馬 鑫 萬(wàn)國(guó)賓 王 威 萬(wàn) 偉

（西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，陜西 西安710129）

引 言

頻率選擇表面（FSS）結(jié)構(gòu)由沿二維方向上周期排列的單層或多層級(jí)聯(lián)導(dǎo)體單元組成，具有較強(qiáng)的空間濾波特性，在雷達(dá)天線罩、副反射面等方面有著廣泛應(yīng)用。因此，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)FSS的分析理論和工程應(yīng)用方面進(jìn)行了深入研究［1］。文獻(xiàn)中有多種FSS電磁特性的分析方法，其中譜域矩量法（MoM）因其較好的通用性和精度而被普遍采用［2］。但是當(dāng)FSS單元形狀復(fù)雜或電尺寸較大時(shí)，直接矩量法求解大型矩陣方程非常耗時(shí)，需要尋求高速的算法。從加速算法本身著手，可采用共軛梯度法［3］，快速多極子［4］等方法，但是這些方法僅對(duì)單個(gè)點(diǎn)的計(jì)算非常有效。在FSS的分析與設(shè)計(jì)中，常常需要在較寬的頻帶或是入射角范圍內(nèi)獲得散射特性［5］，如果逐點(diǎn)重復(fù)求解矩陣方程，必將導(dǎo)致巨大的計(jì)算工作量。因此，研究一種逼近方法快速分析FSS散射特性具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，參數(shù)模型逼近的求解方法已被廣泛用于電磁散射的計(jì)算中。其中，漸近波形估計(jì)法通過(guò)采樣點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)信息構(gòu)建多項(xiàng)式模型，快速分析FSS的寬帶電磁散射特性［6］。但計(jì)算的準(zhǔn)確性受到了級(jí)數(shù)收斂半徑的限制，并占用了大量的內(nèi)存空間。Maehly逼近法依據(jù)Chebyshev節(jié)點(diǎn)變換關(guān)系選擇采樣點(diǎn)，基于Chebyshev級(jí)數(shù)展開(kāi)的有理函數(shù)模型擬合未知電流［7－8］。由于參數(shù)模型的系數(shù)通過(guò)線性方程組求解，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，可能導(dǎo)致病態(tài)矩陣的產(chǎn)生，影響數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。自適應(yīng)頻率采樣（AFS）法基于Neville迭代算法在寬頻范圍內(nèi)建立任意階數(shù)的有理多項(xiàng)式，用于分析微波電路的散射特性［9］和FSS的電磁特性［10］，大大縮減了整個(gè)頻率響應(yīng)的計(jì)算時(shí)間。但AFS法局限于對(duì)頻率參數(shù)的自適應(yīng)采樣，在FSS分析中還需要考察入射方向、結(jié)構(gòu)參數(shù)等對(duì)FSS電磁特性的影響。

本文旨在將一維的AFS法擴(kuò)展為可計(jì)算多元函數(shù)的自適應(yīng)采樣法（ASM），并應(yīng)用于FSS的電磁特性分析。文中首先建立FSS電磁特性分析模型以及散射參數(shù)的多元函數(shù)模型，其次基于Neville型拓?fù)潢P(guān)系分別給出一維和多維的自適應(yīng)采樣方法，最后通過(guò)算例分析，考察頻率、入射方向等參數(shù)對(duì)FSS散射特性的影響，驗(yàn)證方法的有效性。

1 模型與方法

1.1 FSS電磁特性分析模型

具有L層介質(zhì)襯底的平面FSS結(jié)構(gòu)如圖1所示 ，其中FSS位于第l與l＋1（l＝0，1，…，L）層介質(zhì)界面。若頻率為f的平面波沿方向（θi，φi）照射，則其導(dǎo)體表面的電場(chǎng)積分方程為

圖1 平面波照射FSS

式中：Tx、Ty為FSS單元沿x、y方向排布的周期；分別為入射場(chǎng)和FSS結(jié)構(gòu)的并矢格林函數(shù)；為導(dǎo)體未知感應(yīng)電流。

采用矩量法求解未知電流可得到FSS的散射場(chǎng)，進(jìn)而求得FSS的散射參數(shù)［11］。以TE極化傳輸系數(shù)為例，散射參數(shù)可表示為

式中：E＋為介質(zhì)襯底的透射場(chǎng)與FSS結(jié)構(gòu)散射場(chǎng)之和。

由式（1）～（4）可以看出，F(xiàn)SS的散射參數(shù)與（θi，φi）、 f 和 FSS結(jié)構(gòu)參數(shù)（周期，介質(zhì)參數(shù)、厚度）等多個(gè)變量有關(guān)。因此，可定義n維變量空間Π＝（x1，x2，…，xn）并建立相應(yīng)的散射參數(shù)函數(shù)S（x1，x2，…xn）.若令x1為f，建立一維函數(shù)S（x1）可獲得FSS的頻帶響應(yīng) .若令x1、x2分別為θi、φi建立二維函數(shù)S（x1，x2），則可考察入射方向?qū)ι⑸涮匦缘挠绊?。為了獲得多個(gè)變量在較寬范圍內(nèi)變化的FSS散射參數(shù)，需要采用矩量法反復(fù)計(jì)算電場(chǎng)積分方程，非常耗時(shí)。為此，引入ASM法來(lái)快速分析FSS的散射特性。

