劉少陽，習(xí)勇，李穎，魏急波，ALISTER Burr

（1. 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙 410073；2. 中國電子系統(tǒng)工程公司研究所，北京 100141；3. Department of Electronics, York University, Heslington, Yo105DD, UK）

1 引言

在協(xié)同通信系統(tǒng)中，節(jié)點相互幫助進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)發(fā)，能夠有效地對抗分布式無線網(wǎng)絡(luò)中的信道衰落影響，從而提高系統(tǒng)的傳輸可靠性或系統(tǒng)容量。協(xié)同通信是目前的研究熱點，基于不同的設(shè)計準(zhǔn)則和信道條件假設(shè)，學(xué)者們提出了不同的協(xié)同方案和策略。在這些協(xié)同策略中，放大轉(zhuǎn)發(fā)(AF, amplify-and-forward)和解碼轉(zhuǎn)發(fā)(DF, decode- and-forward)模式，DF包括固定DF和選擇性DF，由于其實現(xiàn)簡單，受到了廣泛研究。對于AF模式來說，中繼將收到的來自源節(jié)點的信號進(jìn)行放大，并轉(zhuǎn)發(fā)給目的節(jié)點；而對于DF模式來說，中繼首先將接收到的來自源節(jié)點的信號進(jìn)行解碼，重新編碼后轉(zhuǎn)發(fā)給目的節(jié)點。

目前，有很多文獻(xiàn)對協(xié)同AF和DF模式性能進(jìn)行了研究，或?qū)烧叩男阅苓M(jìn)行了比較。這些研究，或者是基于不同的性能準(zhǔn)則，例如中斷概率[1]、中斷容量[2]、誤符號率(SER)[3,4]；或者基于不同的信道衰落條件假設(shè)，包括瑞利衰落[3]、萊斯衰落[5]；或者是聯(lián)合多中繼[3]和中繼選擇[6,7]進(jìn)行性能分析；或者是結(jié)合混合 ARQ[8,9]系統(tǒng)進(jìn)行性能分析等等。

特別地，Laneman在文獻(xiàn)[1]中以中斷概率為準(zhǔn)則，評估了不同的協(xié)同策略在瑞利衰落下的性能；研究表明，除固定DF外，所有其他的協(xié)同策略均能夠獲得全分集增益，在高信噪比下，選擇性 DF模式與AF模式兩者性能等同。

盡管目前有大量的文獻(xiàn)對不同協(xié)同策略下的性能進(jìn)行了研究，這些性能分析主要是以SER或者BER（誤碼率）或者中斷概率為準(zhǔn)則的。然而，對于實際的協(xié)同通信系統(tǒng)來說，分析誤幀率（PER,packet error rate）性能通常比分析誤碼率來的更加直觀明顯，因為對于大部分實際無線通信系統(tǒng)來說，數(shù)據(jù)總是以分組的形式發(fā)送出去的，而不僅僅是比特流；這樣，系統(tǒng)的吞吐量性能主要取決于PER而不是BER。特別是對選擇性DF來說，數(shù)據(jù)是基于分組的形式一幀一幀地傳輸，這樣中繼節(jié)點才有可能根據(jù)每一幀數(shù)據(jù)的CRC（循環(huán)冗余校驗）進(jìn)行錯誤檢測，并且將分組數(shù)據(jù)的解碼狀態(tài)反饋給源節(jié)點。盡管目前大部分對協(xié)同通信系統(tǒng)性能的研究都假設(shè)中繼節(jié)點能夠?qū)γ總€符號進(jìn)行獨立的錯誤檢測，考慮到實際的信令開銷，這幾乎是不現(xiàn)實的。

