丁劍

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

圖像縮放是一種轉(zhuǎn)換圖像分辨率的處理技術(shù)。在數(shù)字圖像的處理中，圖像縮放一直是一項(xiàng)重要的內(nèi)容，具有廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)的圖像縮放方法有最鄰近插值法（又稱零階插值）、雙線性插值和雙三次插值[1-2]。這些傳統(tǒng)算法都是采用多項(xiàng)式的方法，根據(jù)離散的像素點(diǎn)構(gòu)造出一個(gè)連續(xù)的插值函數(shù)，再利用插值函數(shù)求出任意位置處的函數(shù)值。這些方法的優(yōu)點(diǎn)是能快速生成所需的目的圖像，并且具有良好的視覺效果，其缺點(diǎn)是在插值過程中容易造成邊緣層次模糊和塊狀效應(yīng)（像素重復(fù)顯示），對于那些紋理特征和邊緣細(xì)節(jié)比較豐富的圖像，處理的效果不盡如人意。圖像是一種視覺信息，圖像像素之間一般并不具有線性關(guān)系，因此有人在圖像處理中引入了非線性理論[3-5]。如朱功勤、檀結(jié)慶等在向量連方式方面開展了比較深入的研究，建立了二元Thiele型向量值有理插值[6]。英國著名的數(shù)學(xué)家羅素（Bertrand Russell）曾經(jīng)這樣說過：“逼近的思想將支配所有的精確科學(xué)”[7]。有理函數(shù)是一種典型的非線性逼近方法，用有理函數(shù)構(gòu)造圖像的插值函數(shù)或許能取得更好的效果。如胡敏等用二元向量有理插值來對圖像進(jìn)行處理[8]，蘇本躍等將切觸有理混合插值算法應(yīng)用到圖像縮放中[9]，王強(qiáng)等提出了有理插值樣條的圖像算法[10]。本文將構(gòu)造一種含參數(shù)的有理插值算法來實(shí)現(xiàn)圖像的縮放，且通過對參數(shù)不同的選擇可以對插值函數(shù)進(jìn)行局部修改，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文的方法能有效地提高圖像放大的質(zhì)量。

1 雙線性有理插值

1.1 雙線性有理插值函數(shù)的構(gòu)造

設(shè) Ω： [a，b；c，d]為 一 個(gè) 平 面 區(qū) 域 ， {（xi，yi），i=1，2，3，…，n；j=1，2，3，…，m}為一組給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，fi，j為定義在該點(diǎn)的函數(shù)值，其中a=x1

其中 λi為參數(shù)，且 λi＞0。

顯 然 式 （1）滿 足 H*i，j（xi）=fi，j，H*i，j（xi+1）=fi+1，j。

再 根 據(jù) H*i，j（x）， 構(gòu) 造 區(qū) 域 [xi，xi+1；yj，j+1]上 的 有 理 插值函數(shù)：

其 中 ，βj為 參 數(shù) ，βj＞0，且 滿 足 Hi，j（xr，ys）=f（xr，ys），r=i，i+1，s=j，j+1。

式（2）即稱為帶參數(shù)的雙線性有理插值函數(shù)。

1.2 雙線性有理插值的矩陣表示

為了更簡潔地表示雙線性有理插值函數(shù)，便于編程，采用矩陣的形式來表示插值函數(shù)，令：

則式（2）可表示為：

1.3 插值函數(shù)的性質(zhì)

（1）Hi，j（x，y）具有保 正性。 即當(dāng) fi，j的值為 非負(fù)時(shí)，Hi，j（x，y）的值也非負(fù)。

（3）端 點(diǎn) 性 質(zhì) ：Hi，j（xi，yj）=f（xi，yj）；Hi，j（xi+1，yj+1）=f（xi+1，yj+1）。

2 基于雙線性有理插值的圖像縮放

假設(shè)源圖像 R（x，y）的大小為 M×N，任意縮放 k倍后的目標(biāo)圖像 R′（x，y）的大小為 kM×kN。

（1）設(shè)源圖像 R（x，y）中第（i，j）處的像素值為 Ri，j，i=1，2，…，M，j=1，2，…，N。 目標(biāo)圖像 R′（x，y）在第（i′，j′）處的像素值為 R′i′，j′。 若 i′/i=k 且 j′/j=k，則 R′（i，j）=R（ki，kj）。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文先將源圖像（Lena，Peppers，Monkey圖）縮小兩倍，再分別以雙線性插值、雙三次插值和本文的方法（其中參數(shù) λi取 0.1，βj取 0.15）分別放大兩倍，然后比較這三種方法放大后圖像的視覺效果。

先用比較平滑的 Lena（256×256）和 Peppers（256×256）圖像作比較，結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1 Lena圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖2 Peppers圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果

再用邊緣特征和紋理比較豐富的 Monkey（256×256）圖像作為原圖像，縮小兩倍后，再分別用三種算法放大兩倍后，效果如圖3所示。

圖3 Monkey圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果

主觀上，根據(jù)邊緣檢測函數(shù)Canny算子分別檢測圖3（a）、（b）、（c）、（d）的邊緣，效果如圖 4 所示。

圖4 圖3各圖像邊緣檢測結(jié)果

從圖4中四幅邊緣圖像可以看出，本文的方法在放大圖像時(shí)對于圖像的邊緣保持較好。

客觀上，三種算法的峰值信噪比（PSNR）如表1所示。

表1 三種算法的PSNR比較

比較表1中數(shù)據(jù)可以看出，相比于雙線性插值和雙三次插值，本文方法對于圖像的放大效果有所提高和改善。

本文構(gòu)造了一種含參數(shù)的雙線性有理插值，通過非線性的方法來實(shí)現(xiàn)圖像的縮放，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明這種算法對于圖像的處理效果有所提升，是一種有效和控制靈活的方法。如何將線性和非線性方法結(jié)合起來，根據(jù)圖像的不同顏色特征區(qū)域自適應(yīng)地選取不同的圖像縮放方法，是下一步研究的重點(diǎn)。

[1]江銘炎，李興江，袁東風(fēng).圖像插值放大處理的方法[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2003，38（3）：1348-1351.

[2]馬天駿，高優(yōu)行.基于三次樣條的不均勻插值圖像放大方法[J].電子科技，2004（2）：45-50.

[3]Zou Le，Tang Shuo.New Approach to Bivariate Blending Rational Interpolants [J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics， 2011，26（2）：280-284.

[4]劉值，張莉，時(shí)軍，等.基于函數(shù)值的線性有理插值樣條[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2009，30（6）：86-90.

[5]方逵，鄧四清，謝進(jìn)，等.一種新的二元有理插值及其性質(zhì)[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2010（4）：116-122.

[6]檀結(jié)慶.連方式理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[7]王仁宏，朱功勤.有理函數(shù)逼近及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[8]胡敏，檀結(jié)慶，劉曉平.用二元向量有理插值實(shí)現(xiàn)彩色圖像縮放的方法 [J].計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2004，16（11）：1496-1500.

[9]蘇本躍，盛敏.自適應(yīng)圖像縮放的切觸有理混合插值算法[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46（1）：196-199.

[10]王強(qiáng)，檀結(jié)慶，胡敏.基于有理樣條的圖像縮放算法[J].計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2007，19（10）：1348-1351.