范文亮，陳朝暉，李正良，余德祥，王 清

（1.重慶大學(xué)a.土木工程學(xué)院；b.山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400045；2.重慶市沙坪壩區(qū)氣象局，重慶400030）

滑坡是常見的地質(zhì)災(zāi)害，其形成除與邊坡自身的巖土特性有關(guān)外，尚取決于許多外部觸發(fā)因素，如地震、降雨和邊坡的不合理開挖等。其中，由降雨觸發(fā)的滑坡（即降雨型滑坡）在世界上分布最廣，發(fā)生頻率最高，給人類造成的危害最大［1］。因此，降雨型滑坡的預(yù)測(cè)是防災(zāi)減災(zāi)工程的主要內(nèi)容之一。

降雨型滑坡預(yù)測(cè)方法主要分為2類：基于過程的預(yù)測(cè)模型（亦稱為物理模型）和經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。雨水滲入導(dǎo)致巖土體內(nèi)的孔隙壓力增大、有效應(yīng)力減小和巖土體的抗剪強(qiáng)度降低是降雨型滑坡發(fā)生的主要機(jī)制［1］?；骂A(yù)測(cè)的物理模型則從上述機(jī)制出發(fā)判斷滑坡的狀態(tài)，即充分考慮降雨數(shù)據(jù)、降雨入滲過程及其對(duì)巖土體的影響，結(jié)合巖土體滑坡的穩(wěn)定性分析，最終確定引發(fā)滑坡的降雨量，從而判定滑坡是否發(fā)生［2－9］。然而，該模型所需輸入信息，如局部地形條件、巖土的力學(xué)參數(shù)和水文學(xué)參數(shù)等都很難準(zhǔn)確獲得，阻礙了該模型的實(shí)際應(yīng)用［10］。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛣t部分體現(xiàn)了滑坡產(chǎn)生的機(jī)制，僅通過對(duì)降雨和滑坡的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)給出滑坡的降雨閾值。模型不同，降雨閾值所采用的控制變量亦不相同，所適用的地區(qū)亦不相同。但由于簡(jiǎn)便易行，經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪悄壳盎骂A(yù)測(cè)中最為實(shí)用的方法。

本質(zhì)上，無論是物理模型還是經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，均是通過將降雨數(shù)據(jù)和滑坡的降雨閾值進(jìn)行對(duì)比來判定滑坡的發(fā)生與否，只不過前者的降雨閾值是基于物理機(jī)制分析得到的，而后者則是通過經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)給出的。借鑒可靠度理論的概念，滑坡概率Pf可表示為

式中：Pr｛·｝表示事件發(fā)生的概率；R表示當(dāng)前降雨數(shù)據(jù)，類似于可靠度分析中的效應(yīng)；［R］表示降雨閾值，類似于可靠度分析中的抗力。然而，由于降雨型滑坡影響因素的復(fù)雜性，很難由單一控制變量判定，因此R和［R］均為向量，而在可靠度分析中，效應(yīng)和抗力均為標(biāo)量。

目前，關(guān)于降雨型滑坡的研究主要集中于降雨與滑坡的關(guān)系、降雨的入滲和邊坡的穩(wěn)定性分析方面［11－16］，即更多地關(guān)注［R］，對(duì)于降雨數(shù)據(jù)R的概率描述鮮有研究涉及。筆者力圖針對(duì)重慶地區(qū)的歷年降雨數(shù)據(jù)，建立可用于重慶地區(qū)滑坡概率預(yù)測(cè)的降雨特征的概率模型。

欲建立R的概率模型，必須先將其具體化，明確其分量。文獻(xiàn)［10］詳細(xì)列舉了各研究者曾經(jīng)使用過的控制變量，包括日降雨量、前期累計(jì)降雨量、降雨強(qiáng)度和降雨持時(shí)等共25種。結(jié)合文獻(xiàn)［13］和［17］，筆者取日降雨量和前期累計(jì)降雨量為控制變量，且取10d為前期降雨的計(jì)算時(shí)間段。

1 滑坡概率分析

若記日降雨量為R1，10d累計(jì)降雨量為R10，與之對(duì)應(yīng)的閾值分別為 ［R1］、［R10］，那么式（1）可改寫為式（2）。

值得指出的是，現(xiàn)有研究中關(guān)于R1、R10的處理方式是截然不同的。日降雨量往往用降雨等級(jí)表示，即將R1視為離散變量，而10d累計(jì)降雨量則采用真實(shí)的數(shù)據(jù)，即R10視為離散變量，然后根據(jù)日降雨量的不同等級(jí)再結(jié)合10d累計(jì)降雨量的具體數(shù)值判定滑坡狀態(tài)。

