張亦希 張恒偉

（1.西安交通大學微波工程與光通信研究所，陜西 西安710049；2.63880部隊，河南 洛陽471003）

引 言

為了提高軌道資源、頻率資源的利用率，近年來衛(wèi)星天線已廣泛地采用了賦形波束天線技術。衛(wèi)星賦形波束天線與傳統(tǒng)的天線技術不同，它可以只在指定的、任意形狀的服務區(qū)域（如：在中國境內(nèi)）內(nèi)具有較高的增益，而在此區(qū)域以外則增益很低，因此它就具有許多傳統(tǒng)天線技術所沒有的優(yōu)點：1）可以有效減小來自鄰近衛(wèi)星通信系統(tǒng)的干擾，從而提高衛(wèi)星軌道資源的利用率；2）可以提高天線的增益，從而提高衛(wèi)星功率的利用率；3）可以在不同的波束間對頻率進行復用，從而提高頻率資源的利用率［1－4］。

圖1 衛(wèi)星陣饋反射面天線的組成

陣饋反射面天線因為具有體積小、重量輕，且能對方向圖進行重新配置和對干擾進行自適應抑制等優(yōu)點，而成為一種較為常見的衛(wèi)星賦形波束天線形式。它主要由一個反射面天線、一個饋元陣以及一個波束成形網(wǎng)絡組成，如圖1所示。反射面天線一般是拋物面天線或卡塞格倫天線，而饋元陣則通常由喇叭天線組成。饋元陣放在反射面天線的焦平面上，產(chǎn)生的波經(jīng)過反射面的反射會在遠場區(qū)形成一組形狀近似相同、均勻分布的點波束陣，波束成形網(wǎng)絡則通過調整各個饋元的激勵系數(shù)，來對這些點波束進行加權、疊加，從而形成一個只覆蓋指定服務區(qū)域的賦形波束。同時陣饋反射面天線由于可以在工作過程中對各饋元的激勵系數(shù)進行修改，所以可以對其方向圖進行重新配置，對干擾進行自適應抑制。

波束賦形方法主要用來尋找一組饋元的最佳激勵系數(shù)，以使天線的方向圖成為人們需要的任意形狀。目前，雖然已有不少有效的賦形方法，如最小p乘法［5］、最小最大法［6］、線性約束最小方差（LCMV）方法［7］等。但這些傳統(tǒng)的賦形方法在實際應用中存在一些缺點。例如：最小p乘法和最小最大法是迭代算法，運算效率很低。另外，這兩種算法和LCMV方法一樣，都是使賦形波束在某些方向上逼近目標方向圖的采樣值，而這些采樣的數(shù)量由于受到天線自由度的限制一般都小于采樣定理所要求的數(shù)量，所能得到的賦形波束對目標方向圖采樣的選擇十分敏感。為獲得滿意的賦形波束，這些傳統(tǒng)賦形方法往往需要對目標方向圖采樣的數(shù)量和位置進行反復調整，實際應用起來比較困難。因此，本文提出了一種基于內(nèi)積運算的波束賦形方法。該方法是把目標方向圖作為一個整體，使賦形波束與目標方向圖在幾乎所有方向上的誤差總和最小，實際使用起來十分方便。同時它也是一種解析算法，具有較高的賦形精度和運算效率。

1 理論分析

1.1 衛(wèi)星陣饋反射面賦形波束天線的數(shù)學模型

假設衛(wèi)星陣饋反射面賦形波束天線的饋元陣共有N個饋元，且當?shù)趎個饋元的激勵系數(shù)為1，其他饋元的激勵系數(shù)全部為零時，天線產(chǎn)生的遠區(qū)場為fn（x1，x2），則當 N 個饋元的激勵系數(shù)分別為wn（n＝1，2，…，N）時，天線所產(chǎn)生的合成場f（x1，x2）為

式中x1，x2分別為觀察點的方位角和俯仰角［8－9］。fn（x1，x2）在天線幾何結構已知的條件下，可用物理光學法來確定［10－11］。

對陣饋反射面天線進行波束賦形，是要在目標方向圖已知的情況下，求一組最佳激勵系數(shù)以使賦形波束與目標方向圖間的誤差最小。陣饋反射面天線的波束賦形問題可以用數(shù)學方法表示為

式中：fd（x1，x2）為天線的期望場；｜·｜表示矢量的模值；‖·‖表示函數(shù)的范數(shù)。賦形誤差E的定義方法及最小值求法的不同，就形成了不同的波束賦形方法。

1.2 傳統(tǒng)的波束賦形方法

目前較為常用的波束賦形方法主要有最小p乘法、最小最大法和LCMV方法等。

對于最小p乘法，其賦形誤差定義為

以天線在K個采樣點處合成場與期望場間誤差的總和為優(yōu)化目標函數(shù)，用現(xiàn)有的優(yōu)化算法，如Fletcher－Powell算法，不斷地調整各饋元的激勵系數(shù)直到目標函數(shù)值達到最小。