另一方面，衰落信道下的誤幀率分析長期以來也一直是研究的難點。文獻(xiàn)[10]研究了 Turbo碼在衰落信道下的誤幀率性能，文獻(xiàn)[11]基于 Chernoff上界推導(dǎo)了衰落信道下未編碼系統(tǒng)的誤幀率；文獻(xiàn)[12,13]用數(shù)值近似的方法獲得一般情況下（任意調(diào)制與編碼方式）的誤幀率，但仍存在一定的偏差；文獻(xiàn)[14]基于一個新的積分不等式得出了一般情況下（任意分組長度與調(diào)制編碼）衰落信道誤幀率的緊上限。文獻(xiàn)[15]分析了分組協(xié)同通信系統(tǒng) AF模式和DF模式的性能，并討論了分組長度（幀長度）對AF模式和DF模式性能差異的影響。本文與文獻(xiàn)[15]的不同點與擴(kuò)展之處在于：1）本文基于文獻(xiàn)[14]提出的積分不等式，從數(shù)學(xué)的角度嚴(yán)格地證明了分組長度對AF模式和DF模式性能差異；2）本文的研究中考慮了編碼系統(tǒng)；3）本文還分析了分組長度對于最優(yōu)中繼節(jié)點選擇的影響。

2 系統(tǒng)模型

考慮一個典型的無線協(xié)同中繼通信系統(tǒng)，中繼節(jié)點R位于源節(jié)點S和目的節(jié)點D之間，如圖1所示，源節(jié)點發(fā)送分組數(shù)據(jù)給目的節(jié)點，中繼節(jié)點對源節(jié)點進(jìn)行輔助轉(zhuǎn)發(fā)。

圖1 3節(jié)點協(xié)同中繼系統(tǒng)模型

協(xié)同過程分為2個階段：第一階段，源節(jié)點廣播信號至中繼節(jié)點和目的節(jié)點。假設(shè)源節(jié)點發(fā)送功率為P的廣播信號x，中繼節(jié)點的接收信號ysr和目的節(jié)點的接收信號ysd可以分別表示為

第二階段，中繼節(jié)點轉(zhuǎn)發(fā)接收到的來自源節(jié)點的復(fù)制信號xr（可能是錯誤的，或者是受到了噪聲影響包含轉(zhuǎn)發(fā)功率的信號，其功率大小依賴于轉(zhuǎn)發(fā)模式）至目的節(jié)點，因此可將目的節(jié)點的接收信號yrd表達(dá)為

本文假設(shè)所有的信道都是準(zhǔn)靜止的瑞利衰落信道，在式(1)～式(3)中，hsr、hsd和hrd分別表示源-中繼(S-R)信道，源-目的(S-D)信道，中繼-目的(R-D)信道的瑞利衰落系數(shù)，該系數(shù)同時包括了路徑損耗和瑞利平坦衰落的影響。nsr、nsd和nrd為高斯白噪聲信號，具有相同的功率譜密度N0。

基于準(zhǔn)靜止的衰落信道模型，本文假設(shè)信道衰落系數(shù)hij( i ∈ { s, r} , j ∈ { r, d } ,i ≠ j)在一個分組的發(fā)送期間保持恒定，在分組與分組之間服從獨立的衰落。在接收端，瞬時的接收信噪比（SNR）γij可以表示為

考慮具有CRC校驗的分組系統(tǒng)，采用一定的糾錯編碼或者未編碼方式進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸。假設(shè)數(shù)據(jù)幀的接收瞬時信噪比為γ，并且定義f()γ為瞬時信噪比與誤幀率的函數(shù)。對于未編碼的分組數(shù)據(jù)傳輸，誤幀率可以表示為

其中， b(γ)為在給定的瞬時接收信噪比時系統(tǒng)在高斯信道下的BER，n為數(shù)據(jù)分組的bit數(shù)目。對于非相關(guān)DPSK解調(diào)，BER可以表示為bDPSK(γ)=e-γ/2，而對于MPSK相關(guān)解調(diào)，BER形式為bMPSK(γ)=，這里Q(·)表示高斯Q函數(shù)，定義為Q( x)=，其中，k1, k2＞0為與調(diào)制相關(guān)的系數(shù)。

