夏喜旺 劉漢兵 杜 涵

上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201108

?

基于擬歐拉角描述的上面級姿態(tài)控制律設(shè)計

夏喜旺 劉漢兵 杜 涵

上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201108

上面級在多星部署過程中將涉及大角度姿態(tài)機動問題，衛(wèi)星釋放所引起的質(zhì)心橫移將給上面級姿態(tài)控制帶來困難。根據(jù)系統(tǒng)質(zhì)心的橫移情況，在上面級體坐標系中確定矢量噴管的平衡位置，進而確定出矢量噴管指向指令方向時的上面級姿態(tài)。調(diào)制姿態(tài)四元數(shù)可以得到描述上面級姿態(tài)偏差的擬歐拉角及相應(yīng)的擬歐拉角速度，在擬歐拉角描述的上面級姿態(tài)運動模型的基礎(chǔ)上，選擇合適的滑模面，構(gòu)造變結(jié)構(gòu)控制律。仿真結(jié)果表明，該控制律可對上面級姿態(tài)進行控制，進而實現(xiàn)對矢量噴管指向的間接控制，噴管擺角的限幅不會影響姿態(tài)控制的過程。

姿態(tài)控制; 擬歐拉角; 推力矢量控制; 變結(jié)構(gòu)控制

運載火箭上面級負責將所攜帶的載荷送入預(yù)定軌道。在執(zhí)行多星部署任務(wù)過程中，上面級需在軌運行相當長的時間，其姿態(tài)將在大范圍內(nèi)變動。三元姿態(tài)參數(shù)(如歐拉角，Rodrigures參數(shù)，修正的Rodrigures參數(shù)等)所描述的姿態(tài)運動方程存在奇異性，因此基于三元姿態(tài)描述參數(shù)的姿態(tài)運動模型不適于描述上面級的姿態(tài)運動。另外，上面級并排布局的載荷的釋放將引起系統(tǒng)質(zhì)心的橫移，此時軸向變軌推力必將嚴重影響上面級姿態(tài)。

基于姿態(tài)四元數(shù)的姿態(tài)運動方程可以避免歐拉角姿態(tài)運動學(xué)方程中的奇異現(xiàn)象，且四元數(shù)姿態(tài)描述具有計算量小、速度快、運動模型簡單的優(yōu)點，因而在處理大角度姿態(tài)機動的場景中得到了廣泛應(yīng)用。但姿態(tài)四元數(shù)的物理意義不明確，且因計算機字長所限，四元數(shù)的模在長時間計算之后將不再為1，相應(yīng)的坐標變換矩陣也將失去正交性，而這將引起姿態(tài)偏差。Sheppherd[2]、Markley[3]等人研究了從失去正交性的坐標變換矩陣中提取單位四元數(shù)并重構(gòu)正交矩陣的方法。另外，在反饋控制過程中，姿態(tài)四元數(shù)的符號二義性還將引起反饋控制過程中不必要的unwinding現(xiàn)象[1]。將姿態(tài)四元數(shù)進行調(diào)制可以獲得描述飛行器姿態(tài)偏差的姿態(tài)擬歐拉角參數(shù)[4-8]，基于擬歐拉角的姿態(tài)運動模型繼承了四元數(shù)姿態(tài)運動模型的非奇異性；由于控制力矩為目標姿態(tài)四元數(shù)與擬歐拉角參數(shù)的函數(shù)，因此可以回避四元數(shù)的符號二義性，即可避免unwinding現(xiàn)象。在姿態(tài)控制過程中，擬歐拉角參數(shù)的3個分量分別描述3個控制通道的狀態(tài)，并由控制力矩的3個分量分別控制。三通道間的耦合項隨著上面級姿態(tài)向目標姿態(tài)的趨近而逐漸減小；在到達目標姿態(tài)時，擬歐拉角及擬歐拉角速度都將為0。

推力矢量控制(TVC, Thrust Vector Control)能迅速響應(yīng)姿態(tài)控制指令。但若系統(tǒng)質(zhì)心因載荷釋放而發(fā)生了較明顯的橫移，位于平衡位置時的矢量噴管指向與上面級體軸間存在預(yù)置偏角[9]并指向系統(tǒng)質(zhì)心。據(jù)矢量噴管平衡位置相對于上面級的位置可確定出上面級需求姿態(tài)，采用TVC技術(shù)將上面級姿態(tài)控制到該需求姿態(tài)即可保證推力沿指令方向。在設(shè)計矢量噴管擺角時需要對其變化規(guī)律進行預(yù)測，故可采用變結(jié)構(gòu)控制律或PD控制律來設(shè)計矢量噴管擺角的變化率。本文即是以TVC加滾控發(fā)動機作為姿控執(zhí)行機構(gòu)，基于擬歐拉角參數(shù)來設(shè)計上面級變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制律的。

