朱建文 劉魯華 湯國建 徐明亮

國防科技大學(xué)航天與材料工程學(xué)院，長沙 410073

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空天飛行器迭代制導(dǎo)初值生成方法研究

朱建文 劉魯華 湯國建 徐明亮

國防科技大學(xué)航天與材料工程學(xué)院，長沙 410073

針對空天飛行器研究助推段牛頓迭代制導(dǎo)初值生成方法。采用牛頓迭代法求解助推段制導(dǎo)參數(shù)，推導(dǎo)了迭代制導(dǎo)算法公式。重點(diǎn)分析了影響收斂精度的主要因素，針對迭代初值對其有較大影響的問題，提出了將理論推導(dǎo)與數(shù)據(jù)插值融合的迭代初值求解算法。仿真結(jié)果表明，此算法可以實(shí)現(xiàn)空天飛行器助推段迭代初值與制導(dǎo)參數(shù)的快速生成，收斂精度滿足設(shè)計要求。

空天飛行器；助推段；制導(dǎo)；牛頓迭代；迭代初值

當(dāng)前，快速、靈活、高精度的確定制導(dǎo)參數(shù)是空天飛行器制導(dǎo)技術(shù)發(fā)展的必然方向。制導(dǎo)問題可認(rèn)為是一個兩點(diǎn)邊值問題，其解析求解往往是非常困難的，現(xiàn)主要有射表擬合和積分計算2種方法。牛頓迭代制導(dǎo)利用當(dāng)前狀態(tài)與終端要求的偏差，綜合牛頓迭代算法的基本思想，實(shí)時確定制導(dǎo)參數(shù)，以此制導(dǎo)參數(shù)來擬定制導(dǎo)指令。這種制導(dǎo)方法具有算法簡單，易于彈上實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。目前牛頓迭代制導(dǎo)方法已有成功應(yīng)用的先例，例如美國發(fā)射小衛(wèi)星的Pegasus火箭就采用牛頓迭代制導(dǎo)法。

文獻(xiàn)[1]研究了傳統(tǒng)的迭代制導(dǎo)算法，文獻(xiàn)[2]介紹了牛頓迭代法在載人飛船上升段彈道設(shè)計的應(yīng)用；文獻(xiàn)[3]對固體運(yùn)載火箭上升段彈道快速設(shè)計方法做了研究，對迭代初值，采取三維插值的方法，此方法計算量大且生成速度較慢；文獻(xiàn)[4～7]研究了牛頓迭代制導(dǎo)在固體小火箭及彈道導(dǎo)彈中的應(yīng)用，但沒有對迭代初值的生成做深入研究。本文基于彈道積分計算，研究牛頓迭代法在空天飛行器助推段制導(dǎo)參數(shù)快速生成中的應(yīng)用，分析了影響迭代精度與速度的主要因素。為解決牛頓迭代法對初值敏感的問題，文中針對不同的初值分別采取了理論推導(dǎo)與二維數(shù)據(jù)插值的方法。

1 牛頓迭代算法原理

牛頓迭代法是一種依據(jù)對非線性方程組逐次線性化的思想建立起來的迭代法。其基本原理如下，設(shè)x∈D為非線性方程組

(1)

的解，x(k)∈D是近似解。若F(x)在x(k)附近可微，則在x(k)附近可將F(x)線性化為

(2)

因此，在x(k)附近方程組近似地簡化成線性方程組

(3)

當(dāng)F′(x(k))非奇異時，線性方程組(3)存在唯一解，記其為x(k+1)，可得到

(4)

2 迭代計算制導(dǎo)參數(shù)

(5)

圖1 飛行程序角模型

(6)

(7)

3個未知數(shù)3個約束方程，可以利用牛頓迭代算法進(jìn)行迭代計算。這里首先進(jìn)行線性微分，在h0，v0，θ0處線性展開得到：

(8)

其中：

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[3]，有以下關(guān)系：

(10)

(11)

取終端高度、速度及速度傾角精度要求分別為ε1,ε2和ε3，誤差量分別為Δh,Δv和Δθ?？梢缘贸雠ｎD迭代計算制導(dǎo)參數(shù)的流程如圖 2所示:

圖2 程序角參數(shù)迭代流程

在牛頓迭代法計算中關(guān)鍵是求雅克比矩陣，直接用求偏導(dǎo)數(shù)的方法來求矩陣每一個元素使得該方法依賴于對變量數(shù)值的選取。由于沒有具體的解析表達(dá)式，只能采用數(shù)值解法，因此牛頓迭代法的收斂性與初始值的選取、變量維數(shù)以及計算雅克比矩陣中選取的增量有關(guān)。根據(jù)文獻(xiàn)[3]，收斂精度主要受迭代初值的影響。

3 計算迭代初值

3.1 計算時間初值

(12)

其中vg為由攻角和引力引起的速度損失，vtf為終端速度要求，v0為當(dāng)前速度。

(13)

(14)

其中atf=P/mtf為火箭在tf時刻的推力加速度。實(shí)際的速度增量為：

(15)

這里記T=tf-t1，中間變量

(16)

令

(17)

則

(18)

求導(dǎo)得出

(19)

