張巧玲 吳紹華 張欽宇 劉 良

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)深圳研究生院 深圳 518055)

1 引言

脈沖超寬帶(Impulse Radio Ultra-WideBand,IR-UWB)技術(shù)由于具有系統(tǒng)容量大，發(fā)射功率低，抗干擾性強(qiáng)，多徑分辨能力強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)而備受關(guān)注。但由于帶寬極寬，接收機(jī)中高速高精度 ADC(Analog-to-Digital Converter)難以低成本低功耗實(shí)現(xiàn)成為當(dāng)前制約IR-UWB技術(shù)實(shí)用化的主要技術(shù)難題之一。壓縮感知(Compressed Sensing, CS)[1,2]是一種以遠(yuǎn)低于Nyquist速率采樣來精確地恢復(fù)原始稀疏信號的技術(shù)，正好為這一問題的解決提供了契機(jī)。在CS框架下，通過對IR-UWB發(fā)射信號、傳播信道稀疏特性的挖掘，可以實(shí)現(xiàn)對IR-UWB接收信號的低速率壓縮采樣。基于此思想，壓縮感知框架下IR-UWB的研究紛紛展開[3,4]，相關(guān)成果驗(yàn)證了在CS框架下處理IR-UWB信號的可行性。

已有研究中，IR-UWB信號的壓縮采樣多使用隨機(jī)解調(diào)器[5]或隨機(jī)濾波器架構(gòu)，但這些研究對采樣架構(gòu)中量化噪聲的影響考慮不足。一些研究將量化過程考慮為理想情況，即量化精度無窮高[6]；還有些研究將壓縮測量值中的混合噪聲(熱噪聲+量化噪聲)的特性簡單考慮為服從高斯分布[7]，將信號重構(gòu)問題確立為l2約束的l1最小化模型，具體求解方法為BPDN(Basis Pursuit De-Noising)[8]或貪婪算法[9-11]。

顯然，量化精度有限時(shí)，混合噪聲不滿足高斯噪聲特性，已有架構(gòu)中對量化噪聲的特性挖掘不充分，無法達(dá)到信號重構(gòu)的最優(yōu)性能。針對上述問題，考慮量化噪聲實(shí)際影響的信號重構(gòu)研究陸續(xù)展開，文獻(xiàn)[12]引入量化一致性約束，提出 BPDQp(Basis Pursuit De-Quantizer of moment p)模型，更實(shí)際地處理量化噪聲和高斯噪聲混合的情況。文獻(xiàn)[13]將傳統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為可導(dǎo)凸函數(shù)與l1范數(shù)之和的優(yōu)化模型，提出l1正則化最大似然法和l1正則化最小二乘法求解。雖然這些研究都取得了比BPDN模型更好的重構(gòu)效果，但復(fù)雜度都比較高，難以直接應(yīng)用到實(shí)用化IR-UWB系統(tǒng)中。

為了滿足IR-UWB系統(tǒng)實(shí)用化的要求，本文對信號重構(gòu)模型進(jìn)行了修正，根據(jù)定義的量噪比信息，提出了一種在DS(Dantzig Selector)和SP(Subspace Pursuit)算法中自適應(yīng)選擇的聯(lián)合 DS-SP信號重構(gòu)法。此方法相比傳統(tǒng)算法，在不同噪聲環(huán)境下均能獲得最優(yōu)性能，且運(yùn)算復(fù)雜度處于DS法和SP法之間，為CS框架下的IR-UWB接收機(jī)數(shù)字后端提供了一種新的信號重構(gòu)方式。

文章第 2節(jié)介紹了壓縮感知的背景知識以及IR-UWB信號模型和壓縮采樣過程；第3節(jié)為量化重構(gòu)模型的建立和求解，并與常規(guī)算法進(jìn)行對比；第 4節(jié)定義量噪比，并提出自適應(yīng)選擇的聯(lián)合DS-SP信號重構(gòu)法；第5節(jié)仿真驗(yàn)證了聯(lián)合DS-SP法的性能；最后是結(jié)束語。