1 四元數(shù)及姿態(tài)運動的四元數(shù)描述

假設(shè)坐標系繞空間矢量E旋轉(zhuǎn)了α角，則定義旋轉(zhuǎn)過程所對應(yīng)的四元數(shù)[10]為:

q0+q1i+q2j+q3k=q0+q

(1)

這里，Ex，Ey和Ez為矢量E的分量，q0，q1，q2和q3為任意實數(shù)，q0和q=q1i+q2j+q3k分別為四元數(shù)的標部和矢部。q的共軛四元數(shù)q*為:

(2)

將四元數(shù)p=p0+p1i+p2j+p3k，q=q0+q1i+q2j+q3k寫成向量形式，即為：p=[p0p1p2p3]T，q=[q0q1q2q3]T，此時有:

(3)

這里，“·”表示四元數(shù)乘法。

由于3個獨立參數(shù)即可描述上面級姿態(tài)，因此四元數(shù)的4個分量并不完全獨立，通常會將姿態(tài)四元數(shù)選為單位四元數(shù)。

設(shè)θ，ψ和γ為3-2-1旋轉(zhuǎn)下的姿態(tài)描述，3次旋轉(zhuǎn)軸E分別為Z，Y和X3個坐標軸，應(yīng)用式即可得到3次旋轉(zhuǎn)所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)

(4)

運用式(3)并化簡，則可得彈體姿態(tài)所對應(yīng)的姿態(tài)四元數(shù)q，即：

(5)

姿態(tài)四元數(shù)描述的上面級姿態(tài)運動學(xué)方程[10～11]為：

(6)

其中，q=[q0,q1,q2,q3]T，ω=[ωx,ωy,ωz]T，并有：

(7)

易有：GT(q)G(q)=I3(I3為3×3單位矩陣)。

2 期望姿態(tài)四元數(shù)的確定

設(shè)上面級因載荷釋放而發(fā)生了質(zhì)心橫移，顯然，軸向變軌推力將對偏航和俯仰通道的控制帶來較大影響。設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心C在坐標系OXYZ(見圖1)中的坐標為[xC,yC,zC]，則C指向變軌推力作用點O的矢徑為：

(8)

這里，L為點C到點O的距離，θ20為矢徑r與平面XOZ的夾角，θ10為矢徑r在平面XOZ上的投影與OX軸的夾角。顯然有：

(9)

圖1 上面級質(zhì)心橫移示意圖

θ10和θ20決定著矢徑r在坐標系OXYZ中的指向。由于上面級質(zhì)心橫移主要是因載荷分離所引起的，故在變軌推進過程中可認為此二角不發(fā)生改變(事實上，若此二角因質(zhì)心位置變化而發(fā)生了輕微改變，可視其所引起的附加力矩為干擾力矩，并采用具有較好魯棒性的控制律，如變結(jié)構(gòu)控制律進行抑制處理)。

若θ10和θ20不全為0，即系統(tǒng)質(zhì)心出現(xiàn)了橫移，則軸向變軌推力將顯著影響上面級的姿態(tài)。旋轉(zhuǎn)矢量噴管使變軌推力線通過系統(tǒng)質(zhì)心，可以消除推力對姿態(tài)的影響，但此時上面級的姿態(tài)將無法保證推進方向即為指令制導(dǎo)方向。由于姿控機構(gòu)的控制對象為上面級姿態(tài)而非變軌推進方向，故此時需由上面級的指令制導(dǎo)方向qZD、質(zhì)心位置確定出其需求姿態(tài)qf。

設(shè)上面級姿態(tài)四元數(shù)為q，矢量噴管相對于彈體的2個旋轉(zhuǎn)角分別為θ10和θ20，則矢量噴管所對應(yīng)的姿態(tài)四元數(shù)qG滿足：

(10)

式(10)中，QQ為合成旋轉(zhuǎn)四元數(shù)，其共軛四元數(shù)為QQ*。由式(1)可得：

(11)

根據(jù)式(10)和式(3)可知，由噴管姿態(tài)可反求得上面級姿態(tài)：

(12)

對心過程完成后，姿控系統(tǒng)須將矢量噴管的姿態(tài)由qG控制到qZD，此時上面級的需求姿態(tài)qf應(yīng)為：

(13)

