黃永明，杜穎鋼，余輝，楊綠溪

（1. 東南大學 教育部水聲信號處理重點實驗室，江蘇 南京 210096;2. 東南大學 信息科學與工程學院，江蘇 南京210096; 3. 華為技術(shù)有限公司 通信技術(shù)研究部，廣東 深圳 518129）

1 引言

蜂窩網(wǎng)絡(luò)中頻率復用的多小區(qū)多用戶系統(tǒng)是一個干擾受限系統(tǒng)。小區(qū)邊緣用戶由于距基站較遠而離干擾小區(qū)較近，其鏈路可靠性較差，傳統(tǒng)的抗干擾技術(shù)已無法滿足日益提高的系統(tǒng)平均頻譜利用率要求，而多小區(qū)協(xié)作處理是解決該問題的有效策略之一。它通過相鄰基站的協(xié)作能有效抑制小區(qū)間干擾，甚至能將干擾轉(zhuǎn)變?yōu)樵鲆?。理論研究已表明：相比非協(xié)作多小區(qū)系統(tǒng)，該策略可顯著提升鏈路可靠性和系統(tǒng)容量。該方向早期研究主要針對上行鏈路多個基站聯(lián)合接收用戶信號的優(yōu)化設(shè)計。相比而言, 多小區(qū)下行鏈路的協(xié)作處理優(yōu)化更具挑戰(zhàn)性，尤其當基站配置多根天線并考慮單基站功率約束條件。

通過多個協(xié)作基站之間信道狀態(tài)信息(CSI,channel state information)和用戶數(shù)據(jù)信息的完全共享，多基站協(xié)作模型本質(zhì)上可等效為單小區(qū)的多用戶多天線系統(tǒng)?，F(xiàn)有的下行鏈路多用戶技術(shù)可直接應(yīng)用于該模型并理論上獲得吞吐量的明顯提升。但其實現(xiàn)需要一個中央控制器且需要多小區(qū)用戶之間進行精確地同步，這在實際系統(tǒng)中很難達到；此外，基站間進行大量的信息交互，所需的回程開銷現(xiàn)有系統(tǒng)難以承受。因此迫切需要發(fā)展基于小區(qū)間有限協(xié)作的分布式多小區(qū)協(xié)作處理技術(shù)。

分布式多小區(qū)協(xié)作傳輸技術(shù)近幾年已得到了廣泛的關(guān)注，文獻[1]和文獻[2]研究了多小區(qū)下行鏈路分布式處理技術(shù)的可達速率性能，文獻[3]進一步分析了有限回程約束下的容量性能，揭示了該技術(shù)的潛在增益。文獻[4～6]給出了多小區(qū)分布式協(xié)作處理的具體算法。其中，文獻[5]在基站間共享數(shù)據(jù)信息的情況下，將下行鏈路的波束成形問題轉(zhuǎn)化為線性最小均方誤差(LMMSE)估計問題，實現(xiàn)了分布式波束成形的迭代優(yōu)化，但該算法不能保證全局收斂性。文獻[6]僅利用本地的信道狀態(tài)信息實現(xiàn)分布式的多小區(qū)協(xié)作波束成形設(shè)計，可獲得接近于帕累托界（Pareto boundary）的準最優(yōu)性能。但需指出的是，文獻[5]和文獻[6]均需要基站間共享數(shù)據(jù)信息，這在有限回程容量限制下很難實現(xiàn)。

為了有效降低協(xié)作基站之間的信息交互，文獻[7～10]提出了基站間不共享數(shù)據(jù)信息的協(xié)作波束成形算法。文獻[7]利用 Lagrange對偶理論實現(xiàn)了基于小區(qū)間有限信息交互的協(xié)作波束成形優(yōu)化，但它只能解決給定 SINR要求下的最小化總功率問題；文獻[8]和文獻[9]在僅利用本地信道狀態(tài)信息的條件下，分別基于 SGINR（signal-to-generatedinterference plus noise ratio）和 SCIR（signal-tocaused-interference ratio）準則提出了協(xié)作預(yù)編碼的分布式優(yōu)化算法。但該算法只在兩基站協(xié)作場景下高系統(tǒng)信噪比時具有漸進最優(yōu)性。