1.2 一維ASM法

對(duì)一維變量S（x0）建立有理函數(shù)模型

式中：μ、v分別為分子和分母多項(xiàng)式的階數(shù)；a，b為未知系數(shù)。為了避免求解系數(shù)矩陣，采用遞推拓?fù)浼夹g(shù)Neville型算法［12］，如圖2所示。

圖2 Neville算法遞推表

在遞推關(guān)系中采用矩量法求解采樣點(diǎn)x0i處的散射參數(shù)Si0（x0i）作為第一列初始值，遞推關(guān)系從第二列開(kāi)始，可選用以下三式建立

1.3 多維ASM法

對(duì)多元函數(shù)S（x1，x2，…，xn）建立有理函數(shù)模型

查找出現(xiàn)誤差最大的點(diǎn)作為下一個(gè)可能的采樣點(diǎn)，直至滿足誤差限ε，查找結(jié)束。選用不同遞推關(guān)系可構(gòu)造不同函數(shù)模型，當(dāng)采樣點(diǎn)足夠多時(shí)，函數(shù)模型均能達(dá)到誤差限范圍。詳細(xì)的遞推關(guān)系選擇方法參見(jiàn)文獻(xiàn)［9］。為方便ε的選擇，本文定義誤差為目標(biāo)函數(shù)模型的結(jié)果與電磁計(jì)算的結(jié)果之差為

其中，μi（j）和vi（j）為整數(shù)函數(shù)，分別表示分子和分母中參數(shù)xi的次數(shù)，a、b為未知系數(shù)。為避免直接求解系數(shù)，將一維ASM法拓展為多維技術(shù)。定義為第i維空間的計(jì)算范圍，ψi為第i維空間的測(cè)試點(diǎn)集合，Φi為第i維空間采樣點(diǎn)集合，Ki為Φi內(nèi)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，xik為Φi內(nèi)采樣點(diǎn)（k＝0，1，…，Ki－1）。初始化令各維空間的采樣點(diǎn)不需要等間距分布，但必須完全填充空間網(wǎng)格，如圖3所示。1）采樣點(diǎn)查找

A：初始化多維空間的Φi和ψi，令i＝1；

B：固定第s維（s≠i）空間參數(shù)xs，選擇Φs中各采樣點(diǎn)，分別沿平行于xi方向進(jìn)行一維ASM法查找最大誤差εmax，如果εmax（）＜ε跳轉(zhuǎn)到步驟4，否則，出現(xiàn)最大誤差的測(cè)試點(diǎn)作為Φi的新采樣點(diǎn)，令Ki加1，矩量法計(jì)算在Φs中各采樣點(diǎn)的值以填充網(wǎng)格并作為下一步的初始值，i加1；

C：如果i≤n，重復(fù)步驟2，否則，令i＝1重復(fù)步驟2；

D：采樣點(diǎn)查找結(jié)束，采樣點(diǎn)網(wǎng)格已被完全填充，進(jìn)行遞推內(nèi)插。2）遞推內(nèi)插

A：待求點(diǎn)為Q（x＊1，x＊2，…，x＊n），采樣點(diǎn)的散射參數(shù)作為遞推初始值，令i＝1；

B：固定第s維（s＝i＋1）空間參數(shù)xs，選擇Φs中各采樣點(diǎn)，分別沿平行于xi方向在x＊i點(diǎn)進(jìn)行一維遞推內(nèi)插得到過(guò)度點(diǎn)（x＊1，x2，…，xn）的內(nèi)插值，其中x2，…，xn分別為Φ2，…，Φn中的采樣點(diǎn)，如圖3所示，令i加1；

C：前一步過(guò)度點(diǎn)集合作為下一步計(jì)算的初始值，固定第s維（s＝i＋1）空間參數(shù)xs為Φs中各采樣點(diǎn)，分別沿平行于xi方向在x＊i點(diǎn)進(jìn)行一維遞推內(nèi)插得到過(guò)度點(diǎn)（x＊1，x＊2，…，xn），令i加1；

D：重復(fù)步驟3，直至i＝n，得到待求點(diǎn)Q（x＊1，x＊2，…，x＊n）.