一般而言，根據(jù)日降雨量大小可分為4個(gè)等級(jí)，即等級(jí)1（小雨，R1∈［0，10）mm）、等級(jí)2（中雨，R1∈［10，25）mm）、等級(jí)3（大雨，R1∈［25，50）mm）和等級(jí)4（暴雨，R1∈［50，∞）mm）。若記第i個(gè)降雨等級(jí)為Ei，那么式（2）可進(jìn)一步改寫為

式中：Ωf，i表示R10｜Ei＞ ［R10］｜Ei所代表的區(qū)域；p（·）表示概率密度函數(shù)；Pr｛Ei｝為降雨等級(jí)的頻度函數(shù)。

欲獲取R10｜Ei和［R10］｜Ei的聯(lián)合概率密度函數(shù)非常困難?？紤]到［R10］｜Ei的影響因素除降雨外，尚包含局部地形參數(shù)、巖土力學(xué)參數(shù)等，而且降雨對(duì)［R10］｜Ei的影響通過Ei亦剝離了一部分，因此，為簡(jiǎn)便實(shí)用，通?？杉俣≧10｜Ei和［R10］｜Ei相互獨(dú)立，于是式（3）可簡(jiǎn)化為式（4）。

若已知 Pr｛Ei｝·pR10｜Ei（y）和p［R10］｜Ei（z），則滑坡概率計(jì)算頗為簡(jiǎn)單。本文則著重于關(guān)注Pr｛Ei｝·pR10｜Ei（y）的獲取。由于Pr｛Ei｝·pR10｜Ei（y）描述了2個(gè)變量的聯(lián)合概率結(jié)構(gòu)，但是此2變量分別為離散變量和連續(xù)變量，因此，文中將稱之為離散 連續(xù)混合變量的聯(lián)合概率結(jié)構(gòu)。

2 離散 連續(xù)混合變量的聯(lián)合概率模型

由上所述，Pr｛Ei｝表示事件Ei發(fā)生的概率，pR10｜Ei（y）則表示隨機(jī)變量的條件概率密度，本質(zhì)上仍屬于概率密度函數(shù)。根據(jù)降雨歷史數(shù)據(jù)可以方便地給出Pr｛Ei｝的統(tǒng)計(jì)值，但是欲較為準(zhǔn)確地確定pR10｜Ei（y）的模型則較為困難。目前應(yīng)用最為廣泛的由采樣數(shù)據(jù)確定隨機(jī)變量概率模型的方法是假設(shè)檢驗(yàn)方法。該方法的優(yōu)點(diǎn)在于可以給出一個(gè)簡(jiǎn)單的可用概率模型，但其確定亦是顯而易見的，即只能確定單峰的概率密度模型。然而，由于影響因素的復(fù)雜性，現(xiàn)實(shí)中的許多隨機(jī)變量并不能采用簡(jiǎn)單的單峰，往往呈現(xiàn)出多峰性態(tài)。筆者擬由密度變換解獲得概率密度函數(shù)的近似值，然后引入混合分布模型對(duì)其進(jìn)行建模，并通過回歸擬合確定關(guān)鍵參數(shù)，最后確定聯(lián)合概率模型。

2.1 累計(jì)降雨量的條件密度變換解及其數(shù)值逼近

根據(jù)概率論可得到關(guān)系式（5）。

此外，若將影響R10的所有隨機(jī)因素記為Θ，且R10＝H（Θ），那么式（5）左端項(xiàng)亦可按照式（6）計(jì)算，即

式中：ΩΘ為Θ的取值空間；I（θ，y）為示性函數(shù)，可表示為式（7）。

綜合式（5）～（7），經(jīng)簡(jiǎn)單推導(dǎo)可有

式中，δ［·］表示Diracδ函數(shù)。

式（8）描述了在條件Ei下Θ和R10之間概率結(jié)構(gòu)的變換關(guān)系，文中稱之為條件密度變換解。

式（8）形式簡(jiǎn)單，但并不便于應(yīng)用，主要體現(xiàn)于3方面：1）δ［·］屬于廣義函數(shù)，積分計(jì)算困難；2）H（·）無顯式表達(dá)式；3）Θ的條件概率密度函數(shù)未知。為此，引入正態(tài)密度函數(shù)形式的Diracδ函數(shù)序列［18］對(duì)式（8）進(jìn)行數(shù)值逼近，即

2.2 混合變量的聯(lián)合概率模型

根據(jù)由式（10）獲得的條件概率密度函數(shù)計(jì)算值，可采用如下的混合分布模型對(duì)其進(jìn)行建模，即［19］

式中：pj，i（r）表示pR10｜Ei（r）的混合模型的第j個(gè)分量密度，m表示分量密度的數(shù)量，aj，i為相應(yīng)的組合系數(shù)。作為探索性研究，上述參數(shù)均由試算確定。