本文將研究有限回程開銷約束下的多小區(qū)協(xié)作波束成形優(yōu)化設(shè)計。為了實現(xiàn)用戶公平性基礎(chǔ)上的系統(tǒng)性能優(yōu)化，提出以逼近多用戶速率集合帕累托界上具有最大最差用戶速率的點為優(yōu)化目標?；谠撃繕?，首先推導出一種能達到目標點的集中式算法，算法分為最小信干噪比（SINR）最大化（max-min）優(yōu)化和帕累托改進 2個步驟。在此基礎(chǔ)上，進一步提出了一種逼近集中式算法性能的分布式解決算法，該算法利用多小區(qū)系統(tǒng)的上下行鏈路對偶性原理，將下行鏈路優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為虛擬的上行鏈路優(yōu)化問題，從而實現(xiàn)了小區(qū)間有限協(xié)作約束下的分布式協(xié)作波束成形優(yōu)化設(shè)計。

2 系統(tǒng)模型

考慮一個頻率復用因子為1的協(xié)作多小區(qū)下行鏈路系統(tǒng)，包含K個基站和U個用戶，每個基站配置M根發(fā)射天線，每個用戶終端配置單根天線且從屬于單個基站。各基站只向從屬于自己的用戶發(fā)送信號，因此基站之間不需要共享用戶數(shù)據(jù)，但各用戶的發(fā)送波束需進行協(xié)作優(yōu)化設(shè)計，以有效抑制小區(qū)間干擾并提升系統(tǒng)性能。

為方便分析，先假定每個基站僅服務(wù)單個用戶，即K=U。令基站k發(fā)往其所服務(wù)用戶（同樣標記為k）的信號記為ks，滿足其中，E ｛·｝為期望運算符。令和kp 分別表示基站k的歸一化波束成形向量和發(fā)射功率，則用戶k的基帶等效接收信號可表示為

其中，?表示Hermitian轉(zhuǎn)置，向量kih為基站i到用戶k的平坦衰落信道為高斯白噪聲。

需要指出的是，由于本文算法的優(yōu)化目標為信干噪比的簡單函數(shù)，上述接收信號模型不需要各基站發(fā)射信號在接收端的嚴格同步。這是因為實際系統(tǒng)中可能產(chǎn)生的信號不同步在 OFDM 系統(tǒng)中可等效為信道矢量的相位偏移，并不影響接收端的SINR值。

上述協(xié)作多小區(qū)系統(tǒng)設(shè)計的關(guān)鍵在于功率分配｛pk｝?k和波束成形向量｛fk｝?k的聯(lián)合優(yōu)化，可分為集中式優(yōu)化和分布式優(yōu)化2種方式。實際系統(tǒng)中多小區(qū)之間的回程鏈路容量有限，因此協(xié)作波束成形優(yōu)化設(shè)計還需充分考慮回程開銷的約束。

3 集中式協(xié)作波束成形技術(shù)

本節(jié)將提出一種集中式協(xié)作波束成形方法。為了實現(xiàn)公平性基礎(chǔ)上的性能優(yōu)化，所提方法首先采用最大化最差用戶(max-min)加權(quán)SINR準則優(yōu)化設(shè)計多小區(qū)下行波束成形向量和功率分配向量，然后提出一種帕累托改進方法，以在不犧牲其他用戶性能的基礎(chǔ)上最大限度地提升單個用戶的 SINR性能。由于用戶速率和SINR單調(diào)相關(guān)，所提方法可逼近帕累托界上具有最大最差用戶速率的點。下面將詳細討論這種2步優(yōu)化算法。

3.1 Max-min優(yōu)化

各用戶的SINR 計算如下

式(3)中BSP為各基站的功率約束，kρ為權(quán)重因子，通過為各個小區(qū)設(shè)定不同的權(quán)重因子可以實現(xiàn)比例公平的優(yōu)化，設(shè)置較大權(quán)重因子的用戶可獲得較高的速率。上述問題是非凸的，很難直接求解。下面把原始問題等效成2個子問題進行分層求解。引入虛擬加權(quán)SINR指標γ，并定義如式(4)的功率最小化子問題（內(nèi)層子問題）：

