王一超，江駒，王新華，甄子洋，李欣

（南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，江蘇南京 210016）

引言

大型客機(jī)的研發(fā)對(duì)增強(qiáng)我國(guó)航空工業(yè)、科技實(shí)力具有重要的意義。相比波音、空客這樣的大公司，我國(guó)對(duì)于大型客機(jī)的研究尚屬于初步探索階段。從主動(dòng)控制技術(shù)在航空領(lǐng)域應(yīng)用以來(lái)，控制器的好壞對(duì)于客機(jī)性能和安全的影響越來(lái)越大［1］。為了實(shí)現(xiàn)客機(jī)成本的最優(yōu)化，國(guó)外先進(jìn)的大型客機(jī)都采用了放寬靜穩(wěn)定性技術(shù)［2］，同時(shí)也設(shè)計(jì)了相應(yīng)的控制律以恢復(fù)和改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如空客A340采用了C*內(nèi)回路控制，波音公司的 B747采用了C*-U控制［3］。

近年來(lái)，現(xiàn)代控制理論中的多變量最優(yōu)二次型（LQR）設(shè)計(jì)方法在MIMO系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用，并在飛行控制系統(tǒng)中取得了成功的經(jīng)驗(yàn)［4］。該方法可以同時(shí)閉合所有的回路，保證最優(yōu)的性能指標(biāo)，并在工程上易于實(shí)現(xiàn)。實(shí)際的客機(jī)飛控系統(tǒng)不可能測(cè)量出所有的狀態(tài)，因此無(wú)法進(jìn)行全狀態(tài)反饋，工程應(yīng)用中可將傳感器能測(cè)出的狀態(tài)作為系統(tǒng)的輸出，采用輸出反饋線性二次型算法設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制律［5］，使得系統(tǒng)輸出跟蹤相應(yīng)的指令。

本文以B707客機(jī)為研究對(duì)象，將法向過(guò)載信號(hào)引入到其縱向通道中，使用輸出反饋的LQR技術(shù)設(shè)計(jì)了客機(jī)的姿態(tài)回路，并給出了相應(yīng)的仿真驗(yàn)證。

1 客機(jī)建模與配平

文獻(xiàn)［3］公開(kāi)了B707大型客機(jī)著陸進(jìn)近階段的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)和物理參數(shù)。在“平板大地假設(shè)”的前提下，使用 Matlab軟件中的工具 S-function建立B707客機(jī)在歐美坐標(biāo)系下的六自由度數(shù)學(xué)模型?？蜋C(jī)建模的核心工作就是根據(jù)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)計(jì)算氣動(dòng)力和氣動(dòng)力矩，再利用相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)微分方程計(jì)算狀態(tài)量的微分量，作為mdlDerivatives函數(shù)的輸出。由于S-function已經(jīng)將各個(gè)功能模塊獨(dú)立封裝，各個(gè)模塊的接口也已經(jīng)被系統(tǒng)所固定，所以當(dāng)需要用到狀態(tài)量的微分量時(shí)，可以把該微分量用global定義為全局變量，直接輸出mdlDerivatives的計(jì)算值，避免反復(fù)計(jì)算。該微分量還要在mdlInitializeSizes函數(shù)中賦初值0，而且每個(gè)子函數(shù)內(nèi)部在調(diào)用此變量前都要用global指明是全局變量。

非線性模型僅適用于數(shù)值計(jì)算，在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，需要先求得客機(jī)在此階段的平衡點(diǎn)，并在平衡點(diǎn)附近對(duì)上述模型進(jìn)行小擾動(dòng)線性化，得到此平衡狀態(tài)的線性模型方程。假設(shè)客機(jī)的高度H=500 m，空速V=80 m/s，使用Matlab/Trim工具求得客機(jī)的一個(gè)配平點(diǎn)為:α=0.97°，γ= －3°，θ= －2.03°，nz=0.9994，δe= －9.84°，油門開(kāi)合度δt=21%。

使用Matlab/Linmod工具對(duì)其線性化，并將縱向與橫側(cè)向解耦，得到客機(jī)縱向通道的狀態(tài)空間模型為:

式中，xlon=［ΔV，Δα，Δq，Δθ，Δnz］T；Alon∈R5×5；Blon∈R5×2；ulon=［Δδe，Δδt］。

2 客機(jī)增穩(wěn)控制方案

放寬靜穩(wěn)定性客機(jī)相比于傳統(tǒng)客機(jī)，其氣動(dòng)焦點(diǎn)與實(shí)際重心的距離減小，|Cmα|減小，系統(tǒng)的極點(diǎn)右移靠近虛軸，使得客機(jī)縱向的穩(wěn)定性降低。而考慮到大型客機(jī)的安全性與舒適性，必須設(shè)計(jì)相應(yīng)的增穩(wěn)控制系統(tǒng)。在飛控系統(tǒng)中，將α與nz反饋到升降舵通道都能起到增穩(wěn)的效果。但在工程實(shí)際中，迎角傳感器成本高、精度低、故障率高，而法向過(guò)載通過(guò)加速度計(jì)可以方便地測(cè)量得出，其計(jì)算方法為:

式中，az為機(jī)體z軸方向加速度；θ為客機(jī)俯仰角；L為加速度計(jì)安裝位置沿x軸方向相對(duì)于客機(jī)重心的距離。為了簡(jiǎn)化客機(jī)模型，令L=0。代入式（1），nz的物理意義即為機(jī)體z軸方向氣動(dòng)力和發(fā)動(dòng)機(jī)推力的合力與重力分量的比值。

客機(jī)法向過(guò)載方程短周期線性方程可以近似地寫為:

令 Δδe=knΔnz+ΔU，U為內(nèi)回路預(yù)制指令信號(hào)，代入式（3），可得:

圖1 C*構(gòu)型框圖

C*信號(hào)定義為nz和q的混合信號(hào)［6］:

工程上可以通過(guò)C*信號(hào)的階躍響應(yīng)來(lái)評(píng)判飛機(jī)內(nèi)回路C*控制的合理性，C*響應(yīng)的包線見(jiàn)文獻(xiàn)［2］。

3 輸出反饋線性二次跟蹤器設(shè)計(jì)

LQR設(shè)計(jì)方法相比于傳統(tǒng)的單通道經(jīng)典控制方法，設(shè)計(jì)過(guò)程更加方便，能夠精確地達(dá)到指定的性能指標(biāo)，對(duì)多輸入多輸出的飛控系統(tǒng)，能起到更好的解耦效果，在工程中也易于實(shí)現(xiàn)。本文以客機(jī)進(jìn)近飛行階段為例，使用LQR方法實(shí)現(xiàn)第2節(jié)的增穩(wěn)控制方案，同時(shí)設(shè)計(jì)出俯仰角保持與跟蹤控制系統(tǒng)?？刂破骺驁D如圖2所示，客機(jī)縱向狀態(tài)空間模型見(jiàn)式（1）。

圖2 系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖

圖2中，Δθc，ΔVc分別為俯仰角與速度的增量指令；eθ，eV分別為俯仰角與速度的跟蹤誤差。舵機(jī)伺服特性和發(fā)動(dòng)機(jī)傳遞函數(shù)分別簡(jiǎn)化為:

實(shí)際系統(tǒng)中，不可能將所有的狀態(tài)量反饋，只能選擇合適的參量作為系統(tǒng)的輸出y進(jìn)行反饋［5］。因?yàn)閳D2的控制目的是使得跟蹤誤差eθ，eV→0，本文選擇y=［eθ，Δnz，Δq，eV］，這樣，就將輸出跟蹤的控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為輸出調(diào)節(jié)器的問(wèn)題。同時(shí)，配合狀態(tài)量的增廣、系統(tǒng)指令的前饋補(bǔ)償技術(shù)，將系統(tǒng)的模型轉(zhuǎn)換為式（7）所示的結(jié)構(gòu)，這樣，才方便用線性二次型調(diào)節(jié)器方法設(shè)計(jì)反饋增益K。

式中，狀態(tài)量x=［ΔV，Δα，Δq，Δθ，Δnz，Δδe，Δδt］T；控制輸入量u=［Δue，Δut］；指令輸入量r=［ΔVc，Δθc］；z=［ΔV，Δθ］。增廣后的系數(shù)矩陣為:

輸出反饋的控制律為:

將式（8）代入式（7），得到系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)方程為:

假設(shè)x穩(wěn)態(tài)量為，x相對(duì)于穩(wěn)態(tài)量的偏差量為，可得:

為了解決原系統(tǒng)的跟蹤問(wèn)題，對(duì)偏差系統(tǒng)的調(diào)節(jié)器提出的性能指標(biāo)必須反映原系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)，本文選取如下性能指標(biāo):

式中，S，Q，R都為非奇異正定或半正定陣；S為對(duì)被控量跟蹤誤差的加權(quán)陣，對(duì)應(yīng)姿態(tài)回路的響應(yīng)特性；R為對(duì)控制量的加權(quán)陣，對(duì)應(yīng)控制能力的大??；Q為對(duì)內(nèi)回路狀態(tài)Δnz和Δq的加權(quán)陣，對(duì)應(yīng)短周期內(nèi)回路響應(yīng)特性的大小，選取Q=diag［0，0，k1，0，k2，0，0］。

假設(shè)存在對(duì)應(yīng)的正定對(duì)稱陣P，則本系統(tǒng)的李雅普洛夫方程為:

選擇了恰當(dāng)?shù)募訖?quán)陣后，使用Simplex算法［7］，就可以求出使性能指標(biāo)J最小的反饋增益陣K。具體過(guò)程如下:選取輸出反饋的初始增益陣K0，初始增益K0的選擇可以通過(guò)經(jīng)典控制方法加以確定；再根據(jù)李雅普洛夫方程式（13）求解出P，由P陣可以求出性能指標(biāo)J；使用迭代的方法改變K陣，直至J最小。

4 仿真驗(yàn)證與分析

以式（1）所示的客機(jī)縱向模型為對(duì)象，使用第3節(jié)所述的控制設(shè)計(jì)方法，選取加權(quán)矩陣為:V=diag［5，25］，S=diag［5，1000］，Q=diag［0，0，900，0，90，0，0］。通過(guò)經(jīng)典控制根軌跡方法，設(shè)計(jì)出初始的反饋增益:

再使用Simplex算法，解得:

將設(shè)計(jì)結(jié)果在B707客機(jī)進(jìn)近階段的非線性模型中仿真驗(yàn)證。

4.1 內(nèi)回路增穩(wěn)效果驗(yàn)證

由K陣知，C*內(nèi)回路對(duì)升降舵偏量的控制為:

仿真得到C*響應(yīng)曲線如圖3所示。C*響應(yīng)落在了文獻(xiàn)［2］中C*包線的I區(qū)，為最佳響應(yīng)區(qū)。

圖3 C*響應(yīng)曲線

將式（14）中過(guò)載信號(hào)反饋去除，則C*內(nèi)回路就變成了傳統(tǒng)的阻尼器，給內(nèi)回路預(yù)置階躍指令，比較兩種內(nèi)回路的過(guò)載響應(yīng)仿真曲線如圖4所示。

圖4 內(nèi)回路過(guò)載響應(yīng)曲線

可以看出，C*內(nèi)回路過(guò)載響應(yīng)幅值小于阻尼器內(nèi)回路，且符合適航標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的－1.0≤nz≤2.5，說(shuō)明了C*內(nèi)回路增加了客機(jī)的靜穩(wěn)定性，并且使得客機(jī)乘坐的舒適性得到了提高。

4.2 指令跟蹤效果驗(yàn)證

客機(jī)平衡點(diǎn)處俯仰角θ0=－2.03°，速度V0=80 m/s。給定θ=0°，V=80 m/s的指令信號(hào)，非線性模型的仿真曲線如圖5所示。可以看出，過(guò)載和俯仰角速度均在8 s內(nèi)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，動(dòng)態(tài)過(guò)程迅速且無(wú)振蕩；速度變化很??；俯仰角響應(yīng)曲線于10 s處進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，仿真曲線無(wú)超調(diào)，基本無(wú)靜差。

圖5 給定姿態(tài)角、速度指令的非線性仿真

5 結(jié)束語(yǔ)

本文使用LQR方法設(shè)計(jì)了客機(jī)進(jìn)近段的輸出反饋跟蹤器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)放寬靜穩(wěn)定性客機(jī)的增穩(wěn)控制和姿態(tài)跟蹤控制。在非線性模型中的仿真結(jié)果表明，各個(gè)響應(yīng)性能都達(dá)到了滿意的效果。該控制方法應(yīng)用于MIMO系統(tǒng)，具有設(shè)計(jì)過(guò)程方便，易于解耦的特點(diǎn)，能夠達(dá)到確定的性能指標(biāo)，并且在工程實(shí)際中有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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