夏喜旺 劉漢兵 杜 涵

上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201108

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基于擬歐拉角描述的上面級(jí)姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)

夏喜旺 劉漢兵 杜 涵

上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201108

上面級(jí)在多星部署過(guò)程中將涉及大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題，衛(wèi)星釋放所引起的質(zhì)心橫移將給上面級(jí)姿態(tài)控制帶來(lái)困難。根據(jù)系統(tǒng)質(zhì)心的橫移情況，在上面級(jí)體坐標(biāo)系中確定矢量噴管的平衡位置，進(jìn)而確定出矢量噴管指向指令方向時(shí)的上面級(jí)姿態(tài)。調(diào)制姿態(tài)四元數(shù)可以得到描述上面級(jí)姿態(tài)偏差的擬歐拉角及相應(yīng)的擬歐拉角速度，在擬歐拉角描述的上面級(jí)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，選擇合適的滑模面，構(gòu)造變結(jié)構(gòu)控制律。仿真結(jié)果表明，該控制律可對(duì)上面級(jí)姿態(tài)進(jìn)行控制，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)矢量噴管指向的間接控制，噴管擺角的限幅不會(huì)影響姿態(tài)控制的過(guò)程。

姿態(tài)控制; 擬歐拉角; 推力矢量控制; 變結(jié)構(gòu)控制

運(yùn)載火箭上面級(jí)負(fù)責(zé)將所攜帶的載荷送入預(yù)定軌道。在執(zhí)行多星部署任務(wù)過(guò)程中，上面級(jí)需在軌運(yùn)行相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間，其姿態(tài)將在大范圍內(nèi)變動(dòng)。三元姿態(tài)參數(shù)(如歐拉角，Rodrigures參數(shù)，修正的Rodrigures參數(shù)等)所描述的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程存在奇異性，因此基于三元姿態(tài)描述參數(shù)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型不適于描述上面級(jí)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。另外，上面級(jí)并排布局的載荷的釋放將引起系統(tǒng)質(zhì)心的橫移，此時(shí)軸向變軌推力必將嚴(yán)重影響上面級(jí)姿態(tài)。

基于姿態(tài)四元數(shù)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程可以避免歐拉角姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中的奇異現(xiàn)象，且四元數(shù)姿態(tài)描述具有計(jì)算量小、速度快、運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，因而在處理大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的場(chǎng)景中得到了廣泛應(yīng)用。但姿態(tài)四元數(shù)的物理意義不明確，且因計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)所限，四元數(shù)的模在長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算之后將不再為1，相應(yīng)的坐標(biāo)變換矩陣也將失去正交性，而這將引起姿態(tài)偏差。Sheppherd[2]、Markley[3]等人研究了從失去正交性的坐標(biāo)變換矩陣中提取單位四元數(shù)并重構(gòu)正交矩陣的方法。另外，在反饋控制過(guò)程中，姿態(tài)四元數(shù)的符號(hào)二義性還將引起反饋控制過(guò)程中不必要的unwinding現(xiàn)象[1]。將姿態(tài)四元數(shù)進(jìn)行調(diào)制可以獲得描述飛行器姿態(tài)偏差的姿態(tài)擬歐拉角參數(shù)[4-8]，基于擬歐拉角的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型繼承了四元數(shù)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型的非奇異性；由于控制力矩為目標(biāo)姿態(tài)四元數(shù)與擬歐拉角參數(shù)的函數(shù)，因此可以回避四元數(shù)的符號(hào)二義性，即可避免unwinding現(xiàn)象。在姿態(tài)控制過(guò)程中，擬歐拉角參數(shù)的3個(gè)分量分別描述3個(gè)控制通道的狀態(tài)，并由控制力矩的3個(gè)分量分別控制。三通道間的耦合項(xiàng)隨著上面級(jí)姿態(tài)向目標(biāo)姿態(tài)的趨近而逐漸減小；在到達(dá)目標(biāo)姿態(tài)時(shí)，擬歐拉角及擬歐拉角速度都將為0。