其中，||p||1表示向量p的一范數(shù)。對于不同γ，該問題分為有解和無解2種情況。研究已表明[11]，該子問題能轉(zhuǎn)換為二階錐規(guī)劃問題，因此可用 CVX之類的凸優(yōu)化工具包進行求解。當給定γ有解時，對應(yīng)的功率向量解記為γ(p)。作者在文獻[12]中的研究已指出，問題(3)的求解等效于尋找使對應(yīng)問題(4)有解的最大虛擬加權(quán)SINR指標γ*，該子問題（外層子問題）可表示為

獲得該最大指標的對應(yīng)波束成形向量W*和功率向量p*即為問題(3)的解。

基于上述結(jié)論，類似文獻[12]中的分層迭代算法，利用二分搜索法迭代優(yōu)化虛擬加權(quán)SINR指標并輸入到子問題(4)進行求解，直至所得功率分配向量中至少有一個元素等于功率約束PBS,對應(yīng)的波束成形向量集和功率分配向量即為問題(3)的解。

3.2 帕累托改進（Pareto improvement）

上述的max-min優(yōu)化雖然可以有效地最大化簇內(nèi)最差小區(qū)的速率性能，但每個用戶總是得到完全相等的加權(quán) SINR，且下行功率向量*p大部分元素往往都小于PBS（對應(yīng)的用戶集合記為S），表明在max-min優(yōu)化性能的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)和速率仍有一定的提升空間。為此，本文提出一種波束成形向量的更新方法，在max-min優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上進一步調(diào)整用戶k∈S的波束成形向量和發(fā)射功率，使得這些用戶在不降低其他任一用戶 SINR（或速率）的前提下進一步提高自身的SINR（或速率），博弈論中這種方法稱為帕累托改進。具體算法描述如下：

其中，kα為標量因子，使得

3.3 性能分析

下面將證明上述帕累托改進方法在不損害其他用戶性能的前提下通?？勺畲笙薅鹊靥岣咦陨淼男阅?。博弈理論把最大限度帕累托改進后獲得的多用戶速率域稱為帕累托界，文獻[2]已證明帕累托界上各用戶的波束成形向量必能表示為如下形式：

其中，ik?表示復數(shù)參數(shù)。類似的方法可證明，maxmin最優(yōu)的用戶波束成形矢量同樣可表示成上述形式。進一步改寫式（7）為

把kf分解成ZFkh 和Ikh2個方向。由于通常有為了保證用戶波束成形更新后不損害其他用戶的性能，需把帕累托改進波束更新方向限制在 hkZF方向，表示如下：

4 分布式協(xié)作波束成形技術(shù)

基于上節(jié)提出的集中式優(yōu)化方法，本節(jié)將進一步提出低回程開銷的分布式優(yōu)化方法，所提方法同樣分成2個步驟，即max-min優(yōu)化步驟以及帕累托改進步驟。本文主要考慮TDD系統(tǒng)，利用上下行信道的互易性，假設(shè)基站端通過信道估計可獲得各用戶的下行鏈路信道信息[12]，記為基于該本地信道信息，由式(5)可知，每個協(xié)作基站可分布式地實施帕累托改進，基站之間不需要交互任何信息。因此，分布式優(yōu)化的關(guān)鍵在于max-min優(yōu)化步驟的分布式實現(xiàn)。下面本文利用多小區(qū)協(xié)作系統(tǒng)中上下行鏈路的近似對偶性原理提出一種max-min優(yōu)化的分布式實現(xiàn)算法。

4.1 上下行鏈路的SINR對偶性

如果將多個協(xié)作基站視為一個虛擬的超基站，則多小區(qū)協(xié)作系統(tǒng)可以視作包含一個虛擬超基站和K個用戶的虛擬多用戶通信系統(tǒng)。文獻[13]和文獻[14]的研究表明，對于每一個用戶k，上下行鏈路采用相同的波束向量和總功率約束可以達到相等的 SINR。因此可以通過優(yōu)化虛擬上行鏈路達到優(yōu)化下行鏈路的目的。

值得注意的是，這里的虛擬超基站受單基站功率約束，而非總功率約束。因此傳統(tǒng)的上下行鏈路對偶性需要進行擴展才能應(yīng)用于本文的場景。文獻[13]中所提對偶性的修正形式可以直接應(yīng)用于本文場景，但其分布式實現(xiàn)需要基站間頻繁交換信息，不滿足有限協(xié)作的要求。為此，本文將提出協(xié)作多小區(qū)模型下的近似上下行鏈路對偶性，并以此為基礎(chǔ)推導分布式協(xié)作波束成形算法。

