劉美華,劉慧

(1.湖南工程學(xué)院 工程訓(xùn)練中心,湖南 湘潭 411104;2.湖南師范大學(xué) 物理與信息科學(xué)學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙410081)

小波分析在圖像處理中有著廣泛的應(yīng)用，近年來，基于小波閾值的圖像去噪主要是使用單個(gè)小波變換對(duì)圖像進(jìn)行處理。小波變換的一個(gè)特點(diǎn)是小波基的多樣性。選擇使用多個(gè)小波基來處理圖像,既保持了單小波的諸多優(yōu)點(diǎn),又克服了其缺陷，而且可以把小波十分重要的光滑性、緊支性、正交性、對(duì)稱性等完美地結(jié)合起來。在圖像處理中，這些特性具有很重要的作用。正交性對(duì)信號(hào)或者圖像重構(gòu)獲得較好的平滑效果非常有用。對(duì)稱性能夠避免移相。與緊支小波相對(duì)應(yīng)的濾波器是有限脈沖響應(yīng)FIR(Finite Impulse Response)濾波器，它能使得相應(yīng)的快速小波變換之和是有限的。光滑性對(duì)壓縮有著重要作用，因?yàn)槿绻〔ú还饣?，變換帶來的誤差很容易由視覺檢測(cè)出來。將這些優(yōu)點(diǎn)結(jié)合在一起，使用多個(gè)小波基分別對(duì)含噪圖像進(jìn)行處理得到多幅重構(gòu)圖像，然后對(duì)這些圖像進(jìn)行算術(shù)平均，得到最終去噪圖像。

1 小波閾值去噪

1.1 閾值求法

1992年，Donoho和Johnstone提出了小波閾值收縮方法(Wave Shrink)，此法在最小均方誤差意義下可達(dá)近似最優(yōu)，且能取得較好的視覺效果，因而得到了深入研究和廣泛應(yīng)用。目前已提出了多種閾值選取方法，有DJ閾值、Sure閾值、Penalized閾值和 Bayesian閾值方法[1-4]。DJ閾值依賴于采樣點(diǎn)數(shù)目,而且數(shù)量通常過大。因?yàn)椴捎玫氖菃我婚撝?，所以?huì)造成各自的去噪不平衡。Sure閾值是一種基于Stein無偏/似然估計(jì)原理的自適應(yīng)閾值。給定一個(gè)閾值t，得到它的似然估計(jì)，再將非似然t最小化就可得到所選閾值[5]。該方法是一種軟閾值估計(jì)器。Bayesian閾值是通過 Bayesian似然估計(jì)最小化推導(dǎo)出來的，取得了較好的實(shí)驗(yàn)效果。

本文采用Penalized閾值中的Birge-Massart懲罰函數(shù)方法，由小波系數(shù)選擇規(guī)則得到。閾值由極小化的懲罰規(guī)則得到[6]：

其中,c(k)是小波系數(shù)，按照絕對(duì)值遞減的順序存儲(chǔ);σ是噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差;α是調(diào)整參數(shù)，其值越大，降噪圖像的小波表示越稀疏，其典型值為2；n是小波系數(shù)的個(gè)數(shù)。設(shè)tmin是式(1)的極小值，那么閾值 T=|c(tmin)|。

1.2 閾值函數(shù)選擇

閾值化處理有軟閾值函數(shù)(Soft Threshold)與硬閾值函數(shù)(Hard Threshold)兩種[7]。其中軟閾值函數(shù)為:

硬閾值函數(shù)為：

其中，t是小波系數(shù)，T是閾值。軟閾值函數(shù)是將小波系數(shù)t與閾值T進(jìn)行比較，然后根據(jù)比較的結(jié)果再向0收縮。硬閾值是使絕對(duì)值大于T的小波系數(shù)保留，其他置零。

通過實(shí)驗(yàn)可知,在高斯噪聲水平低時(shí)，硬閾值去噪效果(以峰值信噪比為參考)一般優(yōu)于軟閾值。在噪聲水平達(dá)到臨界值(58 dB)以上時(shí)，軟閾值去噪效果優(yōu)于硬閾值。本文測(cè)試所加的噪聲水平范圍在5 dB～25 dB之間,因此采用硬閾值函數(shù)處理[8]。

