夏棟舟，何益斌

(1. 長沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖南 長沙，410114；2. 湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙，410082)

土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用(Soil-structure dynamic interaction，縮寫為 SSDI)[1]是指由震源引起的地震波通過場地土的傳播輸入到結(jié)構(gòu)體系使結(jié)構(gòu)發(fā)生振動(dòng)，同時(shí)，振動(dòng)的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生慣性力如同新的震源又反過來作用于場地，引起新的場地振動(dòng)再作用于結(jié)構(gòu)體系。我國現(xiàn)行《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50011—2001)[2]仍然基于常阻尼比來研究建筑物的地震作用，沒有考慮地基土、基礎(chǔ)與上部結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用而產(chǎn)生的阻尼耦合效應(yīng)。因此，在傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中通常忽略由于土-結(jié)動(dòng)力相互作用效應(yīng)而導(dǎo)致地震作用減小的有利影響，這在一定程度上雖然保證了抗震設(shè)計(jì)的可靠度，但客觀上又大大增加了工程投資，浪費(fèi)了建設(shè)資源，對環(huán)境保護(hù)也有重大影響。因此，在建筑抗震設(shè)計(jì)中，應(yīng)該對土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用效應(yīng)進(jìn)行進(jìn)一步研究，以便更好地指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)，節(jié)約建設(shè)成本，而這其中一個(gè)最重要同時(shí)也是最復(fù)雜的問題是對SSDI體系阻尼性能的研究。在此，本文作者提出一種考慮基礎(chǔ)質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的改進(jìn)簡化計(jì)算模型，并通過對各個(gè)非線性參數(shù)的選取，推導(dǎo)出更能反映土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系動(dòng)力特性的非線性耦合阻尼比公式。通過實(shí)例與其他傳統(tǒng)的阻尼比簡化計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算對比，以證明其有效性。

1 改進(jìn)的SSDI體系非線性耦合阻尼比公式的提出

傳統(tǒng)土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的簡化計(jì)算方法具有代表性的有 Modify-Veletsos法(簡稱 MV 法)[3]、Modify-Bielak法(簡稱 MB法)[4]、ATC法[5]以及日本建筑學(xué)會(huì)地震荷載委員會(huì)推薦的 JAP法[1,6]。陳躍慶等[7]指出了這些方法的不足，并提出了改進(jìn)的計(jì)算方法，但該方法仍然沒有考慮上部結(jié)構(gòu)在與土體及基礎(chǔ)的動(dòng)力相互作用時(shí)表現(xiàn)出的強(qiáng)非線性，且結(jié)構(gòu)的阻尼比取為常值，未能考慮結(jié)構(gòu)阻尼的非線性；同時(shí)，在地基阻抗和樁基阻抗計(jì)算中將土體假設(shè)為均勻土或土體模量隨深度線性增加，不能充分考慮土體的非線性特性以及基礎(chǔ)埋置深度的影響。

而在上、下部結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系實(shí)際工作狀態(tài)中，地震能量的損耗往往就發(fā)生在基礎(chǔ)與地基土、基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)之間，這是彼此間非線性接觸所致，因此，忽略基礎(chǔ)質(zhì)量的假設(shè)是不妥的。本文考慮基礎(chǔ)質(zhì)量為m0、基礎(chǔ)的等效半徑a，同時(shí)考慮柔性地基土本身的黏滯材料阻尼ξs，其簡化計(jì)算模型如圖1所示，建立體系的整體運(yùn)動(dòng)方程。

式中：F1為結(jié)構(gòu)頂部承受的水平外力；FR與MR分別為基礎(chǔ)承受的對應(yīng)于外力作用的總作用力與總彎矩，在這里，F(xiàn)R＝F1，MR＝F1h；I0為基礎(chǔ)與上部結(jié)構(gòu)對各自通過質(zhì)心的水平軸的慣性矩之和。

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中的計(jì)算方法進(jìn)行推導(dǎo)，可得到方程的近似解：

圖1 土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系簡化計(jì)算模型Fig.1 Simplified calculation model for soil-structure-interaction system