如果接收瞬時信噪比SNR具有概率密度分布函數(shù)p()γ，那么平均誤幀率(fP)可以表示為

3 準(zhǔn)靜止衰落信道下的漸近平均誤幀率分析

1) 定理1 假設(shè)f()γ為給定接收瞬時信噪比γ，系統(tǒng)在高斯白噪聲信道（AWGN）下的誤幀率函數(shù)，并假設(shè)存在，β為與信道相關(guān)的衰落系數(shù)，其概率密度分布函數(shù)為p(β)，假設(shè)p(β)在零點處可以展開為多項式p(β)=atβt+O(βt+ε)(at＞0,t＞-1,ε＞0)，那么在高信噪比下，系統(tǒng)在準(zhǔn)靜態(tài)衰落下的漸近誤幀率可以表示為

證明 根據(jù)式（5），平均誤幀率可以表達(dá)為

那么

值得注意的是，本文借鑒了文獻(xiàn)[16]分析平均SER性能的思想，將其推廣到平均PER的情況，核心的區(qū)別在于本文存在性假設(shè)。文獻(xiàn)[14]指出，對于常見的調(diào)制和編碼方式，不論分組長度，對于任何的m≥-1/2，假設(shè)存在是合理的。

2) 瑞利衰落下的平均誤幀率

該積分通常不能夠獲得解析表達(dá)式，因此，定義一個新的變量

于是，式(9)可表示為

3) 兩瑞利衰落分支最大比合并下的平均誤幀率

對于2支路瑞利衰落，有2個指數(shù)隨機(jī)變量β1和β2，設(shè)其均值分別為E[β1]=和E[β2]=，使用最大比合并，合并后的等效信道衰落系數(shù)β(β=β1+β2)具有如下的概率密度分布函數(shù)

p(β)的Maclaurin級數(shù)展開為

與前文類似，定義

式(14) 簡化為

4) 關(guān)于w0和w1

通常來說，如果能夠給定一個f(γ)的顯示表達(dá)式，例如對于未編碼分組傳輸系統(tǒng)，f(γ)可以用式(4)表示，那么w0和w1的值能夠通過符號積分或者數(shù)值積分獲得。對于BCH(n, m0, t)編碼系統(tǒng)，n為分組長度，m0為信息比特數(shù)目，t為最大糾錯能力，假設(shè)硬判決解碼，那么f(γ)可以表示為

對于一般的編碼系統(tǒng)，f(γ)可以通過界限技術(shù)進(jìn)行估計，諸如聯(lián)合限、球形限等。

為了分析w0和w1的關(guān)系，首先介紹一個積分不等式引理[14]。

引理1 定義f( x)為區(qū)間(a, b)上的有界非負(fù)的可積函數(shù)，并且滿足0≤f( x)≤B 和( x)d x=w0；定義g( x)為區(qū)間(a, b)上的非負(fù)函數(shù)；假設(shè)f( x) g( x)dx 存在，如果g( x)是一個單調(diào)下降函數(shù)，那么

如果g( x)是一個單調(diào)上升函數(shù)，那么

如果下面2個條件任何一個成立，不等式（18）或不等式（19）將成為等式：

條件1 g( x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)保持恒定；

條件2 f( x)在區(qū)間(a, b)為階越下降函數(shù)，并滿足f( a+)=B 。

定理2 定義f(γ)為AWGN下的誤幀率函數(shù)，并定義w0和w1分別為式(10)和式(15)，那么

如果f(γ)呈現(xiàn)出陡峭的特性，或者說存在一個合適的γ0，使得

則有：

證明 令g(γ)=γ ，那么對于任何的γ＞0，g(γ)是一個非負(fù)單調(diào)上升函數(shù)，由引理1中不等式(18)，可得

當(dāng)式(21)成立時，通過引理1條件2，式(22)成立。

文獻(xiàn)[14]討論了f()γ陡峭特性，一般來說，編碼系統(tǒng)的f(γ)較非編碼系統(tǒng)的更陡峭，分組長度大的f(γ)較分組長度短的更陡峭。

