余飛群 葉尚福

（盲信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都610041）

引 言

自Hertz 19世紀(jì)末創(chuàng)立天線理論以來，獲得天線輻射細(xì)節(jié)一度成為天線研究的熱點(diǎn)［1］。天線輻射過程通常與已建立的傳輸線的傳輸過程進(jìn)行類比，天線電流分布也因此成為主要研究對(duì)象，并認(rèn)為是與天線輻射有關(guān)的非常重要的信息。繼Hertz之后，Pocklington從細(xì)導(dǎo)線假設(shè)出發(fā)，建立導(dǎo)線天線電流滿足的積分微分方程，并指出電磁波沿導(dǎo)線以光速傳播，導(dǎo)線天線的電流分布近似為正弦分布；此后Hallen在此基礎(chǔ)上將積分微分方程化為積分方程，并提出求解該積分方程的近似方法［1－2］；高速計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后，K.K.Mei和Harrington先后利用數(shù)值方法求解該積分方程，并提出天線電流求解的矩量法［3－4］。雖然由天線電流分布可以獲得天線的諸多性能參數(shù)，包括阻抗、輻射方向圖等，但電流分布并不能很方便地表征天線作為輻射器向空間輻射電磁波的清晰物理圖像。

研究天線輻射特性的另外途徑是將天線體表面作為邊界條件，選擇合適的坐標(biāo)系直接對(duì)Maxwell方程進(jìn)行求解。最初選擇的是長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球坐標(biāo)系［5－6］，該坐標(biāo)系當(dāng)偏心率接近于1時(shí)，退化為有限長(zhǎng)度的導(dǎo)線段，而當(dāng)偏心率接近于0時(shí)，退化為球坐標(biāo)系，因而長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球坐標(biāo)系具有一定的通用性。采用分離變量的方法，可將該坐標(biāo)系下赤道面附近饋電的長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球天線外的場(chǎng)表示為無窮項(xiàng)橢球波之和的形式，求和式中每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)天線輻射的一個(gè)模式，不同的模式在天線上激勵(lì)出不同模式的電流，同時(shí)向外空間輻射一定的能量，天線上的總電流等于主模及所有高次模激勵(lì)出的電流的總和，而天線以外的場(chǎng)則是所有模式場(chǎng)共同作用的結(jié)果。Chu和Stratton關(guān)于天線輻射場(chǎng)橢球波展開的思想很好地描述了天線輻射的機(jī)制，但因橢球波函數(shù)計(jì)算上的復(fù)雜性以及矢量橢球波函數(shù)的非正交性，在實(shí)際中受到較少關(guān)注［7］。

依據(jù)中心饋電天線徑向傳播的特點(diǎn)，Schelkunoff選擇球坐標(biāo)系對(duì)雙錐天線進(jìn)行研究［1，8］。按照Schelkunoff的理論，電磁波首先沿天線雙臂按照TEM（橫電磁波）模式進(jìn)行傳播，到達(dá)天線末端后一部分電磁波繼續(xù)向外傳播，并分裂成眾多高次球諧波，而一部分將因?yàn)槎诵?yīng)電磁波則被反射回來，在天線附近區(qū)域形成駐波。Schelkunoff關(guān)于雙錐天線輻射過程的物理圖像是非常清晰的。天線近場(chǎng)及輻射場(chǎng)按照球面波函數(shù)進(jìn)行展開，不同的球面波函數(shù)在空間呈現(xiàn)不同的電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)，同時(shí)與球面波函數(shù)相關(guān)的球貝塞爾函數(shù)及連帶勒讓德函數(shù)在數(shù)值上易于求解，因而天線輻射場(chǎng)球面波展開得到廣泛應(yīng)用。

雖然場(chǎng)的球面波展開法早在1935年由Hansen最先提出［9］，并且成功應(yīng)用于平面波照射下導(dǎo)體球散射截面的計(jì)算［10－11］及電小天線相關(guān)性能指標(biāo)，如天線增益和Q值的計(jì)算等問題。但通過解析的方法，僅能獲得極其有限數(shù)量的問題的解。更多的時(shí)候，人們需要通過適當(dāng)?shù)慕?，并借助于?jì)算機(jī)，得到波型展開系數(shù)的近似值。而針對(duì)天線輻射這一特定問題，球面波展開法所能獲得的定量結(jié)果僅限于電偶極子和磁偶極子等的輻射問題［12－13］，很少有文獻(xiàn)給出實(shí)際天線輻射場(chǎng)球面模式定量分析結(jié)果。