式中：ω和ξ分別為剛性地基上結(jié)構(gòu)的自振頻率與阻尼比；ωu和ωθ分別為地基基礎(chǔ)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的特征頻率；ξu和ξθ分別為地基基礎(chǔ)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的輻射阻尼比；ξs為柔性地基的土介質(zhì)黏滯材料阻尼。由于這些參數(shù)的取值均隨不同上部結(jié)構(gòu)性質(zhì)、不同基礎(chǔ)條件以及不同地基土性質(zhì)的變化而呈非線性變化，由此得到的阻尼比是非線性耦合阻尼比。可以看出：式(3)和(4)不僅考慮了上部結(jié)構(gòu)的阻尼特性，還考慮了地基在基礎(chǔ)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的輻射阻尼，同時(shí)也考慮了地基土的黏滯材料阻尼，能更加全面把握土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系各部分的阻尼特性對整個(gè)體系阻尼的貢獻(xiàn)。

2 土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系非線性耦合阻尼比公式參數(shù)的選取與修正

本文提出的改進(jìn)簡化計(jì)算方法與傳統(tǒng)的無質(zhì)量計(jì)算模型相比有了較大改善，但由于該簡化模型中考慮的是單質(zhì)點(diǎn)體系，未考慮結(jié)構(gòu)的非線性特性、基礎(chǔ)形式、基礎(chǔ)埋置深度、地基非均勻土層以及地基基礎(chǔ)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)耦合等因素的影響，因此，需要對公式中各項(xiàng)參數(shù)包括上部結(jié)構(gòu)阻尼比ξ、自振頻率ω、地基土材料阻尼ξs、基礎(chǔ)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)頻率(ωu和ωθ)、基礎(chǔ)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)頻率(ωu和ωθ)、基礎(chǔ)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼比(ξu和ξθ)等進(jìn)行修正。

2.1 上部結(jié)構(gòu)阻尼比ξ的修正

傳統(tǒng)的幾種簡化計(jì)算方法對于上部結(jié)構(gòu)阻尼比均基于常阻尼比為條件進(jìn)行計(jì)算，上部結(jié)構(gòu)的阻尼比通常選取常阻尼比ξ=0.05或ξ=0.02。但是，影響上部結(jié)構(gòu)阻尼特性的因素非常多，不僅有結(jié)構(gòu)外部的阻尼，而且包括結(jié)構(gòu)內(nèi)部的阻尼；同時(shí)，建筑材料、結(jié)構(gòu)形式、結(jié)構(gòu)變形等因素都對結(jié)構(gòu)阻尼特性有重要影響，上部結(jié)構(gòu)在考慮地基基礎(chǔ)相互作用后，其阻尼特性表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性，不能再以常阻尼比來進(jìn)行動(dòng)力計(jì)算，本文采用文獻(xiàn)[9]中提出的基于結(jié)構(gòu)層間廣義相對剪切變形，針對不同結(jié)構(gòu)形式的非線性阻尼比作為SSDI體系中上部結(jié)構(gòu)阻尼比ξ，其具體計(jì)算公式如下。

對于框架填充墻結(jié)構(gòu)：

對于鋼筋混凝土抗震墻結(jié)構(gòu)：

對于預(yù)制裝配式結(jié)構(gòu)：

對于空曠的框架-填充墻結(jié)構(gòu)：

式中：γ為層間廣義相對剪切變形，γ=xi/hi。層間廣義相對剪切變形γ的取值也可根據(jù)規(guī)范[2]進(jìn)行估算。

2.2 上部結(jié)構(gòu)自振頻率ω的計(jì)算

結(jié)構(gòu)的自振頻率是根據(jù)剛性地基假設(shè)條件進(jìn)行計(jì)算的，ω可以根據(jù)通用計(jì)算公式得到：

剛性地基條件下上部結(jié)構(gòu)的剛度k按照美國規(guī)范[5]中提供的公式進(jìn)行計(jì)算：

式中：M為建筑物總質(zhì)量；T為剛性地基時(shí)上部結(jié)構(gòu)的周期。

2.3 地基土材料阻尼ξs的計(jì)算

目前國內(nèi)外對土的研究非常廣泛，但得到國際認(rèn)可的是Hardin[10]對土的動(dòng)剪切模量比與動(dòng)剪應(yīng)變幅值計(jì)算公式：

因此，阻尼比與動(dòng)剪切模量比的關(guān)系式為：

式中：G和Gmax分別為土的動(dòng)剪切模量與最大動(dòng)剪切模量；γr為參考剪應(yīng)變幅值；ξmax為最大阻尼比。

通常，土體材料阻尼的取值均是通過試驗(yàn)得到的。但在理論研究和應(yīng)用中，如果沒有試驗(yàn)資料作為地基土材料阻尼的取值依據(jù)，同時(shí)也沒有詳細(xì)的地勘資料來進(jìn)行考證，那么，在實(shí)際計(jì)算中可以根據(jù)袁曉銘等[11]針對國內(nèi) 10余個(gè)不同地區(qū)土樣的試驗(yàn)結(jié)果推薦值進(jìn)行取值，其不同土性的推薦阻尼比曲線如圖2所示。在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，土體材料阻尼比的取值可以根據(jù)剪應(yīng)變的不同在圖中進(jìn)行線性插值。

