馮定偉 吳嗣亮 魏國華 王 旭

(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院 北京 100081)

1 引言

在導(dǎo)彈靶場試驗中，脫靶量的測量對于檢驗和評估導(dǎo)彈的性能起著關(guān)鍵性的作用[1,2]。在導(dǎo)彈與靶標(biāo)交會過程段，導(dǎo)彈與靶標(biāo)天線之間的多普勒頻率和距離這兩個觀測量隨時間變化的規(guī)律都由二者的相對運動速度、初始切向距離、標(biāo)量脫靶量這三個脫靶量參數(shù)決定。測量系統(tǒng)只需要得到二者任意一個觀測量的測量數(shù)據(jù)，并依據(jù)給定的目標(biāo)運動模型通過方程組求解或最小二乘方法就能估計出對應(yīng)的脫靶量[1,3-7]。但是當(dāng)由于導(dǎo)彈提前脫靶，距離盲區(qū)等因素導(dǎo)致測量數(shù)據(jù)較少，以及信號雜波、環(huán)境噪聲等因素導(dǎo)致觀測量測量誤差較大時，利用單一觀測量往往不能得到滿意的結(jié)果。

數(shù)據(jù)融合技術(shù)是指對獲得的若干多源觀測信息，在一定準(zhǔn)則下加以分析、綜合，以完成所需的決策和評估任務(wù)而進(jìn)行的信息處理技術(shù)，其在目標(biāo)檢測、跟蹤、定位及參數(shù)估計等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用[8-10]。從信息論的角度來說，運動目標(biāo)距離及多普勒頻率都包含了脫靶量參數(shù)的有效信息，將這兩種觀測量的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行融合處理，將會帶來參數(shù)估計性能的提高。脈沖多普勒、調(diào)頻連續(xù)波等多種體制的雷達(dá)都有條件得到目標(biāo)的普勒頻率及距離信息[1,11-14]，這使得同時利用多普勒頻率與距離信息進(jìn)行脫靶量參數(shù)估計成為可能。

本文將多普勒頻率與距離測量數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)數(shù)據(jù)融合處理，在目標(biāo)作勻速直線假設(shè)下，采用非線性尋優(yōu)處理進(jìn)行脫靶量參數(shù)估計，并利用參數(shù)估計CRLB的理論推導(dǎo)及數(shù)值計算方法對此方法相對于單一觀測量方法在參數(shù)估計性能上的改善進(jìn)行證明。數(shù)據(jù)融合中加權(quán)參數(shù)依據(jù)多普勒頻率及距離數(shù)據(jù)的誤差協(xié)方差估計值進(jìn)行選取，并通過蒙特卡羅仿真對所提方法進(jìn)行了計算機仿真。

2 基于數(shù)據(jù)融合的脫靶量參數(shù)估計

2.1 基本原理

設(shè)無線電脫靶量設(shè)備固聯(lián)于靶標(biāo)上，導(dǎo)彈相對靶標(biāo)作速度為v的勻速運動。圖 1給出了設(shè)備與導(dǎo)彈之間的相對位置關(guān)系。其中，P0為起始觀測時刻t0導(dǎo)彈位置點，Ri,i=0,1,…,N-1為觀測時刻ti導(dǎo)彈與接收天線的距離，N為觀測點數(shù)，Ppca為導(dǎo)彈運動軌跡所在直線與接收天線中心點O的最近距離點(即脫靶點)，|P0Ppca|為初始切向距離L,|OPpca|為標(biāo)量脫靶量r，脫靶量參數(shù)即指參數(shù)矢量ξ=[r,v,L]T。