推力矢量控制(TVC, Thrust Vector Control)能迅速響應(yīng)姿態(tài)控制指令。但若系統(tǒng)質(zhì)心因載荷釋放而發(fā)生了較明顯的橫移，位于平衡位置時(shí)的矢量噴管指向與上面級(jí)體軸間存在預(yù)置偏角[9]并指向系統(tǒng)質(zhì)心。據(jù)矢量噴管平衡位置相對(duì)于上面級(jí)的位置可確定出上面級(jí)需求姿態(tài)，采用TVC技術(shù)將上面級(jí)姿態(tài)控制到該需求姿態(tài)即可保證推力沿指令方向。在設(shè)計(jì)矢量噴管擺角時(shí)需要對(duì)其變化規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)，故可采用變結(jié)構(gòu)控制律或PD控制律來(lái)設(shè)計(jì)矢量噴管擺角的變化率。本文即是以TVC加滾控發(fā)動(dòng)機(jī)作為姿控執(zhí)行機(jī)構(gòu)，基于擬歐拉角參數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)上面級(jí)變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制律的。

1 四元數(shù)及姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的四元數(shù)描述

假設(shè)坐標(biāo)系繞空間矢量E旋轉(zhuǎn)了α角，則定義旋轉(zhuǎn)過(guò)程所對(duì)應(yīng)的四元數(shù)[10]為:

q0+q1i+q2j+q3k=q0+q

(1)

這里，Ex，Ey和Ez為矢量E的分量，q0，q1，q2和q3為任意實(shí)數(shù)，q0和q=q1i+q2j+q3k分別為四元數(shù)的標(biāo)部和矢部。q的共軛四元數(shù)q*為:

(2)

將四元數(shù)p=p0+p1i+p2j+p3k，q=q0+q1i+q2j+q3k寫成向量形式，即為：p=[p0p1p2p3]T，q=[q0q1q2q3]T，此時(shí)有:

(3)

這里，“·”表示四元數(shù)乘法。

由于3個(gè)獨(dú)立參數(shù)即可描述上面級(jí)姿態(tài)，因此四元數(shù)的4個(gè)分量并不完全獨(dú)立，通常會(huì)將姿態(tài)四元數(shù)選為單位四元數(shù)。

設(shè)θ，ψ和γ為3-2-1旋轉(zhuǎn)下的姿態(tài)描述，3次旋轉(zhuǎn)軸E分別為Z，Y和X3個(gè)坐標(biāo)軸，應(yīng)用式即可得到3次旋轉(zhuǎn)所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)

(4)

運(yùn)用式(3)并化簡(jiǎn)，則可得彈體姿態(tài)所對(duì)應(yīng)的姿態(tài)四元數(shù)q，即：

(5)

姿態(tài)四元數(shù)描述的上面級(jí)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[10～11]為：

(6)

其中，q=[q0,q1,q2,q3]T，ω=[ωx,ωy,ωz]T，并有：

(7)

易有：GT(q)G(q)=I3(I3為3×3單位矩陣)。

2 期望姿態(tài)四元數(shù)的確定

設(shè)上面級(jí)因載荷釋放而發(fā)生了質(zhì)心橫移，顯然，軸向變軌推力將對(duì)偏航和俯仰通道的控制帶來(lái)較大影響。設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心C在坐標(biāo)系OXYZ(見(jiàn)圖1)中的坐標(biāo)為[xC,yC,zC]，則C指向變軌推力作用點(diǎn)O的矢徑為：

(8)

這里，L為點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離，θ20為矢徑r與平面XOZ的夾角，θ10為矢徑r在平面XOZ上的投影與OX軸的夾角。顯然有：

(9)

圖1 上面級(jí)質(zhì)心橫移示意圖

θ10和θ20決定著矢徑r在坐標(biāo)系OXYZ中的指向。由于上面級(jí)質(zhì)心橫移主要是因載荷分離所引起的，故在變軌推進(jìn)過(guò)程中可認(rèn)為此二角不發(fā)生改變(事實(shí)上，若此二角因質(zhì)心位置變化而發(fā)生了輕微改變，可視其所引起的附加力矩為干擾力矩，并采用具有較好魯棒性的控制律，如變結(jié)構(gòu)控制律進(jìn)行抑制處理)。

若θ10和θ20不全為0，即系統(tǒng)質(zhì)心出現(xiàn)了橫移，則軸向變軌推力將顯著影響上面級(jí)的姿態(tài)。旋轉(zhuǎn)矢量噴管使變軌推力線通過(guò)系統(tǒng)質(zhì)心，可以消除推力對(duì)姿態(tài)的影響，但此時(shí)上面級(jí)的姿態(tài)將無(wú)法保證推進(jìn)方向即為指令制導(dǎo)方向。由于姿控機(jī)構(gòu)的控制對(duì)象為上面級(jí)姿態(tài)而非變軌推進(jìn)方向，故此時(shí)需由上面級(jí)的指令制導(dǎo)方向qZD、質(zhì)心位置確定出其需求姿態(tài)qf。