2 壓縮感知簡介及IR-UWB信號模型

2.1 壓縮感知理論簡介

若存在信號x∈RN×1在某個(gè)空間ΨN×N上是稀疏的，則信號可表示為

其中y為M×1維向量，T=ΦΨ是M×N的感知矩陣。

從測量值y中恢復(fù)出信號x的過程稱為稀疏重構(gòu)，即求解

直接求解式(3)是復(fù)雜度很高的組合優(yōu)化問題。Donoho等人[6]證明，如果感知矩陣ΦΨ滿足約束等距性特性(Restricted Isometry Property, RIP)，則式(3)可等價(jià)于求解如下的線性規(guī)劃問題：

特別地，隨機(jī)生成的測量矩陣Φ與任意表達(dá)矩陣Ψ之間不相關(guān)，可使得感知矩陣ΦΨ高概率滿足 RIP特性，所以現(xiàn)有研究中常用的測量矩陣多為隨機(jī)測量陣，如高斯隨機(jī)陣，二值隨機(jī)陣(Bernoulli矩陣)和傅里葉隨機(jī)陣等。

2.2 IR-UWB信號模型和壓縮采樣過程

在IR-UWB系統(tǒng)的發(fā)射端，發(fā)射信號s(t)可表示為

考慮接收機(jī)熱噪聲的影響，則接收端的信號可以表示為

由d(t)和h(t)的形式可以看到，IR-UWB發(fā)射信號和多徑信道具有天然稀疏特性，故其接收信號適合在 CS框架下處理。本文的討論中，為簡單起見且不失一般性，以IR-UWB測距或通信過程的導(dǎo)頻階段為例進(jìn)行討論，此時(shí)在符號周期Ts內(nèi)只使用單個(gè)脈沖激勵信號，即d(t)=δ(t)，式(6)變?yōu)?/p>

其中稀疏表達(dá)矩陣Ψ是卷積作用“p(t)?”的等價(jià)循環(huán)矩陣；h是h(t)的虛擬采樣序列[3]，僅在多徑分量位置所對應(yīng)的虛擬采樣時(shí)刻處不為零。

在接收端，實(shí)際系統(tǒng)只能有限精度量化，本文中不回避量化環(huán)節(jié)引入的量化噪聲， IR-UWB接收信號的壓縮采樣采用如圖 1所示的隨機(jī)解調(diào)器架構(gòu)。接收信號經(jīng)過帶限濾噪后，進(jìn)入M個(gè)并行通道進(jìn)行線性投影(此投影過程即為壓縮采樣過程)，投影波形φm(t)(m=1,2,…,M)是碼片速率為 Nyquist速率的偽隨機(jī)波形，對應(yīng)隨機(jī)測量矩陣Φ中的各行。

圖1 IR-UWB接收信號的壓縮采樣架構(gòu)示意圖

3 基于“l(fā)∞約束的l1最小化”的重構(gòu)

3.1 l∞約束的l1最小化

現(xiàn)有研究中大都將混合噪聲(量化噪聲+熱噪聲)的統(tǒng)計(jì)特性簡單考慮為服從高斯分布，故一般將信號重構(gòu)問題確立為l2約束的l1最小化的二階錐規(guī)劃問題，即經(jīng)典的BPDN模型。

BPDN模型常用凸優(yōu)化的對數(shù)障礙(Log-Barrier, LB)法求解，重構(gòu)速度快的貪婪算法 SP(Subspace Pursuit)亦是一種很好的求解算法。然而考慮到量化噪聲并不滿足高斯特性，將其與熱噪聲區(qū)別對待時(shí)，壓縮測量值為

其中nq代表量化噪聲。若采用量化間隔為Δ的均勻量化器，易知||nq||∞≤Δ/2,l∞范數(shù)可以精確表示出量化噪聲的特性，建立帶l∞范數(shù)約束的重構(gòu)模型是利于對抗量化噪聲的。

文獻(xiàn)[14]給出了針對高斯噪聲的求解l∞范數(shù)約束的Dantzig selector法，在分開考慮噪聲影響時(shí)，可以將模型調(diào)整為