3 上面級姿態(tài)運動模型

上面級姿態(tài)動力學(xué)方程可寫為：

(14)

上式中，ω=[ωxωyωz]T為上面級相對于慣性空間的轉(zhuǎn)動角速度，MC為控制力矩，II為上面級轉(zhuǎn)動慣量。在采用歐拉角描述上面級姿態(tài)時，由于歐拉角的次遞性，三通道間存在耦合。三通道間的強烈耦合將給姿態(tài)控制律的設(shè)計帶來困難，因此在設(shè)計姿態(tài)控制律時應(yīng)盡可能地去除這種耦合影響。姿態(tài)四元數(shù)對應(yīng)的只是1次空間旋轉(zhuǎn)，擬歐拉角參數(shù)繼承了這個特點。由于擬歐拉角3個分量對應(yīng)于3個控制通道，并分別由控制力矩的3個分量所控，因此可認為基于擬歐拉角的姿態(tài)運動模型的3個通道是解耦的。

根據(jù)當前姿態(tài)四元數(shù)q和需求姿態(tài)四元數(shù)qf，并引入式(6)，構(gòu)造上面級的姿態(tài)擬歐拉角及擬歐拉角速度，即：

σ=2GT(qf)q

(15)

對擬歐拉角速度求導(dǎo)，有：

(16)

經(jīng)過簡單的數(shù)學(xué)運算可有：

(17)

這里，ω為角速度的模。此時有：

(18)

式(18)即為上面級的姿態(tài)運動模型。

4 變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制律設(shè)計

在擬歐拉角參數(shù)所確定的相平面上取開關(guān)面(為超平面)為s=σ+υ，對其求導(dǎo)，并代入式(18)，則有：

(19)

為加快相軌跡向開關(guān)面趨近的速度，這里取指數(shù)趨近律，即，

(20)

則有：

(21)

可解得：

(22)

MC為變結(jié)構(gòu)控制律所確定出來的需求控制力矩。由式(15)可知，目標姿態(tài)四元數(shù)分別取為qf和-qf時，所對應(yīng)的擬歐拉角參數(shù)符號相反；但又由式(22)可知，MC表達式中有關(guān)擬歐拉角參數(shù)的項前面又乘了一個GT(qf)，因此MC的取值與目標姿態(tài)四元數(shù)取qf或-qf無關(guān)。

(23)

即，所設(shè)計的變結(jié)構(gòu)控制律可保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

推力矢量方向在上面級體坐標系中可由推力偏角θ1和推力仰角θ2(如圖2所示)共同決定，寫成分量形式為：

(24)

若θ1和θ2不完全與θ10和θ20相等，則由式(8)和式(24)可以確定出推力矢量所形成的控制力矩：

(25)

圖2 推力矢量及滾控噴管在參考坐標系中的描述

式(25)中，rx，ry，rz分別為矢量r在x，y，z軸上的分量，并對應(yīng)于式(8)。

對比式(22)中MC的后2項和式(25)中MThrust的后2項，可以確定出產(chǎn)生變結(jié)構(gòu)控制要求的控制力矩所對應(yīng)的推力偏角θ1與推力仰角θ2。此時推力矢量對滾轉(zhuǎn)通道的干擾即MThrust的第一項MTx也將得以確定。隨著控制進程的推進，系統(tǒng)的姿態(tài)將不斷向目標姿態(tài)趨近，角速度及擬歐拉角參數(shù)也將趨近于0，式(22)所確定的需求控制力矩也將不斷減小，相應(yīng)地，變軌發(fā)動機矢量噴管擺角相對于其平衡位置的擺動幅值也不斷減小。但控制開始時刻所需的控制力矩可能較大，進而可能造成矢量噴管的需求擺動角過大，而過大的擺角可能會引起過大的推力損失。為保證變軌推力不因姿控過程而產(chǎn)生較大的推力損失，這里可對姿控過程中矢量噴管的推力偏角和推力仰角進行限幅，如設(shè)定

(26)

這里，θm為相應(yīng)擺角的變化幅值。

滾轉(zhuǎn)通道主要由安裝在YOZ平面上、提供側(cè)向力的4個滾控發(fā)動機來控制(見圖2)，其中，1#和3#發(fā)動機提供正向控制作用，2#和4#發(fā)動機提供反向控制作用。由于滾轉(zhuǎn)通道由這兩對控制作用相反的姿控發(fā)動機來控，則滾控發(fā)動機所應(yīng)提供的控制力矩Mr為：

(27)