對于最小最大法，其賦形誤差定義為

最小最大法通常用在要求賦形波束的最大旁瓣電平或者服務區(qū)域內(nèi)天線增益的最大起伏要小于某個值的場合。

對LCMV方法，其基本思想則是在保證天線在Km個方向（x1i，x2i）（i＝1，2，…，Km）上的合成場等于期望場的條件下，使天線的總輻射功率最小，即

約束條件

1.3 基于內(nèi)積運算的波束賦形方法

由于，式（3）可以看成是誤差e（x1，x2）的范數(shù)，因此式（2）就可以看成是要在由N 個函數(shù)fn（x1，x2）所張成的線性空間中求fd（x1，x2）的最佳逼近。故e（x1，x2）必與這個線性空間fn（x1，x2）正交。于是，對任意整數(shù)m（1≤m≤N），對式（4）兩邊同時與fm（x1，x2）作內(nèi)積運算，則有

式中＜·＞表示兩個函數(shù)間的內(nèi)積運算。若賦形誤差E定義為

則式（10）的左邊為

式中＊表示復共軛。由于式（12）實際上僅是一個與m有關的常數(shù)，故可記作dm.同理式（10）的右邊也是一個僅與m和n都有關的常數(shù)，可記作cnm.于是，式（10）可重寫為

式（13）可寫為矩陣形式

式中：D＝［d1，d2，…，dN］T；W＝［w1，w2，…，wN］T；

因此，天線的最佳激勵系數(shù)就是方程（14）的解

由于每個點波束中心的位置各不相同，且間隔較大，各個點波束的遠區(qū)場是近似正交的，矩陣C滿秩，方程（14）有唯一解。

2 仿真結果分析

以下對一個以中國本土為服務區(qū)域的衛(wèi)星陣饋反射面賦形波束天線，分別用最小p乘法、最小最大法、LCMV方法和內(nèi)積波束賦形方法進行賦形，以驗證這種基于內(nèi)積運算的波束賦形方法的有效性和優(yōu)越性。天線的饋元陣選為饋元數(shù)為61的正六邊形陣。為了便于計算，fn（x1，x2）用D.Sonderogger等人所給的近似表示式來代替［12］，具體如下

式中：J1（u）是變量為u的第一類一階Bessel函數(shù)；da為天線有效口徑的直徑（單位：m）；η為天線的效率；f為工作頻率（單位：Hz）；c為光速（單位：m／s）；x1n和x2n分別為第n個波束中心的方位角和俯仰角（單位：（°））。在本例中，波束間隔選為0.85°，η＝0.25，f＝6GHz，da＝4.04m，此時點波束的寬度為0.85°.

圖2 最小p乘法得到的賦形波束方向圖

在相同情況下對中國本土用不同的賦形方法賦形后，所得到的賦形波束分別如圖2、4、6、8所示，各圖中的黑色粗線為中國本土的邊界線在衛(wèi)星視場內(nèi)的投影，六根黑色細線分別為天線的實際方向圖在－3dB、－5dB、－10dB、－15dB、－20dB和－30dB－30dB時的等高線。各賦形波束所對應的目標方向圖采樣如圖3、5、7、9所示，各圖中o表示目標方向圖在主瓣區(qū)域內(nèi)的采樣，而＊則表示旁瓣區(qū)域內(nèi)的采樣。比較圖3、5、7、9可見：最小p乘法、最小最大法、LCMV方法由于都是優(yōu)化算法，故受到天線自由度的限制，只能采用數(shù)量較少、且位置不規(guī)則的采樣，為獲得滿意的賦形波束，天線設計人員往往需要對目標方向圖采樣的數(shù)量和位置進行反復調整，實際應用起來十分困難。而內(nèi)積方法由于可以選擇數(shù)量較多、位置規(guī)則的采樣，如圖9所示分布在正四邊形網(wǎng)格上的采樣，在這些采樣點上計算dm和cmn，由式（14）計算出最佳激勵系數(shù)，只要采樣點的密度滿足采樣定理的要求，即采樣點的密度應大于目標方向圖頻域帶寬的2倍，最佳激勵系數(shù)就可以使賦形波束與目標方向圖在幾乎所有方向上的誤差總和最小，所以，內(nèi)積方法不用反復調整采樣點的數(shù)量和位置，就可以產(chǎn)生滿意的賦形結果。在本仿真中，三種傳統(tǒng)賦形方法在得到圖2、4、6中的賦形波束前，都對約束條件進行幾十次甚至上百次的調整，而內(nèi)積方法則只運行了一次就得到了圖8中的賦形波束。

圖3 最小p乘法的采樣點位置

同時，比較圖2、4、6、8可見，LCMV方法和內(nèi)積方法的賦形精度最高，遠高于最小p乘法和最小最大法。同時這四種方法在同一臺計算機上的運行時間分別為：最小p乘法1.9min，最小最大法7.24min，LCMV方法為0.004 95min，內(nèi)積方法則為0.29min.因此，由于這種賦形方法和LCMV方法都是解析算法，故它們的運算效率也遠高于前兩種方法。

圖4 最小最大法得到的賦形波束方向圖

圖9 內(nèi)積法的采樣點位置

3 結 論

由以上分析可見：由于內(nèi)積賦形方法首先是一種解析法，因此它有較高的賦形精度和較快的運算速度，同時它是把目標方向圖作為一個整體，是使賦形波束與目標方向圖在幾乎所有方向上誤差的總和最小，而不是在一些有限數(shù)量的采樣點上的誤差總和最小，所以不需要對選擇采樣點的數(shù)量和位置進行反復調整，實際使用起來十分方便。

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