設(shè)上面級(jí)姿態(tài)四元數(shù)為q，矢量噴管相對(duì)于彈體的2個(gè)旋轉(zhuǎn)角分別為θ10和θ20，則矢量噴管所對(duì)應(yīng)的姿態(tài)四元數(shù)qG滿足：

(10)

式(10)中，QQ為合成旋轉(zhuǎn)四元數(shù)，其共軛四元數(shù)為QQ*。由式(1)可得：

(11)

根據(jù)式(10)和式(3)可知，由噴管姿態(tài)可反求得上面級(jí)姿態(tài)：

(12)

對(duì)心過(guò)程完成后，姿控系統(tǒng)須將矢量噴管的姿態(tài)由qG控制到qZD，此時(shí)上面級(jí)的需求姿態(tài)qf應(yīng)為：

(13)

3 上面級(jí)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型

上面級(jí)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程可寫為：

(14)

上式中，ω=[ωxωyωz]T為上面級(jí)相對(duì)于慣性空間的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，MC為控制力矩，II為上面級(jí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在采用歐拉角描述上面級(jí)姿態(tài)時(shí)，由于歐拉角的次遞性，三通道間存在耦合。三通道間的強(qiáng)烈耦合將給姿態(tài)控制律的設(shè)計(jì)帶來(lái)困難，因此在設(shè)計(jì)姿態(tài)控制律時(shí)應(yīng)盡可能地去除這種耦合影響。姿態(tài)四元數(shù)對(duì)應(yīng)的只是1次空間旋轉(zhuǎn)，擬歐拉角參數(shù)繼承了這個(gè)特點(diǎn)。由于擬歐拉角3個(gè)分量對(duì)應(yīng)于3個(gè)控制通道，并分別由控制力矩的3個(gè)分量所控，因此可認(rèn)為基于擬歐拉角的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型的3個(gè)通道是解耦的。

根據(jù)當(dāng)前姿態(tài)四元數(shù)q和需求姿態(tài)四元數(shù)qf，并引入式(6)，構(gòu)造上面級(jí)的姿態(tài)擬歐拉角及擬歐拉角速度，即：

σ=2GT(qf)q

(15)

對(duì)擬歐拉角速度求導(dǎo)，有：

(16)

經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算可有：

(17)

這里，ω為角速度的模。此時(shí)有：

(18)

式(18)即為上面級(jí)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型。

4 變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)

在擬歐拉角參數(shù)所確定的相平面上取開(kāi)關(guān)面(為超平面)為s=σ+υ，對(duì)其求導(dǎo)，并代入式(18)，則有：

(19)

為加快相軌跡向開(kāi)關(guān)面趨近的速度，這里取指數(shù)趨近律，即，

(20)

則有：

(21)

可解得：

(22)

MC為變結(jié)構(gòu)控制律所確定出來(lái)的需求控制力矩。由式(15)可知，目標(biāo)姿態(tài)四元數(shù)分別取為qf和-qf時(shí)，所對(duì)應(yīng)的擬歐拉角參數(shù)符號(hào)相反；但又由式(22)可知，MC表達(dá)式中有關(guān)擬歐拉角參數(shù)的項(xiàng)前面又乘了一個(gè)GT(qf)，因此MC的取值與目標(biāo)姿態(tài)四元數(shù)取qf或-qf無(wú)關(guān)。

(23)

即，所設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)控制律可保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

推力矢量方向在上面級(jí)體坐標(biāo)系中可由推力偏角θ1和推力仰角θ2(如圖2所示)共同決定，寫成分量形式為：

(24)

若θ1和θ2不完全與θ10和θ20相等，則由式(8)和式(24)可以確定出推力矢量所形成的控制力矩：

(25)