圖2 l(n)與分組長度的關(guān)系

4 協(xié)同中繼系統(tǒng)平均誤幀率分析

1) AF模式

對于AF模式來說，中繼節(jié)點將接收到的信號進(jìn)行放大轉(zhuǎn)發(fā)，假設(shè)放大系數(shù)為A，即xr=Aysr，那么式(3)表達(dá)為

考慮到中繼節(jié)點的功率約束，選擇A2=P/(N0+P2)，源-中繼-目的（S-R-D）信道的等效SNR可以表示為

AF同時放大了信號和噪聲，因而S-R-D支路比S-D支路具有更大的噪聲，為了利用MRC技術(shù)，將中繼支路的信號乘以系數(shù)1/(1+A2)再進(jìn)行合并，使用相關(guān)檢測，合并前的S-R-D支路信號可以表示為

合并S-D和S-R-D分支的信號，最終獲得的SNR為

對于瑞利衰落，βsr、βrd和βrd均為指數(shù)分布，令其均值分別為、和，則βAF的概率密度分布函數(shù)可以表示為[4]

從式(29)可以看到，以誤幀率為性能參數(shù)，不論分組的長度，協(xié)同AF模式總是能夠獲得二階全分集增益，和以誤碼率為參數(shù)取得的分集數(shù)一樣，但獲得的編碼增益不一樣，編碼增益依賴于分組的長度和調(diào)制編碼方式。

圖3 協(xié)同AF模式下平均誤幀率性能

2) DF模式

有2種基本的DF方案，固定DF和選擇性DF。文獻(xiàn)[1]的研究表明固定DF不能夠有效地提供全分集增益，因為其性能受限于源-中繼信道，因而本文僅考慮選擇性DF。中繼節(jié)點根據(jù)CRC校驗判斷能夠正確解碼源信號才對數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)發(fā)。假設(shè)瑞利衰落，中繼節(jié)點的接收信噪比 SNR可以表示為γsr=βsrγ，基于式(11)，中繼節(jié)點解碼源數(shù)據(jù)的平均誤幀率可以表示為

當(dāng)中繼節(jié)點解碼數(shù)據(jù)正確，在協(xié)同的第二個階段，以同樣的功率P轉(zhuǎn)發(fā)解碼后的數(shù)據(jù)至目的節(jié)點，因此，目的節(jié)點的接收信號可以表示為

假設(shè)使用MRC合并，合并后的SNR表示為

基于式(16)，平均誤幀率為

當(dāng)中繼解碼錯誤，中繼將向源節(jié)點反饋解碼錯誤信息至源節(jié)點，那么在協(xié)同的第二個階段，源節(jié)點將重新發(fā)送第一個階段發(fā)送的數(shù)據(jù)至目的節(jié)點，假定源-目的信道在協(xié)同的2階段保持不變，那么目的節(jié)點接收到的合并信噪比為

根據(jù)式(11)，獲得平均誤幀率為

最后，選擇性DF模式下總的平均誤幀率可以表達(dá)為

從式(36)可知，以誤幀率為指標(biāo)，選擇性 DF模式同樣獲得類似AF模式的二階全分集增益，然而，獲得的編碼增益與AF模式不一樣。

圖4給出了使用近似式(36)和仿真2種途徑獲得的選擇性 DF模式下的平均誤幀率。類似地，分別設(shè)置未編碼分組傳輸和編碼分組傳輸，仿真條件的設(shè)置與圖3相同，其中，w0通過式(10)積分獲得。從圖4可以看出，當(dāng)平均信噪比＞ 2 0dB，不論對于編碼還是未編碼傳輸，近似公式與仿真獲得的結(jié)果非常吻合。

圖4 協(xié)同DF模式下平均誤幀率性能

3) AF和DF模式下的性能比較

為了對AF和DF模式下的性能進(jìn)行比較分析，定義一個變量

通過定理可知，由于 w1＞/2，那么在條件①和條件③下，總是有L＜1，也就是DF總是好于AF。當(dāng)分組長度足夠大，f(γ)呈現(xiàn)出陡峭特性，w1≈/2，兩者的性能相近。