3.2 Dantzig-Selector算法與BPDN(LB)和SP的性能對比

仿真對比求解l∞-l1模型的DS法與求解BPDN模型的LB法以及子空間追蹤SP法的重構(gòu)性能，結(jié)果如圖2和圖3。其中熱噪聲電平Eb/N0從5 dB到45 dB變化，,量化精度為1 bit, 2 bit, 4 bit, 6 bit, 8 bit，蒙特卡羅仿真次數(shù)為1000次。信號長度N=2 000，測量次數(shù)M=6 00, SP法中信號稀疏度K=100。

從圖2可看出，在量化精度很低(1 bit, 2 bit)時(shí)，LB法的重構(gòu)SNR基本在3 dB以下。同時(shí)在不同量化精度下，LB法重構(gòu)SNR整體比DS法小4-8 dB左右。這充分驗(yàn)證了l∞范數(shù)約束的模型更能精確反應(yīng)量化噪聲的特性，加上噪聲門限系數(shù)的優(yōu)化設(shè)置，可以實(shí)現(xiàn) DS法在高量化噪聲環(huán)境下精確重構(gòu)出信號。從圖3中看出量化精度nb=1 bit, 2 bit時(shí)，DS法重構(gòu)精度遠(yuǎn)高于SP法；但是當(dāng)nb=6 bit,8 bit且Eb/N0值較大時(shí)，SP法更有優(yōu)勢。

4 DS與SP自適應(yīng)選擇的組合算法

通過 3.2節(jié)中對不同算法的重構(gòu)性能對比，我們發(fā)現(xiàn)盡管 DS法有良好的抗量化噪聲效果，卻并未獲得全局最優(yōu)性能。同時(shí)在熱噪聲和量化噪聲均較小時(shí)，重構(gòu)速度快的SP算法能達(dá)到較DS法更優(yōu)的重構(gòu)效果。為了達(dá)到全局最優(yōu)性能，本文采用組合優(yōu)化重構(gòu)(聯(lián)合 DS-SP)的策略，在不同噪聲環(huán)境下，自適應(yīng)選擇不同算法對IR-UWB信號重構(gòu)。

4.1 自適應(yīng)選擇依據(jù)——量噪比的定義

要實(shí)現(xiàn)組合優(yōu)化重構(gòu)策略，首先要能直接判斷出測量值所處環(huán)境。本文定義一個(gè)量噪比系數(shù)：

其中nq=ybq-yq,ybq為量化前的測量值，yq為量化后的測量值。ng表示接收機(jī)的熱噪聲。QNR不僅可以評估在不同重構(gòu)環(huán)境下量化噪聲和熱噪聲的相對大小，也為混合優(yōu)化的重構(gòu)算法選取提供了一個(gè)定量的參考依據(jù)。

圖4為量化精度為1 bit, 2 bit, 3 bit, 4 bit, 6 bit, 8 bit時(shí)的量化噪聲與接收機(jī)熱噪聲電平Eb/N0值從0-36 dB時(shí)的量噪比情況。

4.2 組合算法(聯(lián)合DS-SP)的自適應(yīng)選擇策略

通過量化精度和定義的 QNR系數(shù)，我們能簡單準(zhǔn)確地判斷出信號重構(gòu)的噪聲環(huán)境，并根據(jù)這些信息，自適應(yīng)的選取算法重構(gòu)信號。組合優(yōu)化重構(gòu)算法的具體流程如表1。

5 仿真及討論

本文使用 matlab7.0仿真聯(lián)合 DS-SP算法對IR-UWB信號的重構(gòu)性能，分別與DS法和SP法進(jìn)行比較。同時(shí)，為了體現(xiàn)聯(lián)合DS-SP算法的優(yōu)越性，從當(dāng)前 CS兩大類重構(gòu)算法中各選取一種經(jīng)典算法與其進(jìn)行性能對比。仿真中的具體參數(shù)設(shè)置見表2。