圖3 二維自適應(yīng)采樣內(nèi)插法

2 數(shù)值結(jié)果

基于上述ASM法，分別對(duì)十字形貼片和方形孔徑單元FSS的散射特性以及口徑天線－FSS罩系統(tǒng)方向圖進(jìn)行計(jì)算，以驗(yàn)證算法的有效性。

2.1 十字形貼片單元FSS

十字形貼片單元如圖4（a）示，單元尺寸為L(zhǎng)d＝6mm，Lw＝1mm，Tx＝Ty＝8mm .介質(zhì)層結(jié)構(gòu)如圖1示，選擇L＝3，l＝0，εr1＝εr3＝3，εr2＝1，h1＝h3＝0.2mm，h2＝10mm.圖5給出了平面波垂直入射時(shí)，1～30GHz寬頻內(nèi)的頻率響應(yīng)。ε設(shè)置為10－5，頻率采樣點(diǎn)為21個(gè)。圖6給出了以21GHz TE模式入射時(shí)，反射系數(shù)隨θi從1°～80°，φi從0°～45°的變化規(guī)律，圖中給出了φi分別為6°，16°和36°的三條曲線。ε設(shè)置為10－5，θi和φi方向的采樣點(diǎn)分別為33、32個(gè)。由結(jié)果可以看出，采用ASM法可采集到特曲線上突變的點(diǎn)，計(jì)算的結(jié)果與直接MoM計(jì)算的結(jié)果完全吻合，計(jì)算量明顯降低。

圖6 十字形FSS的入射角度響應(yīng)

2.2 方形孔徑單元FSS

方形孔徑單元如圖4（b）示，單元尺寸Tx＝Ty＝16mm，W＝12mm.介質(zhì)層結(jié)構(gòu)如圖1示，選擇L＝2，l＝1，εr1＝εr2＝2.2，tanδ＝0.01，h1＝h2＝3.8 mm.ε設(shè)置為10－4，通過(guò)θi和φi方向21、20個(gè)采樣點(diǎn)，可得到TE極化10GHz平面波照射下θi從1°～80°，φi同時(shí)從0°～45°變化的FSS傳輸系數(shù)幅度3D曲線圖，如圖7示。若θi和φi方向分別以1°為步長(zhǎng)，采用直接MoM求解得到同樣結(jié)果需要34個(gè)小時(shí)，但是采用多維ASM法僅用3.4個(gè)小時(shí)，計(jì)算效率明顯提高。

2.3 FSS天線罩

以拋物柱面FSS天線罩為例，橫截面外形方程為拋物線x2＝－a（z－h(huán)z），a為拋物線的焦距，hz為z向天線罩頂距原點(diǎn)的距離，柱面沿y方向長(zhǎng)度為L(zhǎng)y，如圖8所示。選擇與圖7相同的方形孔徑FSS結(jié)構(gòu)，單元分別沿y方向和橫截面的母線方向周期均勻排布。天線罩外形參數(shù)為：a＝12λ，hz＝12λ，Ly＝36λ.

圖9給出了坐標(biāo)原點(diǎn)位置上工作頻率為10 GHz的矩形口徑面天線經(jīng)過(guò)FSS罩的遠(yuǎn)區(qū)輻射方向圖。其中FSS罩壁傳輸特性分別采用了直接MoM和ASM法計(jì)算，計(jì)算所需時(shí)間分別為90.4h、3.4h.圖10（見(jiàn)845頁(yè)）給出了罩面剖分單元位置上，采用ASM法計(jì)算FSS罩壁傳輸特性的誤差分布。其中，TE、TM極化傳輸特性的均方誤差分別為0.0943%，0.0347%，相對(duì)誤差大于1%的天線罩剖分單元個(gè)數(shù)占總剖分單元個(gè)數(shù)的比例分別為0.2229%，0%.由結(jié)果可以看出，ASM法的計(jì)算精度滿足工程要求，計(jì)算效率與直接MoM法相比提高了30倍。ASM法的計(jì)算時(shí)間與各維空間采樣點(diǎn)數(shù)有關(guān)，正比于與剖分單元數(shù)無(wú)關(guān)；MoM法的計(jì)算時(shí)間與單元數(shù)成正比。通常情況下，工程FSS天線罩分析時(shí)罩面剖分單元上萬(wàn)個(gè)，計(jì)算中需要考慮不同頻率、掃描角和極化因素，采用MoM法計(jì)算需要半年以上的時(shí)間，若采用ASM法進(jìn)行整罩分析只需要1～2天的時(shí)間，計(jì)算效率顯著提高。

3 結(jié) 論

提出了一種可快速分析多個(gè)變量對(duì)FSS散射特性影響的多維ASM法。對(duì)不同結(jié)構(gòu)FSS單元及FSS罩的電磁特性進(jìn)行了計(jì)算分析。計(jì)算結(jié)果表明：多維ASM法的計(jì)算結(jié)果與直接MoM法結(jié)果吻合，計(jì)算效率得到了明顯改善。

文中主要針對(duì)FSS電磁特性隨入射波頻率、入射角變化的曲線進(jìn)行計(jì)算分析，ASM法還可以應(yīng)用于隨介質(zhì)厚度、介電常數(shù)、周期等參數(shù)改變FSS特性曲線的計(jì)算。

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