由于滾控發(fā)動機所提供的正向或反向的控制力矩是定額的，因此滾控發(fā)動機可采用PWPF策略來提供時變的控制力矩。任一時刻，滾控發(fā)動機所提供的控制力矩為：

Mx=Mesgn(Mr)=Tdsgn(Mr)

(28)

這里，Me為滾控發(fā)動機所提供的滾控力矩的大小，T為滾控發(fā)動機推力，d為上面級直徑。

5 仿真

上面級初始參數(shù)，包括上面級直徑，初始姿態(tài)，質(zhì)心坐標，滾控發(fā)動機推力，變軌發(fā)動機推力等，由表1給出。這里上面級存在有較大的質(zhì)心橫移，而矢量噴管的平衡位置為θ10=-26.565°及θ20=-53.301°，即只有當矢量噴管偏轉(zhuǎn)θ10和θ20時，變軌推力對姿態(tài)的影響方為0。

表1 初始參數(shù)

式(20)中的參數(shù)k取為1，ε分別取為0.01和0.000001，則在不限矢量噴管擺角幅值的情況下，其擺角變化曲線見圖3，易有：ε越大，姿態(tài)控制的時間就越短，但控制末端矢量噴管需做較大振幅的高頻顫振；相反，ε越小，控制末端矢量噴管的擺動情況越平滑，但姿控時間卻越長。若ε足夠小，則姿控過程即與PD控制的臨界阻尼控制過程[5]相重合。

圖3 推力曲線

為避免矢量噴管的搖擺造成變軌推力的過大損失，這里按式(26)對其擺角進行限幅。取θm為5°，則相應(yīng)的推力擺角變化規(guī)律，以及姿控過程相關(guān)參數(shù)的變化曲線均如圖4所示。

圖4 仿真結(jié)果

對比圖3和圖4(a)可知，采取擺角限幅之后，矢量噴管的初始擺角無須過大，而其變化的“波峰”明顯升高，其趨近于平衡位置的時間稍有滯后，但最終依然能夠趨于其平衡位置，且整個姿控時間并無明顯變化。圖4(a)顯示，對矢量噴管擺角進行限幅取得了較好的效果，若要保證初始擺角與矢量噴管的平衡位置角(即θ10與θ20)一致，可將限幅值θm取為時變參數(shù)，將其由0°平緩過渡到5°。

由圖4(b)可知，在姿控終了時刻，矢量噴管的指向即為指令制導(dǎo)方向。在姿控過程中，由于只約束了噴管相對于上面級的偏航與搖擺，而無約束其相對滾轉(zhuǎn)角，因此在將矢量噴管指向控制到指令方向上時，上面級的滾轉(zhuǎn)角不為0，如圖4(c)所示，不過這并不影響上面級的控制，只需在變軌后對上面級進行適當?shù)臐L控即可消除其滾轉(zhuǎn)角的偏差，當然，在由指令制導(dǎo)方向確定噴管目標姿態(tài)時加入滾轉(zhuǎn)角的偏差信息也可以保證上面級的滾轉(zhuǎn)角為0。

由圖4(d)易見，隨著控制過程的推進，上面級姿態(tài)擬歐拉角將逐漸向0趨近，擬歐拉角速度則既服務(wù)于擬歐拉角的減小，又不斷向0趨近，其變化趨勢基本與上面級角速度的變化趨勢(見圖4(e))相一致。另外，擬歐拉角速度及角速度的滾轉(zhuǎn)分量的變化曲線因PWPF技術(shù)的應(yīng)用而出現(xiàn)了折線變化。

6 結(jié)論

1)將上面級姿態(tài)四元數(shù)進行調(diào)制，得到一組描述上面級姿態(tài)偏差的擬歐拉角，基于擬歐拉角描述的上面級姿態(tài)運動方程具有物理意義明確、無奇異、末端值為坐標原點等優(yōu)點；

2)對于出現(xiàn)質(zhì)心橫移的情形，本文首先確定出矢量噴管的平衡位置，并基于該平衡位置相對于上面級體坐標系的位置關(guān)系，確定出將噴管指向控制到指令方向上時上面級所對應(yīng)的姿態(tài)，使得質(zhì)心橫移飛行器的姿態(tài)控制可按普通的姿態(tài)控制律進行設(shè)計；

3)設(shè)計了用于控制上面級姿態(tài)的變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制律，進而間接地控制了變軌推進方向，以保證其可對指令方向進行快速、準確的跟蹤；

4)為保證姿態(tài)過程不過大損失變軌推力，可對矢量噴管的擺角進行限幅，限幅不會明顯影響上面級的姿控過程。

[1] S.Bhat, D.Benstein.A Topological Obstruction to Continuous Global Stabilization of Rotation Motion and the Unwinding Phenomenon[J].Systems and Control Letters,2000,39(1):63-70.