組合算法的自適應(yīng)選擇策略仿真結(jié)果如圖 5。圖6，圖7分別為聯(lián)合DS-SP法與DS法、SP法的重構(gòu)性能對比結(jié)果。圖5中，組合算法利用定義的QNR值和量化精度信息，判斷出混合噪聲小的環(huán)境(帶方框的點(diǎn))，自適應(yīng)選用SP算法重構(gòu)；未帶方框的點(diǎn)代表混合噪聲較大，包括圖4中的量化噪聲主導(dǎo)區(qū)、熱噪聲主導(dǎo)區(qū)以及兩種噪聲都較大的區(qū)域，此時(shí)選用抗噪聲性能強(qiáng)的DS法重構(gòu)。圖6的對比結(jié)果顯示，在6 bit, 8 bit量化時(shí), 聯(lián)合DS-SP法的重構(gòu) SNR較 DS法有一定的提升，且此時(shí)聯(lián)合DS-SP法的重構(gòu)速度是遠(yuǎn)快于DS法的。從圖7可看出，在量化精度僅為1 bit, 2 bit時(shí)，組合算法的重構(gòu)SNR在所有熱噪聲電平下都比SP法有3-5 dB的提升，4 bit量化時(shí)也有明顯的重構(gòu)優(yōu)勢；而當(dāng)量化精度較高時(shí)，組合算法在大熱噪聲(Eb/N0＜15 dB)下也有重構(gòu)精度的改善?？梢?，聯(lián)合DS-SP法通過簡單的策略，在不同噪聲環(huán)境下自適應(yīng)選擇算法重構(gòu)信號，不僅獲得了全局范圍內(nèi)的最優(yōu)性能，還實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算復(fù)雜度折中于DS法和SP法，達(dá)到了算法設(shè)計(jì)的期望。

圖2 DS法與LB法重構(gòu)性能對比

圖3 DS法與SP法重構(gòu)性能對比

圖4 不同噪聲環(huán)境下QNR圖

表1 聯(lián)合 DS-SP算法流程

圖5 自適應(yīng)選擇策略

圖6 組合算法與DS法對比

圖7 組合算法與SP法對比

表2 仿真參數(shù)設(shè)置

常規(guī)的CS重構(gòu)過程中，BPDN[8]具有一定的抗噪性能，是一種常用的凸優(yōu)化類重構(gòu)方法，這里仍用上文提及的LB算法求解，圖8給出了聯(lián)合DS-SP法與其性能對比情況。圖9則給出了聯(lián)合DS-SP與經(jīng)典的貪婪重構(gòu)算法OMP[9]的性能對比結(jié)果。不論是相對常規(guī)的凸優(yōu)化類算法還是貪婪算法，本文提出的組合優(yōu)化算法在不同噪聲環(huán)境下基本都取得了全局的性能提升。相對于BPDN，組合算法整體都有較大(5～10 dB)的性能提升；相對于OMP，聯(lián)合DS-SP法在大量化噪聲情況下的性能提升可達(dá) 10 dB以上?？梢姡?lián)合 DS-SP算法是一種在不同噪聲環(huán)境都有優(yōu)異重構(gòu)性能的算法。

圖8 組合算法與BPDN法對比

圖9 組合算法與OMP法對比

6 結(jié)束語

本文考慮IR-UWB信號的壓縮采樣，在CS框架下對IR-UWB信號進(jìn)行精確重構(gòu)。重構(gòu)過程考慮接收端信號實(shí)際受到的量化噪聲和熱噪聲的影響，采用不同算法重構(gòu)。在量化噪聲較大時(shí)，DS法獲得了很高的重構(gòu)精度；而在混合噪聲較小時(shí)，有重構(gòu)速度優(yōu)勢的SP法可獲得比DS法更好的重構(gòu)性能。本文提出的組合優(yōu)化重構(gòu)算法聯(lián)合DS-SP，可通過量化精度和定義的QNR系數(shù)精確分析出噪聲環(huán)境，自適應(yīng)選擇重構(gòu)算法。聯(lián)合DS-SP算法不僅能獲得全局最優(yōu)性能，算法復(fù)雜度也在DS法和SP法之間，且相對常規(guī)重構(gòu)算法有較大的性能提升，為基于壓縮感知的IR-UWB接收機(jī)數(shù)字后端的信號重構(gòu)提供了新的策略。盡管本文的研究是以IR-UWB信號的壓縮采樣為背景，但事實(shí)上研究成果的應(yīng)用不局限于此背景，可同理擴(kuò)展到其他任何模擬信號的壓縮采樣研究中。后續(xù)工作將致力于建立和求解更精確反應(yīng)混合噪聲特性的模型，進(jìn)一步提升重構(gòu)精度。

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