假設(shè)對稱的S-R和R-D鏈路，未編碼分組傳輸，圖5進(jìn)一步通過數(shù)值計算給出了AF和DF的性能比較。從圖中可以看出，DF的性能總是要比AF的好，并且分組長度越短，DF相對于AF的優(yōu)勢越明顯。該結(jié)論與Laneman經(jīng)典文獻(xiàn)[1]的結(jié)論有所不同，文獻(xiàn)[1]中，以中斷概率為性能準(zhǔn)則，在高信噪比下，AF具有和DF相同的性能。然而，從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)分組的長度足夠大，以誤幀率為準(zhǔn)則，AF的性能接近于DF的性能。也就是說，中斷概率實際上給出了當(dāng)分組為無限大時的一種特例，而對于實際有限的分組長度，DF性能總是優(yōu)于AF性能。

圖5 協(xié)同DF和AF模式PER性能比較

4) 最優(yōu)中繼位置

為了簡化分析，假設(shè)中繼位于源和目的之間，并將源和目的之間距離歸一化；令源和中繼距離為ρ，則中繼和目的距離為1-ρ，于是可得

其中， α為路徑損失因子，其典型值為 2～5之間[17]。

對于AF模式來說，式(29)可以變換為

對于任何的α＞1和任意的分組長度，當(dāng)ρ= 0 .5，式(40)獲得最大值。這個結(jié)論和文獻(xiàn)[4]的結(jié)果吻合，該文考慮了N=1的特例。

對于DF模式，式(36)變換為

對ρ求導(dǎo)，可以得到當(dāng)滿足下式的時候可以得到最優(yōu)值

假設(shè)路徑損耗因子分別為 α = 2 ,3,4和未編碼分組傳輸，圖6給出了AF和DF模式下的最優(yōu)中繼位置曲線?？梢钥吹剑啾扔贏F模式，其最優(yōu)中繼位置始終位于中點，對于DF模式，最優(yōu)的中繼總是更加靠近源節(jié)點，特別是對于大的路徑損耗因子。該結(jié)論同樣也可以用定理 2來解釋，由于/(2w1) ＜ 1，那么ρ＜0.5；考慮N=1和α=2的特例，可以得到ρ≈0.14。

圖6 最優(yōu)中繼位置和分組長度關(guān)系

然而，從圖6也可以看出，當(dāng)分組長度變大，對于DF模式，最優(yōu)的中繼位置逐漸平移到中點處，與AF模式類似。由前文可知，當(dāng)分組長度足夠大，/(2 w1) ≈ 1，可得ρ≈0.5。例如，對于適度的中等分組長度200byte (1 600bit)，對于所有的α值，最優(yōu)的中繼節(jié)點位置都在大約0.45處，與中點非常接近。這意味著對于實際的分組發(fā)送，只要粗略地選擇大致位于中點處的中繼節(jié)點，就可以近似地獲得最優(yōu)的性能，這個結(jié)論對于中繼節(jié)點的選擇具有指導(dǎo)意義，并不需要假設(shè)中繼節(jié)點、源節(jié)點和目的節(jié)點一定位于直線上。

5 結(jié)束語

本文分析了分組協(xié)同中繼系統(tǒng)在高信噪比下的漸近誤幀率性能，而目前大多數(shù)的研究主要集中在SER或者中斷性能上。考慮到目前實際的大部分通信系統(tǒng)總是以分組而不是比特流的方式進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，本文的研究具有重要的實際意義。本文研究表明以誤幀率為準(zhǔn)則，AF和選擇性DF模式都能夠獲得全分集增益，但是編碼增益不同，編碼增益隨著分組長度變化而變化。在高信噪比下，DF模式的漸近誤幀率性能總是好于AF模式，然而隨著分組長度的增大，兩者的性能接近。本文同時分析了最優(yōu)的中繼位置問題。對于AF模式來說，最優(yōu)的中繼總是位于源和目的節(jié)點的中點處；而對于DF模式來說，最優(yōu)的中繼位置總是更靠近源端，當(dāng)幀長度增大，最優(yōu)的位置向中點移動。

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