[2] S.W.Shepperd.Quaternion from Rotation Matrix[J].Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1978,1(3):223-224.

[3] F.L.Markley.Unit Quaternion from Rotation Matrix[J].Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2008,31(2):440-442.

[4] 荊武興，黃文虎，吳瑤華，楊滌．航天器姿態(tài)機動的擬歐拉角反饋控制[J]．宇航學(xué)報,1994, 15(2):41-47．(JING Wuxing，HUANG Wenhu，WU Yaohua，YANG Di．Quasi-Euler-angles Feedback Control of Spacecraft Attitude Maneuver[J]．Journal of Astronautics,1994,15(2):41-47．)

[5] 荊武興，韓品堯，王學(xué)孝，吳瑤華．基于擬歐拉角信號的連續(xù)力矩姿態(tài)機動控制[J]．宇航學(xué)報,1996,17(2):6-12．(JING Wuxing，HAN Pinyao，WANG Xuexiao，WU Yaohua．Quasi-Euler-angles-based Attitude Maneuver Control with Continuous Moment[J])．Journal of Astronautics．1996,17(2):6-12．)

[6] Jing W,Xia X,Gao C and Wei W.Attitude Control for Spacecraft with Swinging Large-scale Payload[J].Chinese Journal of Aeronautics, 2011,32(3): 309-317.

[7] Xia X,Jing W,Li C and Gao C.Time-shared Scheme Design for Attitude Control System during Space Separation[J].Aerospace Science and Technology,2011,15(2):108-116.

[8] Xia X,Jing W,Gao W and Wei W, Attitude Control of Spacecraft during Propulsion of Swing Thruster[J].Journal of Harbin Institute of Technology (New version), 2012,19(1):94-100.

[9] B.Wie.Thrust Vector Control Design for a Liquid Upper Stage Spacecraft[C].AIAA 1985-1914:396-405.

[10] 黃圳圭．航天器姿態(tài)動力學(xué)[M]．長沙：國防科技大學(xué)出版社,1997．(HUANG Zhen-gui．Spacecraft Attitude Dynamics[M].National University of defense Technology Press，1997．)

[11] W.F.Philips, E.E.Hailey and G.A.Gebert.Review of Attitude Representations Used for Aircarft Kinematics[J].Journal of Aircraft, 2001,38(4):718-737.

The Attitude Control Law Design Based on Qausi-Euler-Angle Scheme in the Upper Stage

XIA Xiwang LIU Hanbing DU Han

Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201108, China

Thelarge-anglemaneuverproblemisconcernedintheprocessofmulti-satellitedeployment.Thecentroidoffsetduringthedeploymentcanbringdifficultiestothecontrollawdesign.Withthecorrespondingknowledgeoftheoffsetofthecenterofmass,theequilibriumpositionofthevectoringnozzlecanbedeterminedandthecorrespondingattitudeoftheupperstagewiththenozzlepointsalongthecommanddirectioncanbedeterminedaswell.ThequasiEuleranglevectorandquasiEulerangularvelocityvectorareyieldedbymodulatingattitudequaternion,whichdescribethedifferenceandtherateofthecurrentandthedesiredattitudes.Basedonthequasi-Euler-angles-basedattitudemotionmodelinupperstage,whenaproperslidingmodesurfaceisspecified,avariablestructurecontrolschemeisproposed.Thesimulationresultsshowthattheattitudeoftheupperstageandfurtherthepointingofthevectoringnozzlecanbeperfectlycontrolledbyusingtheproposedcontrolscheme.Inaddition,theattitudecontrolprocesscannotbesignificantlyinfluencedunderthedefinitionoftheboundsofthedeflectedangles.

Attitudecontrol;Quasi-Euler-angles;Thrustvectorcontrol;Variablestructurecontrol

2011-11-23

夏喜旺(1978-)，男，河南鄢陵人，博士，工程師，主要研究方向為飛行器動力學(xué)與控制；劉漢兵(1967-)，男，江蘇南通人，碩士，研究員，主要研究方向為航天器總體設(shè)計，動力學(xué)與控制；杜 涵(1984-)，女，山東榮成人，碩士，助理工程師，主要研究方向為空間飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計及復(fù)合材料設(shè)計。

V448.22

A

1006-3242(2012)03-0045-06