曲線3由于接近視遠(yuǎn)區(qū)和視近區(qū)時屈光度都變化過快，所以在鏡片的過渡區(qū)會產(chǎn)生很大的像差。由曲線1設(shè)計制作出來的鏡片會擁有開闊的、象散較小的視近區(qū)域和較為寬闊的漸變區(qū)域，但其視遠(yuǎn)區(qū)域狹窄，在實際使用上有一定的局限性。它代表了一個類型的漸變焦眼鏡，近距離作業(yè)為主的工作人員可以選擇佩戴這種眼鏡，但如果較長時間使用遠(yuǎn)視區(qū)域就會出現(xiàn)不適反應(yīng)，所以并不是日常生活的首選。而曲線2雖然使其漸變區(qū)域狹窄，在使用漸變區(qū)時會產(chǎn)生較大的像差，但其在漸變區(qū)過度到遠(yuǎn)視和近視區(qū)時均變化緩慢，可以擁有較為寬闊的視遠(yuǎn)區(qū)和視近區(qū)，滿足日常生活的使用要求，能夠達到設(shè)計漸變焦眼鏡的要求。

4 設(shè)計實例

光焦度增量為2.00m－1的鏡片，選取視遠(yuǎn)區(qū)參考點F和視近區(qū)參考點N 的光焦度分別為0.5m－1和2.5m－1，選用折射率為1.6的樹脂材料作為鏡片。取F點和N 點之間距離h＝18mm，視遠(yuǎn)點F與鏡片中心點的間距L＝7mm，鏡片直徑為60mm，取N＝8并合理選取式（1）中系數(shù)Cn，加工得到鏡片像散分布圖如圖6所示。

首先，從設(shè)計要求來看鏡片實現(xiàn)了從－0.5m－1到－2.5m－1的漸進變化。參照圖6可以發(fā)現(xiàn)，視遠(yuǎn)區(qū)和視近區(qū)像散很小，漸變區(qū)通道的像散有所增加，但也相對不大，周邊區(qū)域像散逐漸增大。故該鏡片的測量結(jié)果與設(shè)計要求相符，佩戴該鏡片在視遠(yuǎn)和視近時都有理想的視覺效果。

圖6 漸變焦鏡片的像散分布圖Fig.6 Contours of constant surface astigmatism of progressive addition lens

5 結(jié) 論

根據(jù)漸變焦鏡片的結(jié)構(gòu)論述了漸變焦鏡片的設(shè)計思想，介紹了漸變焦鏡片運用高階多項式設(shè)計的子午線方程和以圓作為等屈光度輪廓線的面型設(shè)計方法，通過采用微分和幾何學(xué)原理得到漸變焦鏡片上任意點的矢高表達式。根據(jù)子午線方程給出三種不同的子午線屈光度分布，比較了三種設(shè)計所對應(yīng)的鏡片并分析了各自的特點。從上述的結(jié)果可見，子午線屈光度變化對漸變焦鏡片的設(shè)計結(jié)果影響較大，根據(jù)使用條件，合理選取漸變焦鏡片子午線高階多項式參數(shù)，可以設(shè)計出滿足不同使用要求的漸變焦鏡片。

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