將球面波展開法引入到自由空間細(xì)導(dǎo)線天線輻射場(chǎng)的分析中：首先按照矩量法一般方法，采用分段正弦基函數(shù)對(duì)細(xì)導(dǎo)線上的電流分布進(jìn)行展開并采用迦略金法求解電流展開系數(shù)；同時(shí)因?yàn)榉侄握译娏鬏椛鋱?chǎng)均具有嚴(yán)格的解析表達(dá)式，因而可進(jìn)一步獲得細(xì)導(dǎo)線天線較為準(zhǔn)確的輻射場(chǎng)表達(dá)式；最后結(jié)合數(shù)值積分方法，得到天線輻射場(chǎng)的球面波型展開系數(shù)。以該方法為基礎(chǔ)，論文定量分析了三種基本天線的輻射模式，包括偶極子天線、圓環(huán)天線以及螺旋天線，仿真結(jié)果表明：該方法在分析天線輻射特性方面是正確并有效的。

1 天線輻射場(chǎng)計(jì)算

任意彎曲導(dǎo)線可用多段長(zhǎng)度很小的直線段進(jìn)行近似，且在細(xì)導(dǎo)線天線近似下，導(dǎo)線天線電流沿天線軸向流動(dòng)，因而任意彎曲導(dǎo)線天線電流可表示為

式中，s為沿導(dǎo)線的曲線坐標(biāo)，分段數(shù)為N＋1（相鄰兩分段構(gòu)成一對(duì)偶極子，偶極子總數(shù)為N），且

式中：γ＝j(luò) k，k＝2π／λ，λ為工作波長(zhǎng)；un為第n段導(dǎo)線段切向單位矢量，且un＝（cosαn，cosβn，cosγn），其中cosαn，cosβn，cosγn為第n段導(dǎo)線段方向余弦。

按照式（1）給出的電流分布，第n段導(dǎo)線段實(shí)際上的電流分布為

對(duì)于末端開路的實(shí)際天線，天線末端電流為零，有I0＝IN＋1＝0.

式（3）給出的電流分布在球坐標(biāo)系下坐標(biāo)為（r，θ，φ）處的輻射場(chǎng)為［14］

式中：

而 K＝ηe－γr／（4πrsinhγd），矢量rni＝（xni，yni，zni）為第n段導(dǎo)線段端點(diǎn)位置坐標(biāo)。單位矢量ur，uθ，uφ為球坐標(biāo)系坐標(biāo)矢量。式（4）的輻射電場(chǎng)計(jì)算式中，未涉及任何對(duì)源點(diǎn)的積分，這也是正弦基相對(duì)于其它基函數(shù)，如三角函數(shù)基的優(yōu)勢(shì)所在。

式（1）中電流系數(shù)In由矩量法解得，按照式（4）并通過各分段正弦電流的場(chǎng)量疊加，可獲得整個(gè)天線總的輻射電場(chǎng)表達(dá)式，天線總的輻射磁場(chǎng)可通過遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)的輻射條件由總輻射電場(chǎng)計(jì)算得到。

2 場(chǎng)量已知時(shí)球面波展開系數(shù)的確定

對(duì)于第1章方法得到的E，H在某特定球面r＝r0以外的空間中的場(chǎng)，可用球矢量波函數(shù) Mim，n，Nim，n表示為［10－11］

式中，r0可選為包含天線結(jié)構(gòu)的最小球面半徑，對(duì)于輻射場(chǎng)而言，r0可選為場(chǎng)點(diǎn)r坐標(biāo)。矢量函數(shù)，滿足

式中：i＝1，2，n＝0，1，2，…，m＝0，1，2，…，n.且i＝1時(shí)，式（12）取cos mφ，i＝2時(shí)式（12）取sin mφ；（cosθ）為連帶勒讓德函數(shù)；（kr）為第四類球貝塞爾函數(shù)。

若已知球面r＝r0上的切向電場(chǎng)Et（r0，θ，φ），則可分別以矢量波函數(shù)（r0，θ，φ），（r0，θ，φ）點(diǎn)乘式（8），并對(duì)整個(gè)r＝r0球面積分，同時(shí)利用矢量波函數(shù)的正交關(guān)系，最終計(jì)算得到系數(shù)為

式中：

當(dāng)已知球面r＝r0上的切向磁場(chǎng) Ht（r0，θ，φ），可按相同方法得到展開系數(shù)的計(jì)算式。

3 實(shí)際算例及結(jié)果分析

將前兩章所述方法應(yīng)用于三種基本單元天線：偶極子天線、圓環(huán)天線以及螺旋天線的輻射模式分析。通過實(shí)際算例，驗(yàn)證球面波展開法在研究天線輻射特性分析方面的有效性。三種基本單元天線空間位置如圖1所示。

