周園 肖洪祥 董俊飛

桂林理工大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 廣西 541004

0 引言

在非線性系統(tǒng)中，初始條件的微小變化，往往會(huì)導(dǎo)致結(jié)果以指數(shù)級(jí)的大小發(fā)生分離，這時(shí)我們稱這個(gè)系統(tǒng)存在混沌。時(shí)間序列是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的一種模型。如果時(shí)間序列對(duì)初始條件敏感，采用傳統(tǒng)線性時(shí)間序列分析方法將很難予以分析，因此傳統(tǒng)時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型對(duì)混沌時(shí)間序列的擬合和預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度都很差。經(jīng)過混沌學(xué)的發(fā)展，可以使用序列本身的規(guī)律對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)。Lyapunov指數(shù)法即是其中之一。通過最大Lyapunov指數(shù)的數(shù)值，可以判斷一個(gè)時(shí)間序列是否是混沌時(shí)間序列，亦即該非線性系統(tǒng)中是否存在著混沌。本文對(duì)太陽黑子序列進(jìn)行分析，證明其是一個(gè)混沌時(shí)間序列。

1 基于Lyapunov指數(shù)的時(shí)間序列分析方法

對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析，首先必須進(jìn)行相空間重構(gòu)。根據(jù)有限的數(shù)據(jù)重構(gòu)吸引子以研究系統(tǒng)動(dòng)力行為的方法即是相空間重構(gòu)。主要思想為：系統(tǒng)中每個(gè)分量的演化皆是由與之聯(lián)系的其他分量所決定的，相關(guān)分量的信息隱含在任意其他分量的變化過程中，即是運(yùn)用系統(tǒng)的任何一個(gè)觀察量可以重構(gòu)出整個(gè)系統(tǒng)的模型。

設(shè)時(shí)間序列為{xt}，其中t=1,2,...,N 。重構(gòu)相空間Rm的元素組為：

其中，N為重構(gòu)相空間維數(shù)；τ為延遲時(shí)間間隔數(shù)，且為正整數(shù)；p=N-(m-1)τ為時(shí)間序列嵌入相空間的向量數(shù)，N為時(shí)間序列的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)。

由Tokens定理，在理論條件下可任選τ。但在現(xiàn)實(shí)條件下時(shí)間序列都是有限長且有噪聲的。因而在重構(gòu)相空間時(shí)，τ的選取至關(guān)重要。目前所采用的方法大多是通過經(jīng)驗(yàn)來選擇τ， 從而使得XT和XT+τ相互獨(dú)立并不完全相關(guān)。

Lyapunov指數(shù)是描述奇異吸引子性質(zhì)的數(shù)據(jù)量。在m維離散系統(tǒng)中存在m個(gè)Lyapunov指數(shù)，即Lyapunov指數(shù)族。正的Lyapunov指數(shù)意為在此維度方向，系統(tǒng)以指數(shù)級(jí)速度分離。1983年，G.Grebogi證明了若最大Lyapunov指數(shù)λmax＞0，則系統(tǒng)一定存在著混沌。因此要判斷一個(gè)時(shí)間序列是否為混沌時(shí)間序列，必須求出其最大Lyapunov指數(shù)。為了保證領(lǐng)域點(diǎn)沿著不同的軌道運(yùn)動(dòng)，最近鄰域點(diǎn)間必須有分離間隔。此處取分離間隔為w=T/Δt，其中T為用FFT計(jì)算出的序列平均周期；Δt為序列的采樣周期。

2 計(jì)算機(jī)仿真步驟

仿真步驟如圖1所示。輸入太陽黑子年平均序列，通過FFT算法計(jì)算得到其平均周期T 。計(jì)算分離間隔作為時(shí)間窗τω。由公式得到嵌入維數(shù)m。運(yùn)用所得的參數(shù)使用Wolf法算出最大Lyapunov指數(shù)。進(jìn)而判斷該序列是否是混沌序列。

圖1 計(jì)算機(jī)仿真流程圖

(1) 這里選取的太陽黑子時(shí)間序列為從1700年-1987年共288年的數(shù)據(jù)。程序代碼為：

輸入的數(shù)據(jù)如圖2所示。

圖2 太陽黑子年平均序列

(2) 對(duì)其進(jìn)行FFT變換可以得到年平均周期T(如圖3所示)，程序?yàn)椋?/p>

圖3 sunspot數(shù)據(jù)FFT變換幅度

此程序運(yùn)行的結(jié)果為：

此結(jié)果即為該時(shí)間序列的平均周期，所以可以取T=11。

(3) 應(yīng)用Wolf法求最大Lyapunov指數(shù)

Lyapunov指數(shù)是相空間中相近軌道的平均收斂性發(fā)散性的一種度量。Wolf法是Wolf等人于1985年提出的軌道跟蹤法。正的Lyapunov指數(shù)的大小表征相空間中相近軌道的平均發(fā)散的指數(shù)率。已知序列平均周期為T=11，序列采樣周期Δt=1。此處取的分離間隔w=T/Δt=11作為時(shí)間窗τω。由文獻(xiàn)可取延遲τ=2，由公式τω=(m -1)τ計(jì)算得嵌入維數(shù)m=6。

先在工作區(qū)間建立重構(gòu)相空間的函數(shù)文件reconstitution.m：

主體函數(shù)使用Wolf法求得最大Lyapunov指數(shù)，流程圖如4所示。

程序運(yùn)行結(jié)果為：

圖4 Wolf法流程圖

此結(jié)果意為最大Lyapunov指數(shù)λmax＞0。由以上原理，正的Lyapunov指數(shù)表明在該維方向，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌道迅速分離，系統(tǒng)存在著混沌。所以，太陽黑子年平均數(shù)序列是一個(gè)混沌時(shí)間序列。

3 結(jié)束語

MATLAB具有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力，可以方便的實(shí)現(xiàn)用戶所需的各種計(jì)算功能。本文即利用基于MATLAB平臺(tái)實(shí)現(xiàn)對(duì)太陽黑子年平均數(shù)這一時(shí)間序列的分析與仿真。得到其最大Lyapunov指數(shù)λmax＞0，從而證明該時(shí)間序列的確是一個(gè)混沌時(shí)間序列。

[1] 邵小強(qiáng),馬憲民.混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)的建模與仿真研究.計(jì)算機(jī)仿真.2011.

[2] F.Takens,Lect ure Notes in Mathematics.1981.

[3] A.Wolf.J.B.Swift,,H.L.Swinney and J.A.Vastano.Determ ing Lyapunov exponents from a time series, Physica 16D.1985.

[4] Tong H and Lim K S. Threshold autoregression, limit cycles and cyclical data(with discussion), J.Roy Stat Soc.1980.