圖1 導(dǎo)彈運動軌跡與雷達(dá)接收天線的位置關(guān)系

在勻速直線運動模型下，導(dǎo)彈到接收天線的距離及反射回波所產(chǎn)生的多普勒頻率可以分別表示為

其中λ為發(fā)射載波波長。假定距離及多普勒頻率測量誤差分別服從均方根誤差不同的零均值獨立高斯分布，則ti時刻對應(yīng)測量值可分別表示為

對應(yīng)觀測值為，給定加權(quán)系數(shù)矩陣W，即可建立代價函數(shù)：

根據(jù)式(4)，可通過求解如下非線性最小二乘估計問題，得到脫靶量參數(shù)估計值：

式(5)一般可以用非線性優(yōu)化算法來求解。鑒于該優(yōu)化函數(shù)的解析式已知，其梯度和二階導(dǎo)數(shù)矩陣很容易求取，故可選用具有二次收斂速度的變步長Newton法。同時，一個良好的優(yōu)化初值不但能保證此優(yōu)化迭代過程的全局收斂性，還能大大減少迭代次數(shù)，提高優(yōu)化速度及準(zhǔn)確性。系統(tǒng)觀測量的測量誤差協(xié)方差可以由具體的系統(tǒng)指標(biāo)及使用環(huán)境給出，也可以通過參數(shù)估計方法得到，該文利用單一觀測量測量數(shù)據(jù)的參數(shù)優(yōu)化結(jié)果對此觀測量進(jìn)行誤差統(tǒng)計得出。

2.2 參數(shù)估計優(yōu)化初值的求解

對多普勒頻率進(jìn)行積分并離散化處理，通過整理[7]可得

將式(7)，式(8)聯(lián)合構(gòu)成新的方程

式中

利用最小二乘算法求解式(9)即可得到參數(shù)θ的估計值：

2.3 測量數(shù)據(jù)噪聲協(xié)方差估計

由單一觀測量分別構(gòu)建代價函數(shù)J1,J2：

并分別建立與式(5)類似的非線性最小二乘問題：

3 參數(shù)估計的CRLB

當(dāng)距離與多普勒頻率提取誤差均服從零均值高斯分布時，非線性最小二乘優(yōu)化估計方法得到的脫靶量參數(shù)估計值是無偏的，本文給出在無偏估計情況下參數(shù)估計的CRLB作為評價所提方法估計性能的理論依據(jù)。將兩組測量數(shù)據(jù)作誤差歸一化處理，得到聯(lián)合條件概率密度函數(shù)

參數(shù)ξ的Fisher信息矩陣I(ξ)可由下式給出：

其中 ?ξ(·)為函數(shù)·關(guān)于量ξ的梯度。于是得到參數(shù)估計CRLB的矩陣表示形式：

接下來進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)融合對參數(shù)估計性能的改善，即數(shù)據(jù)融合后能否使得如下表達(dá)式成立：

式(18)中兩個不等式具有對等性，不妨將第 1個不等式作為分析對象，此式等價于

式(16)中第1個信息矩陣公式可以寫為如下形式

參數(shù)估計CRLB是關(guān)于參數(shù)的較復(fù)雜非線性函數(shù)，很難從直觀上給出對應(yīng)的估計性能，對參數(shù)估計性能的進(jìn)一步分析主要從CRLB的數(shù)值計算方法入手。設(shè)載波波長λ為0.1 m，觀測數(shù)據(jù)提取時間間隔Δ為1.6 ms，導(dǎo)彈軌跡提取段取到使多普勒頻率約等于零處。設(shè)多普勒頻率及距離提取值滿足式(2)所示分布，圖2顯示了為160 Hz,σR為3 m條件下不同脫靶量參數(shù)對應(yīng)數(shù)據(jù)融合后的 CRLB分布。從圖示可以看出：

(1)總體來看，在給定參數(shù)條件下標(biāo)量脫靶量r的估計誤差較小，都在0.25 m的范圍內(nèi)，且隨著參數(shù)L的增大而逐漸減小。同時，參數(shù)r的估計誤差在小脫靶量(r小于30 m左右)時隨著參數(shù)v的增大而減小，而在大脫靶量時隨著參數(shù)v的增大而增大。

(2)目標(biāo)運動速度v的估計誤差浮動較大，但都在1 m/s的范圍內(nèi)，精度也較高。同時看出，速度v的估計誤差隨著參數(shù)r及自身的增大都逐漸增大，而隨參數(shù)L增大逐漸減小。