2 小波基的選擇

現(xiàn)有的小波基函數(shù)主要分為半正交小波、正交小波、雙正交小波等幾類[9],常用的小波有 Daubechies正交小波系、基于B2樣條函數(shù)構(gòu)造的雙正交小波系、Mexh小波、Meyer小波等。不同小波基去噪效果與噪聲水平、圖像的特點(diǎn)等具體情況有關(guān)[10]。對(duì)于噪聲來說,在正交小波基下分解系數(shù)的分布范圍比在雙正交小波基下的分布范圍小。因而當(dāng)噪聲水平低時(shí),正交小波分解所保留的高頻系數(shù)對(duì)重構(gòu)去噪圖像的貢獻(xiàn)要比雙正交小波分解的貢獻(xiàn)大；當(dāng)噪聲水平比較高時(shí)，由于雙正交小波分解系數(shù)分布的范圍比正交小波分解的范圍大，在大的閾值下所保留下來的系數(shù)含原圖像能量較多[11]。選擇小波基時(shí),一般應(yīng)選擇不同系列、不同緊支集長(zhǎng)度的小波基。數(shù)目越多，去噪效果越好，但計(jì)算量大、處理時(shí)間長(zhǎng),一般來說選3～5個(gè)小波基即可。本文選用sym13、coif5和dmey 3個(gè)小波基聯(lián)合進(jìn)行圖像去噪。

3 算法步驟

多小波基聯(lián)合去噪的算法步驟如下。

(1)分別對(duì)原始圖像使用 sym13、coif5和 dmey 3個(gè)小波基作J次分解，本文選取J=2;

(2)針對(duì)每個(gè)小波基分解后的圖像高頻系數(shù)進(jìn)行硬閾值處理，閾值由式(1)極小值得到;

(3)使用 sym13、coif5和 dmey 3個(gè)小波基分別進(jìn)行圖像重構(gòu)，得到三幅重構(gòu)圖;

(4)將這三幅重構(gòu)圖進(jìn)行算術(shù)平均,得到最終去噪圖像。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

選用 512×512的 lena圖和 232×205的 tire圖來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。仿真環(huán)境為Matlab 7.0。分別對(duì)兩幅圖像加入噪聲水平為 5 dB、10 dB、15 dB、20 dB、25 dB 的高斯白噪聲,用MSE(均方誤差)和PSNR(峰值信噪比)來進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)：

表1和表2分別給出了在各種噪聲條件下應(yīng)用單一小波基去噪和應(yīng)用多小波基去噪的lena和tire圖像的均方誤差和峰值信噪比結(jié)果。

表1 單一小波去噪及多小波聯(lián)合去噪lena圖像的MSE及PSNR對(duì)比表

表2 單一小波去噪及多小波聯(lián)合去噪tire圖像的MSE及PSNR對(duì)比表

鑒于篇幅，只列出 σ=25時(shí) lena和 σ=10時(shí) tire的去噪效果比較圖，如圖1和圖2所示

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，應(yīng)用sym11、coif5和 dmey三個(gè)小波基聯(lián)合去噪的結(jié)果比分別用這3個(gè)單小波去噪有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)。

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出,采用Birge-Massart懲罰函數(shù)閾值方法進(jìn)行多小波基聯(lián)合去噪比單小波去噪在效果上大有改善。應(yīng)用單小波分別對(duì)閾值去噪重構(gòu)之后的圖像進(jìn)行算術(shù)平均處理，得到的最終圖像的峰值信噪比只應(yīng)用單個(gè)小波提高許多。此法綜合了各小波基的優(yōu)點(diǎn)，且算法簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)。

[1]劉守山,楊辰龍,李凌,等.基于自適應(yīng)小波閾值的超聲信號(hào)消噪[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2007,41(9):1557-1560.

[2]CHANG S G,Yu Bin,VETTERLI M.Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression[J].IEEE Transactions on Image Processing,2000,9(9):1532-1546.

[3]PORTILLA J,STRELA V,WAINWRIGHT M J,et al.Image denosing using scale mixtures of gaussians in the wavelet Domain[J].IEEE Transactions on Image Processing,2003,12(11):1338-1351.

[4]Zhang Wei,Yu Fei,Gao Hongmi.Improved adaptive wavelet threshold for image denoising[C].2009 Chinese Control and Decision Conference,2009:5958-5963.

[5]KAUR L,GUPTA S,CHAUHAN R C.Image denoising using wavelet thresholding[C].Indian Conference on Computer Vision,Graphics&Image Processing-ICVGIP,2002.

[6]飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心.小波分析理論與MATLAB7實(shí)現(xiàn)[M].北京:電子工業(yè)出版社，2005.

[7]孫延奎.小波分析及其應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2005.

[8]張磊,潘泉,張洪才,等.小波域?yàn)V波閾值參數(shù) c的選取[J].電子學(xué)報(bào),2001,29(3):400-402.

[9]蔡敦虎,羿旭明.小波基的選取對(duì)圖像去噪的影響[J].數(shù)學(xué)雜志,2005,25(2):185-190.

[10]李旭超,朱善安.小波域圖像降噪概述[J].中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào),2006,11(9):1201-1209.

[11]費(fèi)佩燕,郭寶龍.基于多小波的圖像去噪技術(shù)研究[J].中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào),2005,10(1):107-112.