繼而，可建立日降雨量和累計(jì)降雨量的聯(lián)合概率模型pEi，R10（·）如式（12）。

于是根據(jù)式（4），滑坡概率可簡(jiǎn)寫為式（13）。

3 重慶市日降雨量與累計(jì)降雨量的聯(lián)合概率結(jié)構(gòu)建模

3.1 重慶市降雨資料及處理

重慶市氣象局提供了重慶市自1980年至2009年共30a的小時(shí)降雨數(shù)據(jù)和2003年至2009年間的分鐘降雨數(shù)據(jù)?；谝陨蠑?shù)據(jù)可獲得日降雨量和10d累計(jì)降雨量的聯(lián)合觀測(cè)樣本共10 818條。其中，日降雨等級(jí)為小雨的樣本10 007條，日降雨等級(jí)為中雨的樣本530條，日降雨等級(jí)為大雨的樣本211條，日降雨等級(jí)為暴雨的樣本70條。

需指出的是，10 007條小雨樣本中日降雨量為0且累計(jì)降雨量很小的記錄占有很大比例。一方面，這樣的降雨基本不會(huì)引起滑坡，另一方面，這些數(shù)據(jù)會(huì)極大地引起建模困難。例如，兩者均為0的樣本約占16.7%，而理論上連續(xù)隨機(jī)變量取任意值的概率均為零。為簡(jiǎn)單且便于應(yīng)用，對(duì)日降雨等級(jí)為小雨時(shí)累計(jì)降雨量的概率建模時(shí)僅考慮了累計(jì)降雨量超過20mm的數(shù)據(jù)，共3 763條。此時(shí)，E1發(fā)生時(shí)滑坡的概率為

式中：b1為未考慮樣本占E1樣本的比例，文中b1＝0.624為由剩余樣本確定的條件概率密度函數(shù)，且可類似于式（12）建立其概率模型。需指出的是，式（14）的推導(dǎo)中將降雨等級(jí)為小雨且累計(jì)降雨量不超過20mm的樣本處理為日降雨量和累計(jì)降雨量均為0的樣本。由于這兩類樣本均不引起滑坡，所以上述處理方式不影響滑坡概率的計(jì)算。

將式（14）代入式（4）即可獲得修正后的滑坡概率為式（15）所示。

3.2 10d累計(jì)降雨量的概率密度估計(jì)

首先，利用條件密度變換解的Diracδ逼近對(duì)降雨等級(jí)為小雨實(shí)測(cè)樣本中選取的3 763條累計(jì)降雨量超過20mm的樣本子集進(jìn)行累計(jì)降雨量的概率密度估計(jì)，結(jié)果如圖1所示。為驗(yàn)證密度估計(jì)的準(zhǔn)確性，將其與頻數(shù)直方圖和經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)進(jìn)行了對(duì)比。圖1（a）和（b）分別表示與等間距直方圖和等頻數(shù)直方圖的對(duì)比，其中等頻數(shù)直方圖分10個(gè)等頻率區(qū)間，圖1（c）表示與經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的比較，下同。不難發(fā)現(xiàn)，計(jì)算結(jié)果和三者均吻合良好。

圖1 日降雨等級(jí)為小雨時(shí)累計(jì)降雨量的概率密度函數(shù)

類似地，可給出降雨等級(jí)為中雨、大雨和暴雨時(shí)的密度估計(jì)，結(jié)果分別示于圖2～4。通過與直方圖、經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的比較可知上述密度估計(jì)是合理且準(zhǔn)確的。

值得注意的是，圖2中等間距直方圖和等頻數(shù)直方圖在累計(jì)降雨較小時(shí)存在著顯著差異，甚至體現(xiàn)于圖形趨勢(shì)上。究其原因在于此區(qū)間存在大量樣本，在等間距直方圖內(nèi)均位于同一條帶內(nèi)，不能描述出更精細(xì)的概率變化；而等頻數(shù)直方圖可以較好地彌補(bǔ)了這一缺陷。

圖2 日降雨等級(jí)為中雨時(shí)累計(jì)降雨量的概率密度函數(shù)

3.3 10d累計(jì)降雨量的混合分布概率模型

顯然，上述密度估計(jì)值是不便于應(yīng)用的，為此需建立解析的概率模型。

圖3 日降雨等級(jí)為大雨時(shí)累計(jì)降雨量的概率密度函數(shù)

圖4 日降雨等級(jí)為暴雨時(shí)累計(jì)降雨量的概率密度函數(shù)