2.4 基礎(chǔ)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)頻率ωu和ωθ的計(jì)算

根據(jù)文獻(xiàn)[8]中式(4)～(7)可以得到ωu與ωθ的基本計(jì)算方法，其計(jì)算公式為：

根據(jù)式(13)，基礎(chǔ)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)頻率ωu與ωθ的確定除了與基礎(chǔ)有效半徑r、土體剪切波速vs、無量綱頻率比a0=ωr/vs、結(jié)構(gòu)高度與基礎(chǔ)半徑的高徑比h/r等因素有關(guān)外，需要重點(diǎn)關(guān)注基礎(chǔ)平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度ku與kθ的確定。

2.4.1ku與kθ基本確定方法

在已有的阻抗函數(shù)計(jì)算方法中，最廣泛應(yīng)用的是置于黏彈性半空間表面的圓形剛性基礎(chǔ)的解,其中平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧阻尼器的實(shí)剛度為：

其中：αu和αθ為與頻率相關(guān)的無量綱參數(shù)；Ku和K為半空間上基礎(chǔ)的靜剛度，其計(jì)算公式為：

圖2 常規(guī)土類材料阻尼比ξs推薦值示意圖Fig.2 Recommended values for material damping ratio ξs of regular soil

式中：G為土的動(dòng)剪切模量；ν為土的泊松比。

對于黏彈性土，引入土體的黏滯材料阻尼，αu和αθ的近似計(jì)算公式如下：

2.4.2ku與kθ在非均勻土層時(shí)的確定方法

地基土在實(shí)際地質(zhì)條件下，其分布并不是單一的，也不是均勻的各向同性介質(zhì)，通常其特征為：剛度隨深度梯度增加或在相對較軟的土層下有一層剛性很大的下臥層，這種非均勻土層情況下基礎(chǔ)的靜剛度可按下式進(jìn)行近似計(jì)算：

表1 系數(shù) α1，β1，β2及 β3的取值Table 1 Values of α1, β1, β2 and β3

式中：(Ku)FL和(Kθ)分別為非均勻有限土層上基礎(chǔ)的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)靜剛度；ds為土層厚度；r1和r2分別為按照面積(Af)和慣性矩(If)等效計(jì)算的基礎(chǔ)半徑。

2.4.3ku與kθ在考慮基礎(chǔ)埋深時(shí)的確定方法

Apsel等[12]經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：基礎(chǔ)的埋置情況對阻抗有很重要的影響?；陴椥园肟臻g土介質(zhì)為研究對象，考慮土體材料阻尼與輻射阻尼、基礎(chǔ)質(zhì)量、基礎(chǔ)埋置深度等對土-基礎(chǔ)體系阻抗的影響，同時(shí)還考慮基礎(chǔ)平動(dòng)與擺動(dòng)的耦合作用，得到基礎(chǔ)的靜剛度計(jì)算公式為：

式中：G為地基土的動(dòng)剪切模量；e/r為基礎(chǔ)高度與基礎(chǔ)有效半徑的基礎(chǔ)埋深比。

2.5 基礎(chǔ)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼比ξu和ξθ的計(jì)算

根據(jù)式(2)可以得到ξu與ξθ的基本計(jì)算方法，其計(jì)算公式為：

其中：ku與kθ的計(jì)算方法按照式(19)確定，這里關(guān)鍵是對cu與cθ進(jìn)行確定。通過對阻抗的研究，平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧阻尼器的阻尼可以通過以下公式進(jìn)行計(jì)算：

式中，vs為土的剪切波速；r為基礎(chǔ)的有效半徑；βu和βθ的近似計(jì)算公式為：

式中各參數(shù)取值同樣根據(jù)表1進(jìn)行選取，因此，cu與cθ的取值與基礎(chǔ)的靜剛度Ku和Kθ相關(guān)。

為了研究基礎(chǔ)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼比ξu和ξθ在不同地基條件下的取值，需要對基礎(chǔ)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度ku與kθ、基礎(chǔ)的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧阻尼器的阻尼cu與cθ進(jìn)行分析。在非均勻土層和不同基礎(chǔ)埋深條件下，可以通過對基礎(chǔ)靜剛度Ku和Kθ的計(jì)算調(diào)整來考察不同地基條件下ξu與ξθ的取值。