同時

(20)

其中a為推力加速度。則

(21)

故

(22)

3.2 計算俯仰角變化率

4 算例分析

取牛頓迭代起始時刻的狀態(tài)為：v=4157.40m/s，h=78166m，θ=4.75°。終端狀態(tài)約束為vtf=4417m/s，htf=88848m，θtf=1.5°，制導(dǎo)周期取0.5s，計算步長取0.02s，制導(dǎo)起始時刻為168s，終止時刻為191s，高度精度為10m，速度精度為1m/s，速度傾角精度為0.1°。

從表 1中可以看出在牛頓迭代制導(dǎo)中初值的不同會導(dǎo)致計算結(jié)果的較大偏差，在對初值進(jìn)行計算校正后，計算精度均提高一個數(shù)量級。從圖 3中可以看出，初值修正后，俯仰角比標(biāo)準(zhǔn)程序有較大調(diào)整，原因是在每一個制導(dǎo)周期內(nèi)，通過計算都需對制導(dǎo)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

表1 2種初值計算結(jié)果對比

圖3 俯仰角-時間變化曲線

5 結(jié)論

研究了空天飛行器助推段牛頓迭代制導(dǎo)方法。從牛頓迭代算法出發(fā)，介紹了其制導(dǎo)實(shí)現(xiàn)的基本過程，另外分析了影響迭代精度的主要因素。針對牛頓迭代法對初值敏感問題，在計算迭代初值的過程中，采取將插值法與解析法相結(jié)合的方法，分別對不同迭代初值的選取進(jìn)行了研究。通過仿真計算證明，此迭代初值的選取可以有效提高迭代制導(dǎo)的精度，并且只需進(jìn)行二維插值計算，此方法可以提高初值的生成速度，另外也可以提高制導(dǎo)精度。

[1] 李華濱，李伶．小型固體運(yùn)載火箭迭代制導(dǎo)方法研究[J]．航天控制，2002，2：29-37.(Li Huabin,Li Ling.Iterative Explicit Guidance for Small Solid Launch Vehicle[J].Aerospace Control，2002，2：29-37.)

[2] 陳克?。d人飛船上升段軌道的Newton迭代設(shè)計法[J]．國防科技大學(xué)學(xué)報，1992，14(2)：66-71.(Chen Ke-jun．Newton iterative Design Approach for Manned Spacecraft Ascent Traje- ctory[J]．Journal of National University of Defense Technology，1992，14(2)：66-71.)

[3] 楊希祥，江振宇，張為華.固體運(yùn)載火箭上升段彈道快速設(shè)計方法研究[J].宇航學(xué)報，2010，4(4): 993-996．(Yang Xixiang,Jiang Zhenyu,Zhang Weihua.Rapid Design Method for Ascent Trajectory of Solid Launch Vehicles[J].Journal of Astronautics, 2010，4(4): 993-996.)

[4] 劉新建，袁天寶.固體小運(yùn)載的制導(dǎo)方案設(shè)計與仿真[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報，2005，11(17):2734-2736.(Liu Xinjian, Yuan Tianbao.Guidance Design and Simu- lation for Launching Satellite with Solid Rocket[J].Journal of System Simulation,2005,11(17):2734-2736.)

[5] T Shima, M Idan.Sliding-Mode Control for Integrated Missile Autopilot Guidance[J].Journal of Guidance, Control, and Dynamics,2006:16-19.

[6] Daniel Rovner.GN&C for Pegasus Air-launched Space Booster : Design and First Flight Result[R].NASA,991105.

[7] Kang Jianbin, Zhao Jianting.An Anti-interference Guidance Scheme for Ballistic Missile[R].AIAA 2005-3268.

Research on Initial Values of Newton Iterative Guidance for Aerospace Vehicles

ZHU Jianwen LIU Luhua TANG Guojian XU Mingliang

College of Aerospace and Material Engineering，NUDT, Changsha 410073, China

TheNewtoniterativemethodforboostphraseofaerospacevehiclesisresearched.Thismethodisusedtoobtainguidanceparametersanddeducetheiterativeformula．Meanwhile，byconsideringthattheNewtoniterativemethodissensitivetotheinitialvalueofparameters，thegeneratedmethodsisintroducedforinitialvaluesonthebasisofdatainterpolationanddeducing.Thesimulationresultsshowthatitisfeasibletoobtainguidanceparametersforaerospacevehiclerapidlywiththealgorithmproposedinthepaper.

Aerospacevehicles；Boostphrase；Guidance；Newtoniterative;Initialvaluesofguidance

2011-12-06

朱建文(1987-)，男，甘肅定西人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行器動力學(xué)、制導(dǎo)與控制；劉魯華(1977-)，男，西安人，講師，主要研究方向?yàn)轱w行器動力學(xué)、制導(dǎo)與控制；湯國建(1964-)，男，江蘇金壇人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)轱w行器動力學(xué)、制導(dǎo)與控制；徐明亮(1982-)，男，河北盧龍人，博士研究生，主要研究方向?yàn)轱w行器動力學(xué)、制導(dǎo)與控制。

V448.231

A

1006-3242(2012)03-0061-04