首先將基于單基站功率限制的虛擬上行鏈路問題表示為如下形式

其中， q = [ q1,… ,qK]T為虛擬上行鏈路的功率向量，第k個用戶的上行鏈路SINR為

假定式(11)的解為 q*和 W*，通常有 || q*||1≤KPBS。傳統(tǒng)的上下行鏈路對偶性原理表明：下行鏈路系統(tǒng)中可找到滿足和功率為 || q*||1的下行功率向量利用該功率分配和波束成形 W*可使下行鏈路獲得與虛擬上行鏈路相等的最大化最差SINR值。仿真結(jié)果進一步表明上述上下行鏈路功率分配向量通常滿足即單基站功率約束下的多小區(qū)協(xié)作系統(tǒng)上下行鏈路存在近似的SINR對偶性。因此通過求解問題（11）可以近似得到問題（4）的解。下面將理論分析該結(jié)論。

首先定義

及矩陣 ψ （ W ） ，它的第 （i, j） 個元素表示為

文獻[14]表明上下行鏈路的功率向量均與如下矩陣有關(guān)

其中，1為全1向量。由以上2式可知，Λ為對角矩陣時有*=?pq，即此時單基站功率約束下的對偶性原理精確成立。以此類推，上述對偶性原理的近似程度可由Λ的對角占優(yōu)特性來指示。下面的分析將證明Λ為對角占優(yōu)矩陣，并且在接收端 SNR極大或極小時變?yōu)闇蕦顷嚒Ｊ紫扔^察1-Λ 并據(jù)下式度量[15]判斷其是否為對角占優(yōu)矩陣：

若對于任意k，均有ηk＞1，則Λ-1為嚴格對角占優(yōu)陣。由于為問題(13)的解，故

基于此，kη可以進一步寫為

由于動態(tài)組建的協(xié)作多小區(qū)系統(tǒng)注2注2 協(xié)作基站/小區(qū)簇動態(tài)組建策略是根據(jù)用戶的信道條件動態(tài)地選擇多個基站和多個用戶，被選中的每個用戶與被選中的多個基站之間的信道強度通常具有同一數(shù)量級。中的值通常具有相同的數(shù)量級，故可近似得到ηk＞ 1 ,?k 。特別當接收 SNR值極小時，即易知ηk遠大于1，即Λ-1為準對角陣。同樣，當接收SNR值極大時，用戶間干擾的數(shù)量級將大于噪聲方差。因此求解問題(11)得到優(yōu)化波束成形向量的主要作用是消除用戶間干擾，故有可得ηk遠大于1。綜上可知，對于給定的可達γ值， Λ-1和Λ均為對角占優(yōu)矩陣，表明單基站功率約束下的上下行鏈路對偶性在大概率意義上近似成立，本文第5節(jié)的仿真結(jié)果進一步驗證了這一結(jié)論。

4.2 分布式解決方案

利用上面給出的上下行鏈路近似對偶性原理，將提出一種很逼近第3節(jié)中集中式優(yōu)化算法性能的分布式迭代求解算法?；舅悸肥窍冗M行虛擬多小區(qū)上行鏈路波束成形協(xié)作優(yōu)化，然后基于對偶性原理獲得下行鏈路的優(yōu)化波束成形向量和下行功率向量。對應(yīng)的虛擬上行鏈路優(yōu)化問題可寫為

為解決該虛擬問題，利用定點迭代算法[16]提出一種低回程開銷的分布式解決方案。具體算法描述如下：

其中，

附錄 A將證明上面迭代算法能有效解決問題(19)，其解記為由上下行鏈路存在的近似對偶性原理可知，下行鏈路的優(yōu)化波束成形向量即為優(yōu)化功率分配向量計算如下：

需要指出的是，由于單基站功率約束下的上下行鏈路對偶性只近似成立，因此某些情況下（很小的概率）可能略大于 PBS，但仿真結(jié)果表明，由此產(chǎn)生的性能損失很小。

