龔岳洲，周新力，王文琰，鞠振飛

（①海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺 264001；②海軍裝備部駐上海地區(qū)軍事代表局，上海 200000）

0 引言

載波同步的是數(shù)字通信系統(tǒng)必須解決的問題，消除發(fā)送端和接收端載波頻率的偏移是載波同步的關(guān)鍵技術(shù)。由于突發(fā)通信具有短時性、隱蔽性和不易截獲的特點，被廣泛應(yīng)用于軍事通信，必須實現(xiàn)快速的載波同步[1]。

文獻(xiàn)[2]給出了在高斯白噪聲中對正弦波信號頻率進(jìn)行最大似然估計(MLE，Maximum Likelihood Estimation)算法，估計誤差的方差達(dá)到了克拉美羅限，因此是最優(yōu)估計.由于 MLE算法計算量大，難以實時進(jìn)行處理。于是提出了很多基于最大似然估計的簡化算法，Kay在1989年提出了經(jīng)典的Kay算法[3]，Kay算法相對于最大似然估計(MLE)算法在計算復(fù)雜度有了很大簡化，但是存在較高的信噪比門限（6 dB），當(dāng)接收端信噪比小于該門限時，性能急劇惡化，沒有達(dá)到工程應(yīng)用的要求。而針對Kay算法高信噪比門限的缺點，文獻(xiàn)[4]提出了L&R算法，L&R算法也是基于最大似然算法的簡化算法，具有很低信噪比門限（-10 dB），完全能滿足工程應(yīng)用要求，但頻偏估計范圍過窄，也不適合運用于工程上。文獻(xiàn)[5]根據(jù)最大似然方程的另一種近似解，提出了Fitz算法,在頻差較小時均能取得較高的估計精度。但是，t同樣存在估計范圍小的缺點，且計算復(fù)雜度較高的缺點。文獻(xiàn)[6]提出了M&M算法，M&M算法既具有低的低信噪比門限，又能估計很大的頻偏，但是復(fù)雜度太高，同步過慢，不利于實時處理。

本文利用相位折疊現(xiàn)象使得自相關(guān)函數(shù)的頻偏具有周期化規(guī)律，基于這一思想，本文提出一種利用最大似然估計中的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行頻偏估計的算法，該算法估計范圍廣，精度高且復(fù)雜度低，適于突發(fā)通信。

1 信號模型

本算法采用MPSK調(diào)制方式，在高斯白噪聲信道下進(jìn)行傳輸，高斯白噪聲的雙邊譜密度為 N0/2，采樣時滿足Nyquist準(zhǔn)則，已經(jīng)完成信道均衡，消除了碼間干擾。并假定接受端進(jìn)行載波同步之前已經(jīng)進(jìn)行精確的定時同步，不存在定時偏差。假設(shè)接受端的載波頻率相對于發(fā)送端的載波頻率有efHz的頻率偏差，則接收端基帶信號表達(dá)式如下：

其中，na是所要接受的信號，對于MPSK信號，可以表示為[3]：

Ts是符號周期，是載波相位，θ0在觀測數(shù)據(jù)長度N內(nèi)，是確定的未知量，fe是需要估計的載波頻偏，Nn是加性高斯白噪聲，其均值為零且方差為σ2[7]。實際上由于表示 an的復(fù)數(shù)共軛），于是可以定義，即得到：在統(tǒng)計上是與 N 等價的，A是幅度n噪聲，nθ是相位噪聲，因此nb可以看成高斯白噪聲下的單音正弦信號[8]。文獻(xiàn)[3-10]提出了很多經(jīng)典的方法，下面介紹一種新的頻偏估計方法。

2 算法分析

由經(jīng)典的最大似然估計[9]得到：

可以等效為：

令：

于是得到最大似然的估計方程：

由于最大似然估計是非線性最優(yōu)估計，復(fù)雜度太高，所以所以并不適用于工程實際。本文也是基于 R （k）得到的一種頻偏估計方法。

實際上R(k)可以寫成[10]:

