陳珊珊 樓旭陽(yáng)

江南大學(xué)輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 江蘇 214122

0 引言

眾所周知，二次規(guī)劃是非線性規(guī)劃中比較簡(jiǎn)單的一類，由于較容易求解，所以很多方面的實(shí)際問題都可以抽象成二次規(guī)劃的模型去求解，例如在運(yùn)籌學(xué)中，它被廣泛用于經(jīng)濟(jì)調(diào)度，合理分配，計(jì)劃決策等問題。

傳統(tǒng)解決二次規(guī)劃問題的方法過程復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，使得其在大范圍優(yōu)化中的使用受到限制。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有大規(guī)模并行處理和分布式存儲(chǔ)等特性，在高效運(yùn)算方面具有更多優(yōu)勢(shì)。1986年，Hopfield和Tank首先提出將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于解決線性規(guī)劃問題。近年來(lái)，建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)解決二次規(guī)劃問題的研究發(fā)展迅速。Chen和Fang通過使用懲罰參數(shù)，提出了解決凸二次規(guī)劃問題的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，得到了平衡點(diǎn)穩(wěn)定的時(shí)滯穩(wěn)定裕度。但是由于使用了懲罰參數(shù)，這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只能得到近似解。Liu，Cao和Wang提出一種時(shí)滯Lagrange網(wǎng)絡(luò)來(lái)求解二次型規(guī)劃問題，通過確定時(shí)滯間隔來(lái)保證時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在最優(yōu)點(diǎn)的漸進(jìn)穩(wěn)定性，但Lagrange乘子的存在，使得狀態(tài)變量有所增加，導(dǎo)致了網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的擴(kuò)大。Yang和Cao提出一類用于解決二次規(guī)劃問題的時(shí)滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這種模型不但沒有包含Lagrange乘子和懲罰參數(shù)，而且用來(lái)求解二次規(guī)劃問題也十分有效。但是，這種模型只考慮了部分神經(jīng)元存在時(shí)滯的情況。

考慮到時(shí)滯的普遍存在性，本文在Yang和Cao的研究基礎(chǔ)之上進(jìn)行了改進(jìn)，提出一類所有神經(jīng)元皆存在時(shí)滯的投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。同時(shí)，利用Gronwall不等式和Halanay不等式給出了全局指數(shù)穩(wěn)定性的證明。

1 問題描述

考慮如下二次規(guī)劃問題：

其中：Q∈Rn×n為正定或半正定矩陣，q∈Rn，A∈Rm×n為行滿秩矩陣，b∈Rm，且假設(shè)可行域Ω=｛x∈Rn｝為非空集合。

文獻(xiàn)【4】提出如下時(shí)滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)解決問題(1)：

其中α＞0恒成立，τ≥0表示傳輸延時(shí)。PΩ：Rn→Ω是一個(gè)投影算子，其定義如下：

其中

在本文中，我們對(duì)模型(2)加以改進(jìn)，提出一個(gè)所有神經(jīng)元皆存在時(shí)滯的投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)求解問題(1)：

設(shè)Ωe為模型(3)中平衡點(diǎn)的集合，Ω*=Ωe是問題(1)中最優(yōu)解的集合?？梢?，當(dāng)且僅當(dāng)x*是模型(3)的平衡點(diǎn)時(shí)，x*是模型(2)的平衡點(diǎn)，從而x*是問題(1)的最優(yōu)解。所以，我們就有Ω*=Ωe。為了分析模型(3)的穩(wěn)定性，我們引入下列的定義和引理。

定義1 如果由任意初始點(diǎn)x0出發(fā)的軌跡都滿足：

其中k和η是獨(dú)立的恒定常量，那么就稱這個(gè)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x*處是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

引理1(Gronwall不等式)設(shè)X(t)和Y(t)在［t0,+∞）上是非負(fù)連續(xù)的函數(shù)，如果

則

引理2(Halanay不等式) 令a＞b＞0，ν(t)為在［t0-τ,t0］上非負(fù)連續(xù)的函數(shù)且滿足下列不等式：

其中τ是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，則存在常數(shù)λ＞0滿足下列不等式：

其中λ是方程λ=a-beλτ的惟一解。

2 主要結(jié)果

在這一節(jié)中，我們將討論模型(3)的全局指數(shù)穩(wěn)定性。定理1 如果任意給定一個(gè)初始值滿足下列關(guān)系式：

那么，就存在一個(gè)惟一的連續(xù)函數(shù)x(t)在區(qū)間［t0,∞）上滿足模型(3)。

證明 令

則模型(3)演化為：

由于函數(shù)g(?)，PΩ(?)，T(?)是局部Lipschitz連續(xù)的，由微分方程解的存在性定理得，模型(3)存在一個(gè)解x(t)，其在［t0,T0）上滿足x(t0)=φ。

因?yàn)閤(t)∈Rn，于是我們可以得到：

在區(qū)間［t0,t］（t0＜t）上，對(duì)模型(3)中的第一個(gè)式子兩邊同時(shí)求積分，得到：

且x(t)=φ(t),-τ≤t ≤0。

所以：

根據(jù)引理1，可以得到：

因此，解x(t)在[0,T0）上是有界的。

根據(jù)微分方程連續(xù)性法則，我們得到模型(3)在區(qū)間［τ0,+∞）上存在惟一連續(xù)解。

定理證畢。

證明 設(shè)x*是模型(3)的一個(gè)平衡點(diǎn)，則有

x*=PΩ[（I-αQ）x*-αq] ，

從而可得：

兩邊取范數(shù)得：

根據(jù)引理2，可以得到：

其中λ是方程λ=a-beλτ的唯一解。所以，模型(3)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。定理證畢。

注：當(dāng)且僅當(dāng)x*是模型(3)的平衡點(diǎn)時(shí)，x*是問題(1)的最優(yōu)解。也就是說，任意x0∈Ω，模型(3)的解x(t,x0)指數(shù)收斂于問題(1)的惟一最優(yōu)解。

3 仿真示例

為了說明所提出的時(shí)滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在解決二次規(guī)劃問題中可行性和有效性，我們給出下面的仿真例子。

考慮如下的二次規(guī)劃問題：

易知該問題對(duì)應(yīng)(1)中的參數(shù)如下：

該問題最優(yōu)解為x*=(3.8335,1.1667)T，取τ=0.5，α=1，分別利用模型(2)、模型(3)來(lái)求解此二次規(guī)劃問題，在10個(gè)隨機(jī)初始條件下，所有解的軌跡均收斂至最優(yōu)解x*。仿真結(jié)果如圖1、圖2所示。利用模型(3)時(shí)，可以算出β=1，滿足全局指數(shù)穩(wěn)定的條件。

圖1 利用模型(2)得到的時(shí)間響應(yīng)曲線

圖2 利用模型(3)得到的時(shí)間響應(yīng)曲線

從圖中我們可以看出，模型(2)的1x和2x在接近3秒的時(shí)候才趨于穩(wěn)定，而模型(3)在2秒左右就開始趨于穩(wěn)定，即模型(3)比模型(2)的求解速度更快，并且具有很好的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

本文提出了一種新型的時(shí)滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，用于解決二次規(guī)劃問題。對(duì)所提網(wǎng)絡(luò)模型的全局指數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行了詳細(xì)的分析。數(shù)值實(shí)例說明了所提網(wǎng)絡(luò)模型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，求解速度快以及便于硬件實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)。

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