4.3 協(xié)作開銷

下面將分析所提分布式算法的協(xié)作開銷。由式(5)可知，第二優(yōu)化步驟中各基站僅需本地信道信息即可迭代更新發(fā)射波束形成向量；第一優(yōu)化步驟所提迭代算法中，由于迭代步驟2)中g(shù)k（n）簡單計算為并不改變最終結(jié)果，因此算法實施時無需計算 γ（n），故虛擬上行鏈路中用戶k的功率分配向量和波束成形向量可以分布式地迭代更新，該過程需各基站共享每次迭代得到的功率向量 q（n），因此在第n次迭代中，基站k需廣播其功率值至其他基站。若所提算法收斂于第(N+1)次迭代，則基站間需交換NK個正值參數(shù)。實際系統(tǒng)中，交互參數(shù)需進行量化后傳輸，由于的取值限于[0 , PBS]內(nèi)，故可以簡單地采用均勻線性量化器對參數(shù)進行量化。

另外，由式(24)可知，為計算p，各基站需知道D和Λ，因此需要基站間交換D和Λ的非零元素，共需要交互 K2個正實參數(shù)。

綜上所述，算法實施(N+1)次迭代需在基站間交互 N K + K2個正實參數(shù)。仿真結(jié)果顯示，當K= 2 和 K = 3 時算法收斂通常只需5次左右的迭代，且單次迭代( N = 0 )即可獲得非常接近算法的收斂性能。表明所提分布式解決方法只需非常有限的基站間回程開銷即可獲得逼近Pareto最優(yōu)的性能。另外需要指出的是，如果直接通過基站間共享信道狀態(tài)信息進行協(xié)作波束成形設(shè)計，每個基站獲取非局部 CSI共需22MK個實參數(shù)的回程交互量，該開銷在實際系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置下遠大于所提算法所需的回程開銷，且隨著天線數(shù)M線性增長，而所提分布式算法的回程開銷并不隨天線數(shù)明顯增長，尤其適用于天線數(shù)目較多的多小區(qū)協(xié)作系統(tǒng)。

5 仿真結(jié)果

本節(jié)將通過計算機仿真考察所提算法的性能。主要考慮2基站協(xié)作和3基站協(xié)作的場景, 相鄰協(xié)作基站間距離為1km。由于協(xié)作系統(tǒng)中用戶通常均位于小區(qū)邊緣，仿真中考慮用戶距服務(wù)基站的距離為400m，距其他協(xié)作基站的距離為600m。

假設(shè)平坦信道衰落模型，信道矢量 hki表示為其中為快速衰落信道，服從CN（0,I ）分布；μki為大尺度衰落，計算如下

其中，β為擴展系數(shù)，l為路徑損耗的指數(shù)因子（通常l＞2），dki為用戶k和基站i間的距離。χki表示服從對數(shù)正態(tài)分布的陰影衰落。信道仿真時大尺度路徑損耗計算為 3 8lg （ dki）+ 3 4.5（dB）[17]，陰影衰落的標準差為8dB。10Mbit/s帶寬上的噪聲系數(shù)為9dB。為與實際系統(tǒng)參數(shù)保持一致，仿真結(jié)果圖中用10M總帶寬上的發(fā)射功率表征系統(tǒng)的信干噪比。假設(shè)噪聲功率譜密度為-174dBm/Hz, 則用戶端在2基站和3基站場景下平均信干噪比(dB)與發(fā)射功率(dBm)的對應(yīng)關(guān)系可計算如表1所示。

表1 PBS與平均SINR的對應(yīng)關(guān)系

為考慮所提方法在基站間極有限信息交換情況下的系統(tǒng)性能，同時仿真了所提分布式算法經(jīng)過單次迭代的系統(tǒng)性能，此時小區(qū)間僅需共享矩陣D和Λ中的非零元素。作為對比，本文還仿真了基于 SGINR準則[8,9]的多小區(qū)分布式波束成形系統(tǒng)的性能。