可得簡化的公式：

η（ k ） 表示復(fù)噪聲 γ （ k ） 在相位上的噪聲。定義arg（R（ k ） ） 為 R （k） 的相位，則：

于是可得：

為直觀的分析算法原理，先用matlab進(jìn)行蒙托卡羅仿真，仿真條件：數(shù)據(jù)長度N=50，歸一化頻偏信噪比

圖1 arg(R(k+1))-arg(R(k))的周期變化規(guī)律

從上面的分析可以將頻偏的估計轉(zhuǎn)化為對M的估計。新算法可以描述為：

1）計算自相關(guān)函數(shù)R(k)。

3）當(dāng)頻偏大于零時，設(shè)定閘值 H，得到 X+1個 k 滿足

5）當(dāng)頻偏小于零時，設(shè)定閘值 H，得到 X+1個 k 滿足 temp

7）求得歸一化頻偏feT=G/M。

接下來將從估計范圍，算法復(fù)雜度三個方面來分析本算法的性能。在此之前先介紹三種基于 R(k)的經(jīng)典算法。

L&R算法[4]，其表達(dá)式為：

M&M算法[6], 其表達(dá)式為：

本算法的計算復(fù)雜度由于只需要計算自相關(guān)函數(shù)，相對于M&M算法有很明顯的改善，對于突發(fā)通信來說本算法具有突出的優(yōu)勢。下表是L&R算法，kitz算法，M&M算法與本文算法在復(fù)雜度上的比較。

表1 復(fù)雜度比較

當(dāng)數(shù)據(jù)長度N為1 000，L為500時，四種算法的計算復(fù)雜度依次為：乘法次數(shù)375 250、375 252、380 252、756 001；加法次數(shù)374 250、374 748、377 250、752 500。由此可知本文算法復(fù)雜度最低，M&M算法復(fù)雜度最高。

3 算法性能分析

通過仿真對上述討論及算法進(jìn)行了驗證,并將本文算法與L&R算法、Fitz算法和M&M算法進(jìn)行了比較。仿真使用了 AGWN下的 QPSK信號,即M=4。仿真中估計精度由歸一化估計方差來衡量,簡稱為估計方差,定義為

AGWN下的QPSK信號，數(shù)據(jù)長度N為100，性噪比為10 dB，用MATLAB進(jìn)行蒙托卡羅仿真實驗，仿真結(jié)果如圖2所示，其中圖2(c)的縱坐標(biāo)數(shù)量級為 10-3。從圖中可以看出，本文算法和 M&M算法估計范圍最大，歸一化頻偏范圍可以近似得到0.5，驗證了在本文第2節(jié)得到的結(jié)論。

算法的同步性能受信噪比的影響，因此本文在不同信噪比下進(jìn)行仿真。圖3是觀察數(shù)據(jù)長度N=200,L=N/2=128,歸一化頻偏feT=0.002時,L&R算法、Fitz算法、M&M 算法和本文算法的估計方差隨信噪比變化的曲線圖,它反映了各算法在不同的信噪比下估計精度的變化趨勢。

圖2 頻偏范圍比較

圖3 估計方差與信噪比的關(guān)系

由仿真圖可以看出,在高信噪比條件下M&M算法的估計精度最高,新算法次之,L&R算法和Fitz算法的估計精度不及M&M算法和新算法。M&M算法雖然估計精度高,但是以較高的計算復(fù)雜度為代價。新算法在不同信噪比下的估計精度介于 M&M算法和L&R算法、Fitz算法之間,并且隨著信噪比的增加,新算法估計精度接近于 M&M 算法,但是在低信噪比下,新算法的估計精度較低，仿真圖3驗證了理論分析中新算法估計精度較高的性能。

4 結(jié)語

本文利用相位折疊現(xiàn)象使得自相關(guān)函數(shù)的頻偏具有周期化規(guī)律，基于這一思想,本文提出一種利用最大似然估計中的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行頻偏估計的算法,該算法估計范圍廣,精度高,且計算簡單易于實現(xiàn),適合短時突發(fā)信號傳輸模式,因此具有較高的實用價值,仿真結(jié)果也證明了算法的性能但是算法在低信噪比時估計精度較低,所以不適合在低信噪比情況下工作。

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