(3)初始切向距離L的估計誤差總體較小，都在0.2 m范圍內(nèi)。同時可以看出，L估計誤差隨3個參數(shù)的增大都是先增大再減小，但在較大參數(shù)范圍內(nèi)這種變化幅度較小，相對穩(wěn)定。

4 計算機仿真

本部分利用計算機仿真對所提出的參數(shù)優(yōu)化初值估計方法的性能，測量數(shù)據(jù)噪聲協(xié)方差估計方法的性能，數(shù)據(jù)融合方法相對單一觀測量方法的性能以及相對參數(shù)估計CRLB的逼近程度這三個方面按照蒙特卡洛方法進(jìn)行驗證。設(shè)定載波波長，數(shù)據(jù)提取時間間隔和提取截止位置都與CRLB數(shù)值計算的設(shè)置一致。仿真在理想的多普勒頻率及距離中加入滿足式(2)對應(yīng)分布的噪聲作為相應(yīng)的測量值，且每次仿真產(chǎn)生 500組獨立的相應(yīng)觀測量提取序列樣本。

圖2 給定測量誤差對應(yīng)數(shù)據(jù)加權(quán)融合后參數(shù)的CRLB

表1給出了σR,分別為3 m, 160 Hz條件下不同脫靶量真值對應(yīng)的優(yōu)化初值計算結(jié)果。參數(shù)L主要與系統(tǒng)的測量距離有關(guān)，此處給定其為固定值300 m。統(tǒng)計結(jié)果顯示：優(yōu)化初值具有較高的估計精度，存在一定的系統(tǒng)誤差，但都較小，均方誤差(Mean Square Error, MSE)隨速度的增大呈一定的增大趨勢。進(jìn)一步仿真得出，利用該優(yōu)化初值進(jìn)行后續(xù)的非線性迭代尋優(yōu)可快速得到參數(shù)估計結(jié)果。

表1 優(yōu)化初值的估計性能統(tǒng)計

表 2給出了脫靶量真值ξ為[30 m,300 m/s,300 m]T條件下不同及對應(yīng)的估計結(jié)果。統(tǒng)計結(jié)果顯示：觀測量噪聲均方誤差的估計性能較高，且均方誤差與對應(yīng)真值的比值都在 0.029左右，具有較高的相對誤差精度，這表明將此方法所得的估計結(jié)果用于后續(xù)的數(shù)據(jù)融合參數(shù)估計方法是可信的。

下面在脫靶量真值ξ為 [30 m,300 m/s,300 m]T條件下，對數(shù)據(jù)融合方法的性能分析從兩個方面進(jìn)行仿真：一是固定σR考查參數(shù)估計性能隨的變化；二是固定考查參數(shù)估計性能隨σR的變化。圖3給出了參數(shù)估計在不同估計方法下的性能對比結(jié)果，其中，圖3(a)，圖3(b)，圖3(c)中固定σR為3 m，圖3(d)，圖3(e)，圖3(f)中固定為200Hz。圖3給出了對應(yīng)測量數(shù)據(jù)噪聲協(xié)方差的參數(shù)估計性能。圖示結(jié)果顯示：數(shù)據(jù)融合方法的參數(shù)估計性能接近或達(dá)到了參數(shù)估計的 CRLB；單一距離和多普勒頻率方法參數(shù)估計誤差曲線交叉處附近表示單一方法在此處達(dá)到了近似的參數(shù)估計性能，此范圍內(nèi)融合方法的估計誤差相對單一方法而言具有較大的提高，在此基礎(chǔ)上數(shù)據(jù)融合方法的參數(shù)估計性能隨著某一觀測量測量誤差的增大而趨向于另一單一觀測量方法的參數(shù)估計性能。進(jìn)一步仿真得出，當(dāng)兩種單一觀測量參數(shù)估計精度差別達(dá)到 10倍左右時，估計性能較差的觀測量對數(shù)據(jù)融合的估計性能幾乎沒有改善。