圖1和圖2給出了（M , K ）= （ 4, 2）參數(shù)配置下，2種典型隨機信道下多小區(qū)協(xié)作波束成形系統(tǒng)的帕累托界[2]。圖中同時給出了所提算法和SGINR算法得到的多用戶速率集合的位置，表明本文所提集中式算法和SGINR算法得到的速率集合均位于帕累托界上。但圖1顯示，與SGINR算法不同，集中式算法得到的速率集合恰好位于帕累托界和直線 y=x的交叉點。在圖2所示的另一種典型場景下，帕累托界和直線 y=x并無交點，此時集中式算法得到的速率集合為帕累托界距離直線 y=x最近的點。由于本文所采用的是近似的上下行鏈路對偶性，故分布式算法與集中式相比有一定的性能損失；然而，所提分布式算法的最差速率性能均優(yōu)于SGINR算法。

圖1 一次隨機實現(xiàn)信道條件下的協(xié)作波束成形多小區(qū)下行系統(tǒng)的用戶速率以及帕累托界， PBS= 4 0dBm ，(M , K) = (4, 2)

圖2 另一次隨機實現(xiàn)信道條件下的協(xié)作波束成形多小區(qū)下行系統(tǒng)的用戶速率以及帕累托界， PBS=40dBm, (M , K) = (4, 2)

本文所提算法基于單基站功率約束的上下行鏈路對偶性，因此有必要考察上下行鏈路對偶的精確性。第4.1節(jié)的分析表明，只要滿足就可以保證它的有效性；反之，所提分布式算法將會有一定的性能損失，其大小取決于超出功率約束部分的大小。下面定義如下的功率溢出比φ，并對其進行計算機仿真。

圖3 分布式優(yōu)化結(jié)果中下行鏈路功率分配向量中功率溢出比例的累積分布函數(shù)， PBS=40dBm

圖4、圖5分別仿真了所提算法和SGINR算法中最差用戶的平速率性能。仿真結(jié)果表明在所有配置（M , K ）= ｛ （4, 2）,（6, 2）,（4, 3）,（6, 3）｝ 中，特別是在較高信干噪比和K=3的情況下，本文所提分布式算法均優(yōu)于SGINR算法。另外需要指出的是，所提迭代算法經(jīng)過單次迭代即可獲得算法收斂的絕大部分性能，多次迭代后相比單次迭代的性能增益非常有限。該結(jié)果表明，只需極其有限的協(xié)作就可以保證所提分布式算法的有效性。仿真結(jié)果同時顯示，所提分布式算法的性能非常逼近集中式算法。如前所述，本文所提集中式算法可以達到帕累托界的性能，這表明本文所提分布式算法可以在有限協(xié)作的情況下獲得逼近帕累托最優(yōu)的性能。

圖4 協(xié)作波束成形多小區(qū)下行系統(tǒng)的最差用戶平均速率( 2K= )

圖5 協(xié)作波束成形多小區(qū)下行系統(tǒng)的最差用戶平均速率( 3K= )

6 結(jié)束語

本文主要研究了單基站功率約束下公平性速率優(yōu)化準則下的多小區(qū)下行鏈路協(xié)作波束成形技術(shù)。首先提出了一種2步優(yōu)化的集中式算法，并證明了該算法可以達到帕累托界上最差用戶速率最大化的點。然后，進一步利用單基站功率約束下近似的上下行鏈路對偶性設(shè)計了一種只需小區(qū)間交換有限參數(shù)的分布式算法。仿真結(jié)果表明本文所提算法可以在小區(qū)間僅進行有限協(xié)作的情況下達到逼近帕累托最優(yōu)的性能。

附錄A 分布式迭代算法收斂性證明

1) q(n)中每個元素在迭代過程中單調(diào)遞減；

2) q(n)必收斂到唯一的最優(yōu)點；

3) 定點迭代的任意中間結(jié)果 q(n)都能達到預(yù)定目標γ。

利用上述性質(zhì)，下面證明第4.2節(jié)所提迭代算法的收斂性。從第n次迭代開始考慮，由步驟5)可知， q(n)滿足單基站功率約束并可獲得最小信干噪比 γ(n)（即可達到干噪比目標 γ(n)）。在接下來的第(n+1)次迭代中，由于 g（n+1）=I （ γ（n）, q（n）） 為標準的定點迭代過程，根據(jù)性質(zhì)1)，可知

因此，在該次迭代步驟3)有1α≥。根據(jù)SINR的計算表達式可知

再根據(jù) γ(n)的定義可知

因此有 γ(n+1)≥ γ(n)，即最小 SINR在迭代過程中單調(diào)遞減，迭代算法收斂到唯一定點。

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