3 非線性耦合阻尼比公式實(shí)例計(jì)算對比

為了驗(yàn)證論文提出的計(jì)算模型和非線性耦合阻尼比公式的合理性與可靠性，下面對同濟(jì)大學(xué)的結(jié)構(gòu)與地基相互作用振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)，對不同工況條件下體系的動(dòng)力特性指標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)與MV法、MB法、ATC法、日本建筑學(xué)會(huì)的JAP法以及文獻(xiàn)[7]提出的簡化計(jì)算法在同等試驗(yàn)條件下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。

試驗(yàn)條件如下：非均勻分層地基土條件，上部結(jié)構(gòu)為12的層框架結(jié)構(gòu)，輸入白噪聲和El-Centro地震波。其土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用試驗(yàn)內(nèi)容及模型比如表2所示，模型示意圖及概況如圖3和表3所示，模型各部分計(jì)算參數(shù)以及頻率和阻尼比計(jì)算結(jié)果對比如表4～6所示。

通過表5和表6中各種簡化計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)實(shí)測結(jié)構(gòu)進(jìn)行對比分析得知：MV法、MB法、ATC法以及JAP法對土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系頻率和阻尼比的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值相比均有較大誤差?？偟膩碚f，JAP法對阻尼的計(jì)算偏小而對頻率的估算則相應(yīng)偏大，另外3種方法其計(jì)算值與實(shí)測值相比并無規(guī)律。與這4種簡化計(jì)算方法相比，文獻(xiàn)[7]提出的簡化計(jì)算法對實(shí)例的計(jì)算結(jié)果則表現(xiàn)出較高的精度，其基本誤差控制在20%～50%，出現(xiàn)此種誤差可能是沒有考慮基礎(chǔ)質(zhì)量以及各部分阻尼性能耦合。經(jīng)過對比分析，本文計(jì)算方法通過對已有簡化方法的改進(jìn)，對實(shí)例的計(jì)算結(jié)果與其他簡化計(jì)算法的計(jì)算結(jié)果相比更接近于實(shí)測結(jié)果，相對誤差控制在10%～20%。該誤差的產(chǎn)生與結(jié)構(gòu)及土體材料阻尼比的計(jì)算有關(guān)，同時(shí)也與試驗(yàn)實(shí)測數(shù)據(jù)本身的誤差有一定關(guān)系?？傊?，采用本文方法對土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系動(dòng)力特性參數(shù)進(jìn)行計(jì)算所得結(jié)果更接近實(shí)測值。

圖3 框架結(jié)構(gòu)SSDI體系示意圖Fig.3 Diagram of SSDI system for frame construction

表2 非均勻分層中土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用試驗(yàn)條件Table 2 Test conditions of SSDI system in nonuniform layers

表3 土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系模型概況Table 3 Model conditions of SSDI system

表4 非均勻分層土地基條件下土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系各計(jì)算參數(shù)Table 4 Parameter of SSDI system on basement with heteropic and layered soil

表5 MV法和MB法對非均勻分層土地基條件下土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系頻率及阻尼比計(jì)算結(jié)果對比Table 5 Contrast of frequency and damping ratio for SSDI system on basement with heteropic and layered soil using MV and MB methods

表6 ATC法和JAP法對非均勻分層土地基條件下土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系頻率及阻尼比計(jì)算結(jié)果對比Table 6 Contrast of frequency and damping ratio for SSDI system on basement with heteropic and layered soil using ATC and JAP methods

4 結(jié)論

(1) 提出的 SSDI體系非線性耦合阻尼比公式考慮上部結(jié)構(gòu)的阻尼特性、地基土在基礎(chǔ)平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)輻射阻尼以及地基土的黏滯材料阻尼，據(jù)此可考量土-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用體系各部分的阻尼特性對整個(gè)體系阻尼的貢獻(xiàn)程度。

(2) 使用所提出的非線性耦合阻尼比計(jì)算公式對算例進(jìn)行計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果與其他簡化計(jì)算法所得結(jié)果相比相比更接近于實(shí)測結(jié)果，且誤差控制在10%～20%，大幅度提高了計(jì)算精度。其誤差的產(chǎn)生與結(jié)構(gòu)及土體材料阻尼比的計(jì)算有關(guān)，同時(shí)也與試驗(yàn)實(shí)測數(shù)據(jù)本身的誤差有關(guān)。

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