圖1 三種基本單元天線示意圖

3.1 偶極子天線

考慮雙臂總長(zhǎng)為2L的直偶極子天線情況。偶極子天線軸線與球坐標(biāo)系下θ＝0重合，導(dǎo)線中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)。此時(shí)天線輻射場(chǎng)與φ無關(guān)，輻射場(chǎng)電場(chǎng)的切向分量?jī)H含Eθ分量，天線r＝L以外空間的場(chǎng)僅含模，因而＝0，僅需按式（14）計(jì)算系數(shù)

為驗(yàn)證計(jì)算方法及計(jì)算程序的正確性，采用類似的方法對(duì)r＝r0天線的近場(chǎng)進(jìn)行球面波展開系數(shù)的計(jì)算。其中近場(chǎng)由各分段正弦電流產(chǎn)生的嚴(yán)格近場(chǎng)表達(dá)式通過場(chǎng)量疊加獲得［12］。近場(chǎng)展開時(shí)，選擇切向磁場(chǎng)Hφ作為展開對(duì)象，并按式（16）計(jì)算系數(shù)

表1給出了L＝0.25λ，導(dǎo)線參數(shù)Ω＝15（其中Ω＝2ln（2L／a），a為導(dǎo)線半徑），r0分別取L，2L 時(shí)，式（14）計(jì)算得到的系數(shù)以及r0＝100λ時(shí)，式（16）計(jì)算得的系數(shù).由表格1數(shù)據(jù)可知，不同球面半徑下得到的近場(chǎng)的各模式展開系數(shù)相同，同時(shí)與輻射場(chǎng)球面波展開所得結(jié)果吻合較好。由于偶極子天線饋源附近切向電場(chǎng)相對(duì)于θ對(duì)稱，這要求球面波展開各項(xiàng)為θ的奇函數(shù)，天線饋電區(qū)及近場(chǎng)區(qū)所有偶次模系數(shù)為零［1］，表1的計(jì)算結(jié)果證實(shí)了這一點(diǎn)。

表1 采用不同方法得到的系數(shù)

表1 采用不同方法得到的系數(shù)

n 1.0L 2L 100λ 1 3.476 3＋2.156 4i 3.476 3＋2.156 4i 3.479 7＋2.150 9i 2 －0.000 0－0.000 0i －0.000 0－0.000 0i －0.000 0－0.000 0i 3 0.111 0＋0.073 1i 0.111 0＋0.073 1i0.111 7＋0.072 1i 4 －0.000 0－0.000 0i0.000 0－0.000 0i －0.000 0＋0.000 0i 5 0.001 9＋0.001 3i 0.001 9＋0.001 3i 0.001 9＋0.001 2i

圖2給出了r0＝100λ時(shí)，L分別取0.25λ，0.5λ，0.75λ和1.0λ時(shí)偶極子前6個(gè)奇次模系數(shù)模值曲線圖。其中縱坐標(biāo)含義為從圖1可以看出，天線臂長(zhǎng)不同，激勵(lì)的各模式相對(duì)幅值不同。單就模來說，天線處于諧振狀態(tài)（即L取0.5λ和1.0λ）下激勵(lì)出的模式幅值明顯小于非諧振狀態(tài)激勵(lì)出的模式幅值。諧振狀態(tài)下，激勵(lì)出的主模為模；對(duì)于臂長(zhǎng)為1.5λ的偶極子天線，激勵(lì)出的主模為模，且n＞3后各模式幅度隨n增大迅速減??；而對(duì)于臂長(zhǎng)2.0λ的偶極子天線模以后，幅值超過，n＞5后各模式幅度隨n增大迅速減小。偶極子天線能夠激勵(lì)出的模式類型與導(dǎo)線上天線電流分布的振蕩半周期數(shù)有關(guān)［1］，如果要激勵(lì)出幅值顯著的更高模式的球面波，則需要天線電流振蕩半周期數(shù)增加到相應(yīng)數(shù)值，天線將需要做得更長(zhǎng)。圖1給出的結(jié)果與文獻(xiàn)［1］理論吻合。

