李 軍，張 章，楊依忠，解光軍

(合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院，合肥 230009)

隨著變換器技術(shù)的發(fā)展，以往理想化建模會產(chǎn)生嚴(yán)重的偏差;因此建模時，必須考慮電感電流的紋波和開關(guān)器件的寄生參數(shù)，通過開關(guān)元件平均法、時間平均等效電路法、能量守恒法的基本思想，就可以建立非理想變換器的小信號等效電路模型［1－2］。而峰值電流控制的主要優(yōu)點(diǎn)是良好的動態(tài)響應(yīng)和線性電壓調(diào)整能力，較好的系統(tǒng)穩(wěn)定性和可靠性。

1 非理想Boost 變換器等效電路

對于基本的Boost 變換器，考慮其非理想寄生參數(shù)的等效電路如圖1所示［3］，其中功率開關(guān)MOSFET 等效為理想開關(guān)和導(dǎo)通電阻Ron的串聯(lián)，二極管等效為理想開關(guān)、正向壓降VF、導(dǎo)通電阻RF的串聯(lián)，RL、Rc分別是濾波電感、濾波電容的等效串聯(lián)電阻(ESR)。令開關(guān)S 的開關(guān)周期為Ts，導(dǎo)通時間為Ton，則占空比d=Ton/Ts。

圖1 考慮寄生參數(shù)的非理想Boost 變換器等效電路

考慮紋波影響，根據(jù)能量守恒原理將兩個開關(guān)的寄生參數(shù)等效到電感支路中，得到三個寄生電阻在電感支路中的總等效電阻

圖2 CCM模式下非理想Boost 變換器的交流小信號模型

對圖2所示的交流小信號等效電路，對各參數(shù)進(jìn)行s 域變換，可計(jì)算出各傳遞函數(shù)為:

(1)輸出電壓^uo(s)對輸入電壓^ug(s)的傳遞函數(shù)Gug(s):

(2)輸出電壓^uo(s)對控制變量^d(s)的傳遞函數(shù)Gud(s):

(3)電感電流^iL(s)對輸入電壓^ug(s)的傳遞函數(shù)Gig(s):

(4)電感電流^iL(s)對控制變量^d(s)的傳遞函數(shù)Gid(s):

其中:Ri=RE+R(1－D)2+s［L+(R +RC)REC+RRCC·(1－D)］+s2(R+RC)LC。

2 峰值電流控制器的精確模型

本文研究考慮斜坡補(bǔ)償和電感電流紋波影響的峰值電流控制器的精確模型［8－9］，由于通常所建立的模型忽略電感電流紋波和斜率補(bǔ)償電路，只適用于電感電流和斜坡補(bǔ)償電流紋波較小的場合，因此本文研究的電路模型適用于電感電流紋波較大，存在斜坡補(bǔ)償［10］的場合，具有更高的精度。峰值電流模式Boost 變換器如圖3所示。

由圖4所示為電感電流iL(t)和電流內(nèi)環(huán)控制電流iC(t)以及斜坡補(bǔ)償?shù)牟ㄐ?。由其相互關(guān)系可知，在整個開關(guān)周期內(nèi)，電感電流的平均值為:

圖3 峰值電流模式Boost 變換器控制系統(tǒng)

圖4 電感電流平均值與控制電流波形及其相互關(guān)系

對各變量分離擾動，使各變量等于對應(yīng)的直流分量與交流小信號分量之和，令:

由于mC由控制電路決定，因此其擾動量可以忽略不計(jì)，即mC=MC，將式(7)代入式(6)中，去除直流分量，并忽略高階微小量，可以得到電感電流平均值擾動量^iL(t)的表達(dá)式為:

對于Boost 變換器，有:

且穩(wěn)態(tài)時M1D=M2D′，由式(8)可得到^d(t)的表達(dá)式為:

即

式(11)中，F(xiàn)g、Fu分別表示輸入、輸出電壓擾動量對占空比的影響系數(shù)，可以看出，占空比d(t)受控制量iC(t)、電感電流iL(t)、輸入電壓ug(t)和輸入電壓uo(t)等各個變量的共同控制，因此，輸入電壓的擾動量^ug(t)的變化直接反映到占空比的擾動量^d(t)上，從而使得峰值電流模式控制Boost 變換器具有對輸入電壓的動態(tài)響應(yīng)速度快、線性電壓調(diào)整率好的優(yōu)點(diǎn)。

由于在上述討論中，^iL(t)表示電感電流平均值的擾動量，而不是電感電流峰值的擾動量，因此在研究峰值電流模式控制Boost 變換器的動態(tài)行為時，可以在上節(jié)建立的CCM模式下非理想Boost變換器的交流小信號等效電路模型的基礎(chǔ)上，建立峰值電流模式控制Boost 變換器包含電流控制環(huán)的等效功率級的交流小信號等效電路模型，如圖5所示。

圖5 峰值電流模式控制Boost 變換器交流小信號等效電路模型

基于圖5所示的交流小信號等效電路，并對各參數(shù)進(jìn)行s 域變換，可以寫出電感電流平均值擾動量^iL(t)和輸出電壓擾動量^uo(t)與輸入電壓擾動量^ug

(t)和占空比擾動量^d(t)及輸出電流之間的線性關(guān)系為:

又

再將式(15)代入式(13)中，可得:

其中，Guc(s)為峰值電流模式控制Boost 變換器等效功率級的傳遞函數(shù):

其中:

A(s)為峰值電流模式控制Boost 變換器等效功率級的音頻衰減率:

考慮電流環(huán)路的電流采樣行為對電路的影響，本文取電流采樣函數(shù):

其中wn=π/Ts，QZ=－2/π。則電流環(huán)路的環(huán)路增益為:Ti(s)=FmGid(s)He(s)，由于電流環(huán)路的增益非常小，故峰值電流模式控制變成了電壓模式控制。

圖3所示峰值電流模式Boost 變換器控制系統(tǒng)的電壓控制器，其峰值電流模式控制Boost 變換器的輸出電壓為:

其中Tv(s)為電壓環(huán)路的環(huán)路增益，即系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)Tv(s)=HC(s)GC(s)GUC(s)=GU(s)GUC(s)，則得到相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

閉環(huán)輸入音頻衰減率為:

3 分析及仿真

本文選用的實(shí)際Boost 變換器各參數(shù)為Ug=5 V，Uo=10 V，電感電流紋波ΔiL=0.1 A，R=10Ω，L=127μH，RL=0.66Ω，C=464μF，Rc=0.009Ω，開關(guān)功率管的導(dǎo)通電阻Ron=0.055Ω，肖特基二極管RF=0.025Ω，VF=0.4 V，開關(guān)頻率fs=50 kHz，本文采用的電壓采樣網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)HC(s)=1。

當(dāng)無補(bǔ)償傳遞函數(shù)時，傳遞函數(shù)GU(s)=1，則此時系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Tv(s)為:

由式(22)可以看出，無電壓控制器補(bǔ)償時系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Tv(s)即為等效功率級傳遞函數(shù)Guc(s)，此時穿越頻率fc=wc/2π=792 Hz，相位裕度φm=108.3°，因此存在著穿越頻率太低，系統(tǒng)響應(yīng)速度很慢，相位裕度過大，影響系統(tǒng)動態(tài)性能等問題，必須要設(shè)計(jì)電壓控制器進(jìn)行補(bǔ)償。

無電壓控制器補(bǔ)償時，穿越頻率過低，因此需要提高穿越頻率，設(shè)加入電壓控制器后開環(huán)傳遞函數(shù)

Tv(s)的穿越頻率fC是開關(guān)頻率fs的五分之一，即:

由于PID 補(bǔ)償器有提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能和提高系統(tǒng)動態(tài)性能的優(yōu)點(diǎn)，因此本文采用的電壓控制器如圖6所示。

圖6 電壓控制器

該P(yáng)ID 補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

此時，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)即為:

令式(24)中wp3=wz1，抵消輸出電容ESR 引起的零點(diǎn)。設(shè)補(bǔ)償后相位裕度φm=45°，則補(bǔ)償器零、極點(diǎn)頻率為

本文取fz4=1.11 kHz，當(dāng)頻率為穿越頻率fC時，開環(huán)傳遞函數(shù)Tv(s)的幅頻特性為0 dB，可得Gv0=2.396×105，因此，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:

由式(25)可取:R3=4 kΩ，C3=10 nF，R1=2 kΩ，C1=10 nF，R2=12 kΩ，C2=2 nF，RC=1Ω，R4=200Ω。

則實(shí)際系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為:

由式(26)可以求得，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的穿越頻率fc=wc/2π=8.06 kHz，相位裕度φm=49.6°，穿越頻率和相位裕度都得到了較理想的值，基本滿足設(shè)計(jì)要求。

通過MATLAB 編程，得出系統(tǒng)相應(yīng)的仿真圖形如圖7～圖10所示，其中:圖7 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù);圖8為補(bǔ)償前后，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù);圖9為理想和非理想情況下，等效功率級的傳遞函數(shù);圖10為補(bǔ)償前后，系統(tǒng)音頻衰減率傳遞函數(shù)。

圖7 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)曲線(實(shí)線為閉環(huán)傳遞函數(shù)，虛線為開環(huán)傳遞函數(shù))

圖8 補(bǔ)償前后系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)曲線(實(shí)線為補(bǔ)償后，虛線為補(bǔ)償前)

圖9 理想和非理想情況下系統(tǒng)等效功率級傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)曲線(實(shí)線為非理想情況，虛線為理想情況)

圖10 補(bǔ)償前后系統(tǒng)音頻衰減率的頻率響應(yīng)曲線數(shù)(實(shí)線為補(bǔ)償后，虛線為補(bǔ)償前)

4 結(jié)論

通過MATLAB 編程進(jìn)行仿真，可以看出在加入電壓控制器后，系統(tǒng)有了合理的穿越頻率，且大大減小了系統(tǒng)在低頻段的穩(wěn)態(tài)誤差;考慮了非理想因素后，通過Boost 等效功率級的傳遞函數(shù)的比較，發(fā)現(xiàn)理想模型和非理想模型稍有差別。因此，本文建立的非理想Boost 變換器在峰值電流控制下的精確模型及其電壓控制器的設(shè)計(jì)是合理的，這為以后深入研究環(huán)路的穩(wěn)定性提供了依據(jù)。

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