表2 觀測量均方誤差的估計性能統(tǒng)計

5 結(jié)束語

本文針對脫靶量參數(shù)估計問題提出了一種基于多普勒頻率與距離加權(quán)數(shù)據(jù)融合的方法。建立了非線性加權(quán)最小二乘過程的代價函數(shù)，推導(dǎo)了所提方法參數(shù)估計的 CRLB，證明了該方法相對單一觀測量方法的性能改善，并從數(shù)值計算角度給出一定參數(shù)條件下該方法的參數(shù)估計性能。對該非線性加權(quán)最小二乘問題，給出了迭代優(yōu)化估計初值及觀測量測量誤差協(xié)方差的估計值。仿真結(jié)果表明，本文方法達(dá)到了參數(shù)估計的 CRLB，且估計精度較單一觀測量方法有較大的改善。

圖3 數(shù)據(jù)融合方法與單一觀測量方法的參數(shù)估計結(jié)果比較

[1]吳嗣亮. 矢量脫靶量測量系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法的研究與實踐[R].[博士后研究工作報告], 北京理工大學(xué), 1998.

Wu Si-liang. Study on data processing technique for vector miss distance measurement system and its practice[R].[Postdoctoral Research Report], Beijing Institute of Technology, 1998.

[2]魏國華, 吳嗣亮, 王菊, 等. 脫靶量測量技術(shù)綜述[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2004, 26(6): 768-772.

Wei Guo-hua, Wu Si-liang, Wang Ju,et al.. Overview of miss distance measurement technology[J].Systems Engineering and Electronics, 2004, 26(6): 768-772.

[3]Webster R J. An exact trajectory solution from Doppler shift measurements[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1982, 18(2): 249-252.

[4]Chan Y T and Towers J J. Passive localization from Doppler shifted frequency measurements[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 1992, 40(10): 2594-2598.

[5]Taek L S. Observability of target tracking with range-only measurements[J].IEEE Journal of Oceanic Engineering, 1999,24(3): 383-387.

[6]周宇翔, 魏國華, 吳嗣亮. 基于窄脈沖的標(biāo)量脫靶量測量算法[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2007, 29(2): 193-196.

Zhou Yu-xiang, Wei Guo-hua, and Wu Si-liang. Measurement algorithm of scalar miss distance based on narrow pulse[J].Systems Engineering and Electronics, 2007, 29(2): 193-196.

[7]鄧兵, 陶然, 董云龍. 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的標(biāo)量脫靶量測量新方法[J]. 兵工學(xué)報, 2010, 31(12): 1627-1631.

Deng Bing, Tao Ran, and Dong Yun-long. New method for scalar miss distance measurement based on the fractional Fourier transform[J].Acta Armamentarii, 2010, 31(12):1627-1631.

[8]Deming R, Schindler J K, and Perlovsky L. Multi-target/multi-sensor tracking using only range and Doppler measurements[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2009, 45(2): 593-611.

[9]Yu Ke-gen and Guo Y J. Anchor global position accuracy enhancement based on data fusion[J].IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2009, 57(3): 1616-1623.

[10]Guerriero M, Svensson L, and Willett P. Bayesian data fusion for distributed target detection in sensor networks[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(6):3417-3421.

[11]Skolnik M I. Radar Handbook[M]. Third Edition, New York:The McGraw-Hill Companies, 2008: 8.1-8.26, 9.20.

[12]Li Tong and Tang Yin-hui. Frequency estimation based on modulation FFT and MUSIC algorithm[C]Proceedings of First International Conference on Pervasive Computing,Signal Processing and Applications, Los Alamitos, America,2010: 525-528.

[13]Iozsa A and Vesa A. The ESPRIT algorithm: variants and precision[C]Proceedings of 9th International Symposium on Electronics and Telecommunications, Piscataway, America,2010: 165-168.

[14]Tao Ran, Li Yan-lei, and Wang Yue. Short-time fractional Fourier transform and its applications[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(5): 2568-2580.

[15]Kay S M. Fundamentals of Statistical Signal Processing,Volume I: Estimation Theory[M]. New Jersey: Prentice Hall PTR, 1993: 157-204.