圖2 推力矢量及滾控噴管在參考坐標(biāo)系中的描述

式(25)中，rx，ry，rz分別為矢量r在x，y，z軸上的分量，并對(duì)應(yīng)于式(8)。

對(duì)比式(22)中MC的后2項(xiàng)和式(25)中MThrust的后2項(xiàng)，可以確定出產(chǎn)生變結(jié)構(gòu)控制要求的控制力矩所對(duì)應(yīng)的推力偏角θ1與推力仰角θ2。此時(shí)推力矢量對(duì)滾轉(zhuǎn)通道的干擾即MThrust的第一項(xiàng)MTx也將得以確定。隨著控制進(jìn)程的推進(jìn)，系統(tǒng)的姿態(tài)將不斷向目標(biāo)姿態(tài)趨近，角速度及擬歐拉角參數(shù)也將趨近于0，式(22)所確定的需求控制力矩也將不斷減小，相應(yīng)地，變軌發(fā)動(dòng)機(jī)矢量噴管擺角相對(duì)于其平衡位置的擺動(dòng)幅值也不斷減小。但控制開(kāi)始時(shí)刻所需的控制力矩可能較大，進(jìn)而可能造成矢量噴管的需求擺動(dòng)角過(guò)大，而過(guò)大的擺角可能會(huì)引起過(guò)大的推力損失。為保證變軌推力不因姿控過(guò)程而產(chǎn)生較大的推力損失，這里可對(duì)姿控過(guò)程中矢量噴管的推力偏角和推力仰角進(jìn)行限幅，如設(shè)定

(26)

這里，θm為相應(yīng)擺角的變化幅值。

滾轉(zhuǎn)通道主要由安裝在YOZ平面上、提供側(cè)向力的4個(gè)滾控發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)控制(見(jiàn)圖2)，其中，1#和3#發(fā)動(dòng)機(jī)提供正向控制作用，2#和4#發(fā)動(dòng)機(jī)提供反向控制作用。由于滾轉(zhuǎn)通道由這兩對(duì)控制作用相反的姿控發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)控，則滾控發(fā)動(dòng)機(jī)所應(yīng)提供的控制力矩Mr為：

(27)

由于滾控發(fā)動(dòng)機(jī)所提供的正向或反向的控制力矩是定額的，因此滾控發(fā)動(dòng)機(jī)可采用PWPF策略來(lái)提供時(shí)變的控制力矩。任一時(shí)刻，滾控發(fā)動(dòng)機(jī)所提供的控制力矩為：

Mx=Mesgn(Mr)=Tdsgn(Mr)

(28)

這里，Me為滾控發(fā)動(dòng)機(jī)所提供的滾控力矩的大小，T為滾控發(fā)動(dòng)機(jī)推力，d為上面級(jí)直徑。

5 仿真

上面級(jí)初始參數(shù)，包括上面級(jí)直徑，初始姿態(tài)，質(zhì)心坐標(biāo)，滾控發(fā)動(dòng)機(jī)推力，變軌發(fā)動(dòng)機(jī)推力等，由表1給出。這里上面級(jí)存在有較大的質(zhì)心橫移，而矢量噴管的平衡位置為θ10=-26.565°及θ20=-53.301°，即只有當(dāng)矢量噴管偏轉(zhuǎn)θ10和θ20時(shí)，變軌推力對(duì)姿態(tài)的影響方為0。

表1 初始參數(shù)

式(20)中的參數(shù)k取為1，ε分別取為0.01和0.000001，則在不限矢量噴管擺角幅值的情況下，其擺角變化曲線見(jiàn)圖3，易有：ε越大，姿態(tài)控制的時(shí)間就越短，但控制末端矢量噴管需做較大振幅的高頻顫振；相反，ε越小，控制末端矢量噴管的擺動(dòng)情況越平滑，但姿控時(shí)間卻越長(zhǎng)。若ε足夠小，則姿控過(guò)程即與PD控制的臨界阻尼控制過(guò)程[5]相重合。

圖3 推力曲線

為避免矢量噴管的搖擺造成變軌推力的過(guò)大損失，這里按式(26)對(duì)其擺角進(jìn)行限幅。取θm為5°，則相應(yīng)的推力擺角變化規(guī)律，以及姿控過(guò)程相關(guān)參數(shù)的變化曲線均如圖4所示。

圖4 仿真結(jié)果

對(duì)比圖3和圖4(a)可知，采取擺角限幅之后，矢量噴管的初始擺角無(wú)須過(guò)大，而其變化的“波峰”明顯升高，其趨近于平衡位置的時(shí)間稍有滯后，但最終依然能夠趨于其平衡位置，且整個(gè)姿控時(shí)間并無(wú)明顯變化。圖4(a)顯示，對(duì)矢量噴管擺角進(jìn)行限幅取得了較好的效果，若要保證初始擺角與矢量噴管的平衡位置角(即θ10與θ20)一致，可將限幅值θm取為時(shí)變參數(shù)，將其由0°平緩過(guò)渡到5°。