首先，采用常用的概率模型對(duì)其進(jìn)行建模。由于累計(jì)降雨量存在明顯的邊界（即≥0），因此，可嘗試用對(duì)數(shù)正態(tài)分布和3參數(shù)Weibull分布對(duì)其進(jìn)行建模，建模準(zhǔn)則為均值和標(biāo)準(zhǔn)差一致。將不同降雨等級(jí)的建模結(jié)果與直方圖、密度估計(jì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分別示于圖5～8，其中（a）圖均為與等間距直方圖的比較，（b）圖則為與等頻數(shù)直方圖的比較。

由圖5可知，3參數(shù)Weibull分布可以很好地描述降雨等級(jí)為小雨時(shí)的累計(jì)降雨量條件概率密度函數(shù)，其概率密度函數(shù)為

此模型的累積分布函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的比較示于圖9，吻合良好。

圖5 日降雨等級(jí)為小雨時(shí)累計(jì)降雨量的概率密度函數(shù)計(jì)算值與對(duì)數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布的比較

圖6 日降雨等級(jí)為中雨時(shí)累計(jì)降雨量的概率密度函數(shù)計(jì)算值與對(duì)數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布的比較

圖7 日降雨等級(jí)為大雨時(shí)累計(jì)降雨量的概率密度函數(shù)計(jì)算值與對(duì)數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布的比較

圖8 日降雨等級(jí)為暴雨時(shí)累計(jì)降雨量的概率密度函數(shù)計(jì)算值與對(duì)數(shù)正態(tài)分布和Weibull分布的比較

圖6和圖7表明此2種情形對(duì)數(shù)正態(tài)分布較Weibull分布更接近于計(jì)算結(jié)果，但效果均不理想；圖8表明降雨等級(jí)為大暴雨時(shí)無論是對(duì)數(shù)正態(tài)分布還是Weibull分布均與實(shí)際分布相差太遠(yuǎn)。為此需要采用式（11）所描述的混合模型對(duì)此三者進(jìn)行建模。

根據(jù)試算，可得到降雨等級(jí)分別為中雨、大雨和暴雨時(shí)累計(jì)降雨量的混合模型分別為式（17）、（18）、（19）。

圖9 日降雨等級(jí)為小雨時(shí)模型的累積分布函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的比較

各模型與相應(yīng)的直方圖以及經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的比較示于圖10～12。不難發(fā)現(xiàn)，較常用的單峰概率模型，混合模型的建模效果更為理想。

圖10 日降雨等級(jí)為中雨時(shí)模型與等間距直方圖、等頻數(shù)直方圖和經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的比較

圖11 日降雨等級(jí)為大雨時(shí)模型與等間距直方圖、等頻數(shù)直方圖和經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的比較

圖12 日降雨等級(jí)為暴雨時(shí)模型與等間距直方圖、等頻數(shù)直方圖和經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的比較

3.4 聯(lián)合概率模型

由式（12）可知，欲建立日降雨量與累計(jì)降雨量的聯(lián)合概率結(jié)構(gòu)，除累計(jì)降雨量的條件概率密度模型外，尚需確定Pr｛Ei｝。根據(jù)降雨實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，可統(tǒng)計(jì)出不同降雨等級(jí)的頻度函數(shù)，如表1所示。

將表1的頻度函數(shù)和第3.3節(jié)累計(jì)降雨量的條件概率密度模型代入式（12）即可得到重慶市日降雨量和累計(jì)降雨量的聯(lián)合概率模型。

表1 降雨等級(jí)的頻度函數(shù)

4 結(jié) 論

降雨型滑坡的概率分析和預(yù)測(cè)中，作為主要輸入的降雨是關(guān)鍵參數(shù)。筆者以日降雨量和累計(jì)降雨量為降雨量的控制參數(shù)，結(jié)合重慶氣象局提供的降雨觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立了日降雨量和累計(jì)降雨量的聯(lián)合概率模型。與經(jīng)典意義上的聯(lián)合概率結(jié)構(gòu)不同，文中沿用降雨型滑坡分析的習(xí)慣，將日降雨量視為離散變量，而累計(jì)降雨量為連續(xù)變量。在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出了離散變量和連續(xù)變量的聯(lián)合概率模型和條件密度變換解及其Diracδ函數(shù)序列逼近，并提出了基于上述計(jì)算結(jié)果建立可用的聯(lián)合概率模型的思路。然后，將上述思路用于重慶市的降雨數(shù)據(jù)，建立了適用于重慶地區(qū)的日降雨量和累計(jì)降雨量的聯(lián)合概率模型。

值得指出的是，文中借鑒可靠度概念建立的滑坡概率分析方法思路清晰、簡(jiǎn)單、直接，但相比較而言，對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)的要求卻更為嚴(yán)格，除了降雨量的概率模型之外，尚需獲得降雨閾值的概率結(jié)構(gòu)。

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