3.2 圓環(huán)天線

圖2 不同長(zhǎng)度偶極子天線TM10，n模式系數(shù)值

作為第二個(gè)例子，以環(huán)半徑為b，導(dǎo)線半徑為a的圓環(huán)天線作為研究對(duì)象。圓環(huán)位于xy平面內(nèi)，中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，饋電點(diǎn)位于圓環(huán)上φ＝0處。為使獲得的導(dǎo)線電流能真實(shí)反應(yīng)圓環(huán)的軸向電流，取參數(shù)Ω＝2ln（2πb／a）＝15.由于圓環(huán)結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性，電場(chǎng)分量Eφ關(guān)于φ＝0，π和θ＝π／2對(duì)稱，而分量Eθ則關(guān)于φ＝0，π和θ＝π／2反對(duì)稱。又由矢量波函數(shù)，關(guān)于θ，φ 的對(duì)稱性質(zhì)及積分式（13）、（14）知當(dāng)i＝1且n－m 為奇數(shù)時(shí)有非零值；當(dāng)i＝2且n－m為偶數(shù)時(shí)有非零值。

圖3 不同周長(zhǎng)圓環(huán)天線各模式系數(shù)值

圖3（a），圖3（b）分別給出了圓環(huán)周長(zhǎng)C＝2πb取0.5λ，1.0λ和2.0λ時(shí)，圓環(huán)天線激勵(lì)出的各模式幅度曲線圖。與上面初步分析結(jié)果一致，圓環(huán)天線能夠激勵(lì)出的模式僅含有及.對(duì)于固定的m，各模式幅度隨n增大而減小，且天線尺寸較小時(shí)，幅度模值隨n增大衰減更快。對(duì)于固定的n，不同的圓環(huán)周長(zhǎng)C激勵(lì)出的主模有所不同。如C＝0.5λ激勵(lì)出的主模為和；而對(duì)于C＝1.0λ激勵(lì)出的主模則為和；而對(duì)于C＝2.0λ激勵(lì)出的主模變?yōu)闉楹?主模出現(xiàn)以后的各模式幅度隨m增大而減小。對(duì)于不同的圓環(huán)周長(zhǎng)，大部分相同模式號(hào)的模式對(duì)應(yīng)的幅度隨C減小而減小，對(duì)于高次模這種變化趨勢(shì)更為明顯。

3.3 螺旋天線

自由空間的中饋螺旋天線被認(rèn)為是一種阻抗和增益隨頻率高敏感的天線結(jié)構(gòu)［15］，需謹(jǐn)慎選擇天線結(jié)構(gòu)參數(shù)。本節(jié)對(duì)文獻(xiàn)［15］中工作在不同模式下的兩種螺旋天線結(jié)構(gòu)按照前述方法進(jìn)行輻射模式分析，兩種螺旋天線的結(jié)構(gòu)參數(shù)摘錄如表2所示。

表2 用于仿真的螺旋天線結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖4（a），4（b）給出了工作在法向模下的螺旋天線激勵(lì)出的輻射模式。在這一特定結(jié)構(gòu)下，輻射的模式主要以和為主，這些模具有水平面全向特性。對(duì)于給定的m，模式的幅度大部分隨n－m增加而迅速降低，但也存在部分模式的幅度，如和，m＞1在達(dá)到一個(gè) 峰值后 再隨n－m增加而減小。而對(duì)于給定的n－m，大部分模式幅度隨m的增加而減小。

圖5（a），5（b）給出了工作在軸向模下的螺旋天線激勵(lì)出的輻射模式。對(duì)比圖4（a），4（b），工作在軸向模下的螺旋天線其輻射的模式類別遠(yuǎn)比法向模豐富。在本例這一特定天線結(jié)構(gòu)下，各模式幅度在量級(jí)上差別并不是很大，天線的幾個(gè)主要模式存在于m＝1時(shí)。對(duì)于給定的m，大部分模式的幅度隨n－m增加先達(dá)到一個(gè)峰值，然后再隨n－m增加而迅速減小。對(duì)于給定的n，各模式的幅度隨n－m增加而減小。這些規(guī)律與工作在法向模時(shí)的螺旋天線規(guī)律基本相同。

圖5 工作在軸向模下的螺旋天線各模式系數(shù)值

4 結(jié) 論

雖然已知場(chǎng)量的球面波展開法很早之前已經(jīng)提出，但很少有文獻(xiàn)給出實(shí)際天線輻射場(chǎng)的球面模式分析的定量結(jié)果。論文利用由矩量法計(jì)算得到的天線輻射場(chǎng)，結(jié)合場(chǎng)量球面波展開的一般理論，將球面模式分析引入自由空間細(xì)導(dǎo)線天線輻射模式的分析中。利用數(shù)值積分方法，定量給出了三種基本單元天線：偶極子天線、圓環(huán)天線以及螺旋天線的輻射模式細(xì)節(jié)。從這三種基本單元天線的輻射模式的分析中，基本可以推斷，導(dǎo)線天線電流在三維空間分布形式越復(fù)雜，電流分布具有的對(duì)稱性越少，其輻射模式越豐富。

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