由圖4(b)可知，在姿控終了時(shí)刻，矢量噴管的指向即為指令制導(dǎo)方向。在姿控過(guò)程中，由于只約束了噴管相對(duì)于上面級(jí)的偏航與搖擺，而無(wú)約束其相對(duì)滾轉(zhuǎn)角，因此在將矢量噴管指向控制到指令方向上時(shí)，上面級(jí)的滾轉(zhuǎn)角不為0，如圖4(c)所示，不過(guò)這并不影響上面級(jí)的控制，只需在變軌后對(duì)上面級(jí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)臐L控即可消除其滾轉(zhuǎn)角的偏差，當(dāng)然，在由指令制導(dǎo)方向確定噴管目標(biāo)姿態(tài)時(shí)加入滾轉(zhuǎn)角的偏差信息也可以保證上面級(jí)的滾轉(zhuǎn)角為0。

由圖4(d)易見(jiàn)，隨著控制過(guò)程的推進(jìn)，上面級(jí)姿態(tài)擬歐拉角將逐漸向0趨近，擬歐拉角速度則既服務(wù)于擬歐拉角的減小，又不斷向0趨近，其變化趨勢(shì)基本與上面級(jí)角速度的變化趨勢(shì)(見(jiàn)圖4(e))相一致。另外，擬歐拉角速度及角速度的滾轉(zhuǎn)分量的變化曲線因PWPF技術(shù)的應(yīng)用而出現(xiàn)了折線變化。

6 結(jié)論

1)將上面級(jí)姿態(tài)四元數(shù)進(jìn)行調(diào)制，得到一組描述上面級(jí)姿態(tài)偏差的擬歐拉角，基于擬歐拉角描述的上面級(jí)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程具有物理意義明確、無(wú)奇異、末端值為坐標(biāo)原點(diǎn)等優(yōu)點(diǎn)；

2)對(duì)于出現(xiàn)質(zhì)心橫移的情形，本文首先確定出矢量噴管的平衡位置，并基于該平衡位置相對(duì)于上面級(jí)體坐標(biāo)系的位置關(guān)系，確定出將噴管指向控制到指令方向上時(shí)上面級(jí)所對(duì)應(yīng)的姿態(tài)，使得質(zhì)心橫移飛行器的姿態(tài)控制可按普通的姿態(tài)控制律進(jìn)行設(shè)計(jì)；

3)設(shè)計(jì)了用于控制上面級(jí)姿態(tài)的變結(jié)構(gòu)姿態(tài)控制律，進(jìn)而間接地控制了變軌推進(jìn)方向，以保證其可對(duì)指令方向進(jìn)行快速、準(zhǔn)確的跟蹤；

4)為保證姿態(tài)過(guò)程不過(guò)大損失變軌推力，可對(duì)矢量噴管的擺角進(jìn)行限幅，限幅不會(huì)明顯影響上面級(jí)的姿控過(guò)程。

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The Attitude Control Law Design Based on Qausi-Euler-Angle Scheme in the Upper Stage

XIA Xiwang LIU Hanbing DU Han

Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201108, China

Thelarge-anglemaneuverproblemisconcernedintheprocessofmulti-satellitedeployment.Thecentroidoffsetduringthedeploymentcanbringdifficultiestothecontrollawdesign.Withthecorrespondingknowledgeoftheoffsetofthecenterofmass,theequilibriumpositionofthevectoringnozzlecanbedeterminedandthecorrespondingattitudeoftheupperstagewiththenozzlepointsalongthecommanddirectioncanbedeterminedaswell.ThequasiEuleranglevectorandquasiEulerangularvelocityvectorareyieldedbymodulatingattitudequaternion,whichdescribethedifferenceandtherateofthecurrentandthedesiredattitudes.Basedonthequasi-Euler-angles-basedattitudemotionmodelinupperstage,whenaproperslidingmodesurfaceisspecified,avariablestructurecontrolschemeisproposed.Thesimulationresultsshowthattheattitudeoftheupperstageandfurtherthepointingofthevectoringnozzlecanbeperfectlycontrolledbyusingtheproposedcontrolscheme.Inaddition,theattitudecontrolprocesscannotbesignificantlyinfluencedunderthedefinitionoftheboundsofthedeflectedangles.

Attitudecontrol;Quasi-Euler-angles;Thrustvectorcontrol;Variablestructurecontrol

2011-11-23

夏喜旺(1978-)，男，河南鄢陵人，博士，工程師，主要研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)與控制；劉漢兵(1967-)，男，江蘇南通人，碩士，研究員，主要研究方向?yàn)楹教炱骺傮w設(shè)計(jì)，動(dòng)力學(xué)與控制；杜 涵(1984-)，女，山東榮成人，碩士，助理工程師，主要研究方向?yàn)榭臻g飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及復(fù)合材料設(shè)計(jì)。

V448.22

A

1006-3242(2012)03-0045-06